2024~2025学年山东省青岛莱西市(五四制)七年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2024~2025学年山东省青岛莱西市(五四制)七年级(上)期中数学试卷(解析版)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题满分30分，共10道小题，每小题3分）
1. 下列四幅图案是四所大学校徽的主体标识，其中不是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】解：A，B，D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所不以是轴对称图形．
故选：C．
2. 下列各个选项中的两个图形属于全等形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】解∶ A．两个图形形状不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
B．两个图形能完全重合，是全等图形，符合题意；
C．两个图形大小不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
D．两个图形形状不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
故选∶B．
3. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A. 10，20，30B. ，，C. 6，9，12D. 9，12，13
【答案】B
【解析】解：A、，故不是直角三角形，不合题意；
B、，故是直角三角形，符合题意；
C、，故不是直角三角形，不符合题意；
D、，故不是直角三角形，不合题意；
故选：B．
4. 已知三角形的周长是12，则以下哪个长度不可能是该三角形的边长（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】D
【解析】解：A．若三角形的一边长为3，则三角形另外两边之和为：，，故本选项不符合题意；
B．若三角形的一边长为4，则三角形另外两边之和为：，，故本选项不符合题意；
C．若三角形的一边长为5，则三角形另外两边之和为：，，故本选项不符合题意；
D．若三角形的一边长为6，则三角形另外两边之和为：，，故本选项符合题意．
故选：D．
5. 如图，在中，BD是边上的中线，E是BD的中点，连接，且的面积为，则阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：∵是边上的中线，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵是的中点，
，
，
，
故选：A．
6. “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图，大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为，，那么的值是（ ）
A. 25B. 20C. 16D. 12
【答案】A
【解析】解：如图，
∵大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为，较长直角边长为，设大正方形边长为，
，
，
∴直角三角形面积是，
又∵直角三角形的较短直角边长为，较长直角边长为，
，
，
，
故选：A．
7. 如图所示是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则的度数是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：如图，
在和中，
∴，
∴，
则，
故选A
故选：A．
8. 如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（ ）
A. 1号袋B. 2号袋C. 3号袋D. 4号袋
【答案】B
【解析】解：如图所示，根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为：
该球最后落入2号袋．
故选：B．
9. 如图，把长短确定的两根木棍，的一端固定在处，和第三根木棍摆出固定，木棍绕转动，得到，这个实验说明（ ）
A. 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等
B. 有两角分别相等且其中等角的对边相等的两个三角形不一定全等
C. 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
D. 有两边和其中一边对角分别相等的两个三角形一定不全等
【答案】A
【解析】解：由题意知，与中有两边和其中一边的对角分别相等，
与不全等，
有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等．
故选A．
10. 如图，在中，，的平分线交于点，过点作于点，交于点，过点作于点．下列结论中正确的是（ ）
；；；．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：对于结论：
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
又，
，
故结论正确；
对于结论：
如图，过点作于，
平分，，
，
，
，
，
故结论正确；
对于结论：
，
，
又，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
条件不足，无法证明，
故结论不正确；
对于结论：
由结论正确得：，
，
，
，即，
，
故结论正确；
综上所述，正确的有，
故选：．
二、填空题（本题满分18分，共6道小题，每小题3分）
11. 如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（B，C为小路端点）和一棵小树（A为小树位置）测得的相关数据为：米，则________米．
【答案】48
【解析】解：∵
∴∠BAC=180°-60°-60°=60°
∴∠BAC=∠ABC=∠BCA=60°
∴△ABC是等边三角形
∴AC=BC=48米．
故答案为48．
12. 已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距_____．
【答案】40海里
【解析】解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，
∴∠BAC=90°，
两小时后，两艘船分别行驶了16×2=32，12×2=24海里，
根据勾股定理得：=40（海里）．
故答案为：40海里．
13. 如图，盒内长、宽、高分别是6cm、3cm、2cm，盒内可放木棒最长的长度是__________.
【答案】7cm
【解析】本题需先求出长和宽组成的长方形的对角线长为cm．
这根最长的棍子和矩形的高，以及长和宽组成的长方形的对角线组成了直角三角形．
盒内可放木棒最长的长度是 =7cm．
故答案为：7．
14. 如图所示，在正方形网格中，的顶点在格点上，在内部有、、、四个格点，到三个顶点距离相等的点是_____．
【答案】
【解析】解：如图所示，
点在，的垂直平分线上，
故答案为：．
15. 如图，，正方形和正方形的面积分别是和，则以为直径的半圆的面积是____________．
【答案】
【解析】
解：，正方形和正方形的面积分别是289和225，
，
，
以为直径的半圆的面积是，
故答案为：
16. 如图，在长方形中，是边上的一点，将沿着翻折，点C恰好落在边上的点E处，则阴影部分的面积为 ___________________．

