2025届湖北省市级示范高中智学联盟高三年级(上)12月联考数学试卷(解析版)

这是一份2025届湖北省市级示范高中智学联盟高三年级(上)12月联考数学试卷(解析版)，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为，,
又，所以.
故选：B.
2. 若复数，在复平面内对应的点关于轴对称，且，则复数（ ）
A. 1B. C. iD.
【答案】C
【解析】因为复数，在复平面内对应的点关于轴对称，且，
所以，
所以.
故选：C
3. 已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，是的前项和，则等于（ ）
A. 8B. 6C. D. 0
【答案】D
【解析】，，成等比数列，，
，化为，解得，
则.
故选：D.
4. 已知随机变量，且，则的最小值为（ ）
A. 9B. 3C. D.
【答案】B
【解析】因为随机变量，且，可得，
.
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为3.
故选：B.
5. 已知的三个角的对边分别是，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，，所以，
因为，所以，所以，即，
又，得，
所以.
故选：D.
6. 将函数的图象向右平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】将函数的图象向右平移个单位长度后
得到的图象，
又，，
由题可知，，，解得，，
又，当时，取得最小值.
故选：B
7. 已知函数，若，则的单调递减区间为（ ）
A. 或B.
C. 或D.
【答案】C
【解析】图象如下，
所以，解得，
故，
，
令，解得或，
所以在或上单调递减.
故选：C
8. 如图，底面同心的圆锥高为，A，B在半径为1的底面圆上，C，D在半径为2的底面圆上，且，，当四边形面积最大时，点O到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，设直线AB交大圆于点F，E，连接CE，DF，由，知四边形为等腰梯形，
取AB，CD的中点M，N，连接MN，则，
因为，所以，
因为，所以四边形是矩形，
因此四边形为矩形，过O作于，连接OB，OC，OA，OD，
从而四边形的面积，
当且仅当，即时取等号，
此时，
如图，在几何体中，连接PQ，PO，因为平面，平面，
所以，又，
，，平面，所以平面，
因为平面，
所以平面平面，
显然平面平面，在平面内过作于，
从而平面，即OR长即为点到平面的距离，
在中，，，
所以，
所以点O到平面的距离是.
故选：C
二、多选题：本题共三小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法中正确的有（ ）
A. 函数在上单调递增
B. 函数的定义域是，则函数的定义域为
C. 不等式的解集为
D. 函数关于点中心对称
【答案】BD
【解析】对于A，函数在上单调递减，故A错误；
对于B，函数的定义域是，可得，解得，所以函数的定义域为，故B正确；
对于C，不等式，
当时解集为；
当时解集为；
当时解集为，故C错误；
对于D，的图象可由向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到，可得关于点中心对称，故D正确.
故选：BD.
10. 在四棱锥中，底面是矩形，，，平面平面，点在线段上运动（不含端点），则（ ）
A. 存在点使得
B. 四棱锥外接球的表面积为
C. 直线与直线AD所成角为
D. 当动点到直线BD的距离最小时，过点作截面交于点，则四棱锥的体积是
【答案】BD
【解析】如图1，取AD的中点，连接，，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，平面，则.
又因为，所以，
又，，平面，所以平面.
因为平面，平面，所以不成立，A错误.
图1 图2 图3
因为为等腰直角三角形，将四棱锥的侧面作为底面一部分，补成棱长为的正方体.
如图2，则四棱锥外接球即为正方体的外接球，其半径，
即四棱锥外接球的表面积为，B正确.
如图2，直线与直线AD所成角即为直线与直线所成角，而是正三角形，故该夹角为，C错误.
如图1，因为平面，当动点到直线BD的距离最小时，
由上推导知，，，
，，
，，
因此为的中点，如图3，由为的中点，即为中点，
平面即平面与的交点也即为与的交点，可知为的中点，
故，D正确.
故选：BD.
11. 设函数，，则下列结论正确的是（ ）
A. ，在上单调递减
B. 若且，则
C. 若在上有且仅有2个不同的解，则的取值范围为
D. 存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的函数为奇函数
【答案】ACD
【解析】，
对于A，，当时，，
由复合函数、正弦函数单调性可知在上单调递减，故A正确；
对于B，若且，则，故B不正确；
对于C，若，则，
若在上有且仅有2个不同的解，如图所示：
可得，解得，也就是的取值范围为，故C正确；
对于D，，可知当时，
是奇函数，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数为偶函数，则______.
【答案】
【解析】由题设，，
所以，得，得对均成立.
所以，解得.经检验，满足要求.
故答案为：.
13. 若为一组从小到大排列的数，1，3，5，7，9，11，13的第六十百分位数，则的展开式中的系数为__________.
【答案】
【解析】由，得，
于是展开式中含的项为，
所以的展开式中的系数为.
故答案为：
14. 已知，，若关于x的不等式在上恒成立，则的最小值为______.
【答案】8
【解析】设，又，所以在单调递增，
当时，；当时，，
由图象开口向上，，可知方程有一正根一负根，
即函数在有且仅有一个零点，且为异号零点；
由题意知，则当时，；当时，，
所以是方程的根，
则，即，且，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
则的最小值是8，
故答案为：8
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）求的前项和.
解:（1）因为，
当时，得，
当时，由，得
，
两式相减得：，则，
检验：满足上式，故；
（2）由（1）知，则，
故，
两式相减可得：，
故.
16. 在中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，.
（1）若，求面积的最大值；
（2）若，在边AC的外侧取一点D（点D在外部），使得，，且四边形的面积为，求的大小.
解: （1）由
因为，可得，
又由正弦定理得，即，
由余弦定理得，
因为，可得，所以，
在中，由余弦定理得，
即，当且仅当时取等号，
所以，
所以面积的最大值为.
（2）设，则，
在中，由余弦定理得，
由（1）知，且，所以为正三角形，
所以，
可得，
故，因为，所以，可得.
17. 若OA为平面的一条斜线，O为斜足，OB为OA在平面内的射影，OC为平面内的一条直线，其中为OA与OC所成的角，为OA与OB所成的角，即线面角，为OB与OC所成的角，那么简称为三余弦定理.如图，在三棱柱中，底面是边长为4的等边三角形，，，，D在上且满足.
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
解:（1）证明：如图，过点D作交于，连接CE，BE，设，
连接，，，
∵D在上且满足，
∴，
∵，，
四边形为正方形，，
，，，
，，
为CE的中点，，
因为，，平面，平面，
又平面，平面平面.
（2）在中，，
，
又，，
，，
又，，，平面，
平面，
故建立如图空间直角坐标系，
则，，，，.，
，，.
设平面的一个法向量为m=x1,y1,z1，
则，
令，得，
设平面一个法向量为n=x2,y2,z2，则，
令，得，
所以，
故平面与平面夹角的余弦值为.
18. 已知函数，.
（1）求的单调区间；
（2）设函数，若存在，对任意的，总有成立，求实数的取值范围.
解:（1），
令，则，故
且.
当时，f'x>0，故在为增函数；
当时，f'x