2024年淄博市中考真题数学试卷(解析版)

这是一份2024年淄博市中考真题数学试卷(解析版)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列运算结果是正数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】A、是正数，符合题意；
B、是负数，不符合题意；
C、是负数，不符合题意；
D、是负数，不符合题意；
故选：A．
2. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】因为图A是轴对称图形，不是中心对称图形，所以不符合题意；
因为图B是中心对称图形，不是轴对称图形，所以不符合题意；
因为图C是轴对称图形，又是中心对称图形，所以符合题意；
因为图D是轴对称图形，不是中心对称图形，所以不符合题意．
故选：C．
3. 我国大力发展新质生产力，推动了新能源汽车产业的快速发展．据中国汽车工业协会发布的消息显示．2024年1至3月，我国新能源汽车完成出口万辆．将万用科学记数法表示为．则的值是（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】B
【解析】万，
则，
故选：B．
4. 如图，已知，平分．若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，
，；
平分，
．
．
故选：C.
5. 数学兴趣小组成员小刚对自己的学习质量进行了测试．如图是他最近五次测试成绩（满分为100分）的折线统计图，那么其平均数和方差分别是（ ）
A. 95分，B. 96分，
C. 95分，10D. 96分，10
【答案】D
【解析】平均数为：（分）；
方差为：；
故选D．
6. 如图，在综合与实践活动课上，小强先测得教学楼在水平地面上的影长为．又在点处测得该楼的顶端的仰角是．则用科学计算器计算教学楼高度的按键顺序正确的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意，得：在中，，，
∴；
计算器的按键为；
故选A．
7. 《九章算术》中提到：今有户高多于广六尺八寸．两隅相去适一丈．问户高、广各几何？其大意为：已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（1丈尺，1尺寸）若设门的高和宽分别是尺和尺．则下面所列方程组正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设门的高和宽分别是尺和尺，
由题意得：，
故选：D．
8. 如图所示，在矩形中，，点，分别在边，上．连接，将四边形沿翻折，点，分别落在点，处．则的值是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】A
【解析】连接交于点F，
设，则，
∵四边形是矩形，
∴，
∴
∵将四边形沿翻折，点C，D分别落在点A，E处，
∴点C与点A关于直线对称，
∴，垂直平分，
∴，，，
∵，
∴
∴，
∴
∴．
故选：A．
9. 如图所示，正方形与（其中边，分别在，轴的正半轴上）的公共顶点在反比例函数的图象上，直线与，轴分别相交于点，．若这两个正方形的面积之和是，且．则的值是（ ）
A. 5B. 1C. 3D. 2
【答案】C
【解析】设，
由题意得：．
∵正方形与（其中边分别在x，y轴的正半轴上）的公共顶点A在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴．
∴，
∴．
故选：C
10. 某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼．两人都从地匀速出发，甲健步走向地．途中偶遇一位朋友，驻足交流后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出发，跑步到达地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．下图表示甲、乙两人之间的距离与甲出发的时间之间的函数关系．( )
那么以下结论：
①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为；
②甲出发时，甲、乙两人之间的距离达到最大值；
③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后；
④，两地之间的距离是．
其中正确的结论有：
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④
【答案】B
【解析】①乙比甲晚出发，且当x=50时，，
乙出发时，两人第一次相遇，
既甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为，结论①正确；
②观察函数图象，可知：当时，取得最大值，最大值为，
甲出发时，甲、乙两人之间的距离达到最大值，结论②正确；
③设甲的速度为，乙的速度为，
根据题意得：，解得：，
∴，
甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后，结论③错误；
④，
，两地之间的距离是，结论④正确．
综上所述，正确的结论有①②④．
故选：B．
二、填空题（共5小题，每题4分，共20分）
11. 计算：__________．
【答案】
【解析】.
12. 如图，已知，两点的坐标分别为，，将线段平移得到线段．若点的对应点是，则点的对应点的坐标是__________．
【答案】
【解析】平移后对应点C的坐标为，
点的横坐标加上了4，纵坐标加1，
，点坐标为，即，
故答案为：．
13. 若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是__________．
【答案】
【解析】多项式能用完全平方公式因式分解，
，
．
14. 如图，在边长为10的菱形中，对角线，相交与点，点在延长线上，与相交与点．若，，则菱形的面积为__________．
【答案】96
【解析】作交于点H，则，
∵四边形是边长为10的菱形，对角线相交于点O，
∴，，，，
∴，，∴，
∵，，∴，
∴，∴，
∵四边形是菱形，且，
∴，
∴，∴，
∴，
∴，，
∴．
15. 如图，在平面直角坐标系中，作直线与轴相交于点，与抛物线相交于点，连接，相交于点，得和，若将其面积之比记为，则__________．
【答案】
【解析】∵作直线与轴相交于点，与抛物线相交于点，
∴轴，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
三、解答题（共8题90分）
16. 解不等式组：并求所有整数解和．
解：，
解不等式①得：；
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集，
∴不等式组所有整数解和为．
17. 如图，已知，点，在线段上，且．
请从①；②；③中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得．
你添加的条件是：__________（只填写一个序号）．
添加条件后，请证明．
解：可选取①或②（只选一个即可），
证明：当选取①时，
在与中，，
，
，
，
，
，
在与中，，
，
，
；
证明：当选取②时，
在与中，，
，
，，，，
在与中，，
，，；
故答案为：①（或②）
18. 化简分式：，并求值（请从小宇和小丽的对话中确定，的值）
解：依题意，，且为整数，又，则，
；
当，时，原式．
19. 希望中学做了如下表的调查报告（不完整）：
结合调查信息，回答下列问题：
（1）参与本次问卷调查的学生人数________名；在扇形统计图中，第④组所对应扇形的圆心角的度数为________度；
（2）补全周家务劳动时间的频数直方图：
（3）若该校七年级学生共有800人，请估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数；
（4）小红和小颖分别从“家政”等五门最喜欢的劳动课程中任选一门学习，请用列表法或画树状图的方法，求两人恰好选到同一门课程的概率．
解：（1）调查总人数为：（名），
第④组所对应扇形的圆心角的度数为：
（2）第③组的人数为：（人），
可补全周家务劳动时间的频数直方图如图；