【答案】
【解析】解：∵四边形是长方形，
，
由折叠得，
，
，
，
，
解得，
故答案为：．
三．作图题（本题满分4分）
17. 用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：如图，在中，；
求作：，使，．
解：如图所示，即为所求
四．解答题（本题满分68分，共9小题）
18. 如图，在ΔABC中，，，BD是的平分线，求的度数.
解：∵AB=AC, ∠A=40°，
∴∠ABC=∠C=∠A)= 70°，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠DBC==35°，
在△BDC中，∠BDC=180°-∠C-∠DBC=180°-35°-70°=75°.
19. 定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，底边的长为3，求腰的长．
解：是等腰三角形，底边，
．
当时，，根据三角形三边关系，此时，，不构成三角形，不符合题意．
当时，“是“倍长三角形”，
所以当等腰是“倍长三角形”，腰的长为6.
20. 如图，在中，，点是的中点，点在上，求证：．
解：证明： ，点 是 的中点，
，
， ，
∴，
．
21. 如图，在中，．在边上有一点P，连接，且，若，求的长．
解：∵，
∴设，则，
∵根据勾股定理可得：，
∴，解得：，
∴的长为．
22. 如图，在和中，、、、在一条直线上，，，添加一个条件：_____________，使得．
解：，
，
，
添加，利用得出；
添加，利用得出；
添加，利用得出；
故答案为：或或．
23. 如图，在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H，（A，H，B在一条直线上），并修一条路CH．测得千米，千米，千米．
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明．
（2）求原来的路线AC的长．
解：（1）是；
理由是：在中，
∵，
∴，
∴，
∴CH是从村庄C到河边的最近路；
（2）设，则，
在中，
，
∴，
解得：，
答：原来的路线AC的长为千米
24. 小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．

（1）【问题发现】如图1，若和均是顶角为的等腰三角形，，分别是底边，从图中找出一对全等三角形并说明理由；
（2）【拓展探究】如图2，若和和均为等边三角形，点、、在同一条直线上，连接，求的度数．
解：（1）．
理由如下：
和均是顶角为的等腰三角形
，，．
，即．
．
（2）为等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，
．
．
由（1）知，

为等边三角形，
．
．
25. 如图，搬运师傅将滑轮固定在高为的楼顶上．师傅在楼底水平面上距离楼房9米的处拉紧绳子（绳长），并做个记号，然后沿方向向前走7米到处，拉紧绳子（绳长），量得绳长比绳长长5米，求楼的高度．
解：设米，米，
在中，，
．
在中，，
．
．
∴ ，
解得：．
．
，
∴楼的高度为12米．
26. 如图1，在中，，，．点P从点B出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向右运动，当点P与点C重合时，停止运动．设点P的运动时间为秒，连接．
（1）当秒时，求的长．
（2）如图2，将沿直线折叠，使得点C的对应点M恰好落在边AB上，求此时的值．
解：（1）由题意得：，
∴，
∵，
在中，，
∴长度为；
（2）在中，，，
∴，
由折叠性质可知：，
∴，，，
∴，
∵，
∴，即
解得：；
∴将沿直线折叠，使得点C的对应点M恰好落在边AB上，此时t的值；
附加题（本题供学有余力的学生尝试解答，不作为考试内容）
27. 青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b，已知，，则图2中的阴影部分面积为______．
【答案】
【解析】如图，
∵朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b，
∴，，
∵朱入与朱出的三角形全等，
∴，
∴，
∵两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，
∴，，
∴，，
∴阴影部分面积为
，
∵，，
∴，
即阴影部分的面积为，
故答案为：．