2025届河南九师联盟高三(上)11月质量检测巩固数学试卷(解析版)

这是一份2025届河南九师联盟高三(上)11月质量检测巩固数学试卷(解析版)，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若复数z满足，则（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】D
【解析】由，得，
所以.
故选：D
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，得，则；由，得，则，
所以.
故选：C
3. 已知向量，满足，在上的投影向量为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为在上的投影向量为，所以.
故选：A.
4. 记等比数列的前n项和为，若，，则（ ）
A. B. C. 32D. 64
【答案】D
【解析】设等比数列的公比为，由，得，
则，即，而，因此，
所以.
故选：D
5. 已知正方体，E为棱的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，令，

则，，
因此，
所以异面直线，所成角的余弦值为.
故选：A
6. 如图为一块三角形铁片，已知，，，现在这块铁片中间发现一个小洞，记为点，，.过点作一条直线分别交的边，于点，，并沿直线裁掉，则裁掉的面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设，，
因为，，所以，
由，得，
则，平方整理得，
当且仅当，即，时等号成立，
所以.
故选：B.
7. 设定义在上的函数的图象关于对称，为奇函数，若，则（ ）
A. 0B. 2C. 4D. 2025
【答案】B
【解析】在上的函数的图象关于对称，则，
由为奇函数，得，于是，
，因此函数是以4为周期的周期函数，
由，得，由，得，
而，则，所以.
故选：B
8. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，得，
令，求导得，令，
求导得，函数在上单调递减，，
即，函数在上单调递减，则，
即，，因此；
令，求导得，当时，，
即，函数在上单调递减，则，
即，，因此，
所以.
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 若为纯虚数，，则
B. 若，，则，
C. 若在复平面内z对应的点的坐标为，则
D. 若是关于x的方程的根，则
【答案】BD
【解析】对于A，因为为纯虚数，，
所以，解得，故A错误；
对于B，因为，，
所以，解得，故B正确；
对于C，因为在复平面内对应的点的坐标为，所以，
所以，，故C错误；
对于D，因为是关于x的方程的根，
所以，所以，
整理得，所以，解得，故D正确.
故选：BD.
10. 记为等差数列的前n项和，则（ ）
A.
B. 若的公差不为，，则
C. ，，成等差数列
D. 是等差数列
【答案】ACD
【解析】的首项为，公差为，
对于A：，所以，故正确；
对于B：，，
又因为，所以，解得，故错误；
对于C：，，，
所以，
，
所以，所以，，成等差数列，故正确；
对于D：因为，所以，
所以是公差为的等差数列，故正确；
故选：ACD.
11. 如图，在直三棱柱中，，，P，Q分别为，的中点，则（ ）

A. 平面B. 平面
C. 到平面距离为D. 到直线的距离为
【答案】ABD
【解析】对于A，在直三棱柱中，平面，平面，
则，由，为的中点，得，
而平面，因此平面，A正确；
取中点，连接，由矩形，得，则直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，

而，则，，
对于B，，则，即，，
由平面，平面，得，而，
平面，因此平面，B正确；
对于C，，，设平面的法向量为，
则，令，得，又，
所以到平面的距离，C错误；
对于D，，到直线的距离
，D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 某大型商场计划设计一个停车场，根据地形，设计6排停车位，靠近商场第1排设计7个停车位，从第2排开始，每排设计的停车位个数是上一排的2倍加1，则设计的停车位的总数是______.
【答案】498
【解析】依题意，每排停车位的个数排成一列构成数列，
于是，即，
所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，则，即，
所以设计的停车位总数为.
故答案为：498
13. 已知四面体中，，，，则该四面体外接球的表面积为______.
【答案】18π
【解析】在四面体中，，，，
则该四面体的相对棱可为某个长方体三组相对面的面对角线，长方体的外接球即为四面体的外接球，
设长方体的共点的三条棱长依次为，外接球半径为，
则，于是，
所以该四面体外接球的表面积为
故答案为：18π
14. 已知，，，，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】在平面直角坐标系内作出方程的曲线，
由，得或表示的是双曲线与所夹含原点的区域，
因此满足，，的图形是图中的曲线段，
而与中互换位置，方程、不等式都不变，
则曲线与表示的区域关于直线对称，只需求出图中曲线段对应的的范围即可，
由，得，由，得，
由，即，，解得，
令，求导得，
而，则，即，函数在上单调递增，
因此，即，
所以的取值范围是.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知等比数列满足，其前n项和为.
（1）求的通项公式；
（2）记，求.
解: （1）设等比数列的公比为，由，得，解得，
所以的通项公式为.
（2）由（1）得，
所以
16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，，.
（1）求A；
（2）求的面积.
解: （1）由，
由正弦定理得，，
因为，所以，，
则，
即，则.
（2）由（1）知，，
因为，所以，
则，
即，
即，因为，
则或，即或，
若，
，
由，则，
则，
所以的面积为
.
17. 如图，在三棱柱中，，，，，二面角的余弦值为.

（1）证明：四边形为菱形；
（2）侧棱上是否存在点D，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点D的位置；若不存在，说明理由.
解:（1）在三棱柱中，取的中点，连接，

由，得，而，，平面，
则平面，又平面，于是，
则 是二面角的平面角，即，
在中，，，则，
在中，，，
则，
在中，由余弦定理得：，
即，
整理得，即，于，
在中，，所以四边形为菱形.
（2）由（1）得平面，而平面，则平面平面，
平面平面，在平面内过作，则平面，
于是直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，

在平面内过作于，则平面，
由，，得，
，则，
则，，，，
则，，
设平面的法向量为，
则，令，得，
，设，
，
由与平面所成角的正弦值为，
得，
整理得，解得，即处，
所以在侧棱上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，点在处.
18. 已知函数.
（1）若，求最大值；
（2）若，证明：；
（3）若，时，恒成立，求c的取值范围.
解: （1）函数的定义域为，求导得，
当时，，，
当时，，当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以.
（2）由，得，
即，由（1）知，，
要证，只证，
即证，即证，
令，，则证，
设函数，则，
函数是0,1上的增函数，于是，即成立，
所以.
（3）当，时，，
令，依题意，当时，恒成立，
求导得，函数在上单调递减，
，则存在，使得，
当时，；当时，，
所以函数在上递增，在上递减，
，由，解得，
函数在上单调递增，则，即，因此，
，
函数在上单调递增，因此，
则恒有，于是，解得，
所以c的取值范围是.
19. 对于给定的数列以及正整数m，若，使得成立，则称为“m阶可分拆数列”.
（1）设，证明：为“3阶可分拆数列”；
（2）设的前n项和为，若为“1阶可分拆数列”，求实数a的值；
（3）设，是否存在m，使得为“m阶可分拆数列”？若存在，请求出所有m的值；若不存在，请说明理由.
解: （1），，
，
若，使得成立，则成立，显然，当时等式成立，
所以，使得成立，得证.
（2）因为数列的前项和为
当时，；
当时，，
所以 ，
因为存在正整数使得成立，
则①当时，，即，
因为，，
所以，而，所以不存在正整数（）使得成立；
②当时，若成立，则，得，
所以时存在正整数使得成立，
由①②得.
（3）假设存在使得数列为“阶可分拆数列”
即存在确定的正整数，存在正整数使得成立.
即，
即，
①当时，，时方程成立，
②当时，
当时，；
当时，，
当时，，所以不存在正整数使得成立；
③当时，，当时，成立，
④当时，，
所以不存在正整数使得成立.
综上：或3.