（3）被调查人数中喜欢“烹饪”课程的学生人数为：（人），
（人），
答：估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数有176人；
（4）树状图如图所示：

则共有25中情况，两人恰好选到同一门课程的结果数有5种，
两人恰好选到同一门课程的概率为：．
20. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人．
（1）求该市参加健身运动人数的年均增长率；
（2）为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数．
解：（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，
由题意得：，
解得：（不符合题意，舍去），
答：该市参加健身运动人数的年均增长率为；
（2）∵元，
∴购买的这种健身器材的套数大于100套，
设购买的这种健身器材的套数为套，
由题意得：，
整理得：，
解得：，
当时，售价元（不符合题意，故舍去），
答：购买的这种健身器材的套数为200套．
21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与，轴分别相交于点，．且．
（1）分别求这两个函数的表达式；
（2）以点为圆心，线段的长为半径作弧与轴正半轴相交于点，连接，．求的面积；
（3）根据函数的图象直接写出关于的不等式的解集．
解：（1）在中，当时，，
∴，
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
∴，
把代入中得：，解得，
∴一次函数解析式为，
在中，当时，，
∴，
把代入中得：，解得，
∴反比例函数解析式为；
（2）联立，解得或，
∴；
设，
由题意得，，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴，
∴
；
（3）由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为或，
∴关于的不等式的解集为或．
22. 在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习．
【操作发现】
小明作出了的内接等腰三角形，．并在边上任取一点（不与点，重合），连接，然后将绕点逆时针旋转得到．如图①
小明发现：与的位置关系是__________，请说明理由：
【实践探究】
连接，与相交于点．如图②，小明又发现：当确定时，线段的长存在最大值．
请求出当．时，长的最大值；
【问题解决】
在图②中，小明进一步发现：点分线段所成的比与点分线段DE所成的比始终相等．请予以证明．
解：操作发现：
连接并延长交于点M，连接，
是直径，
，
，
由旋转的性质得，
，
，
，
是的半径，
与相切；
实践探究：
解：由旋转的性质得：，
即，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
当时，有最大值为；
问题解决：
证明：过点E作交于点N，
，
由旋转的性质知：，
，
，
，
，
由旋转的性质得：，
，
，
，
，
，
，
．
23. 如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），其中，是方程的两个根，抛物线与轴相交于点．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）已知直线与，轴分别相交于点，．
①设直线与相交于点，问在第三象限内的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；
②过抛物线上一点作直线的平行线．与抛物线相交于另一点．设直线，相交于点．连接，．求线段的最小值．
解：（1）∵，
∴，
∴，，
∴，，
∵抛物线与轴相交于，两点，
∴，解得：，
∴该抛物线对应的函数表达式为；
（2）①在中，令，，解得，即，
在中，令，则，即，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入解析式得，解得：，
∴直线的解析式为，
联立，解得，∴，
如图，作轴于，则，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设直线解析式为，
将代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：或，
∵点在第三象限，
∴；
②∵过抛物线上一点作直线的平行线．与抛物线相交于另一点．
∴设Mx1,y1，Nx2,y2，设直线的解析式为：，
设直线的解析式为，
将代入得，
解得：，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，
将代入得，
∴直线的解析式为；
联立得：，
∴，
将Mx1,y1代入，得，
∴，
∴，
解得：，
将Nx2,y2代入，得，
∴，
∴，
解得：，
联立，
得出
，
∴点在直线上运动，
在中，令，则，即，
如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于，连接，则，
由轴对称的性质可得，
∴，
∴由两点之间线段最短可得：线段的最小值的最小时为，
∵，
∴线段的最小值为．调查目的
了解本校学生：（1）周家务劳动的时间；（2）最喜欢的劳动课程
调查方式
随机问卷调查
调查对象
部分七年级学生（该校所有学生周家务劳动时间都在范围内）
调查内容
（1）你的周家务劳动时间（单位：）是①②③④⑤
（2）你最喜欢的劳动课程是（必选且只选一门）
A家政 B.烹饪 C.剪纸 D.园艺 E．陶艺
调查结果