中考数学一轮复习专题07 一元二次方程及其应用（12个高频考点）（举一反三）（2份，原卷版+解析版）

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\l "_Tc26410" 【考点1 一元二次方程的定义】 PAGEREF _Tc26410 \h 1
\l "_Tc6544" 【考点2 一元二次方程的一般形式】 PAGEREF _Tc6544 \h 2
\l "_Tc18091" 【考点3 一元二次方程的解】 PAGEREF _Tc18091 \h 2
\l "_Tc22182" 【考点4 配方法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc22182 \h 3
\l "_Tc29756" 【考点5 公式法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc29756 \h 4
\l "_Tc14488" 【考点6 因式分解法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc14488 \h 4
\l "_Tc17176" 【考点7 换元法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc17176 \h 5
\l "_Tc20496" 【考点8 根的判别式】 PAGEREF _Tc20496 \h 6
\l "_Tc18995" 【考点9 根与系数的关系】 PAGEREF _Tc18995 \h 7
\l "_Tc17751" 【考点10 配方法的应用】 PAGEREF _Tc17751 \h 7
\l "_Tc28977" 【考点11 根据实际问题抽象出一元二次方程】 PAGEREF _Tc28977 \h 8
\l "_Tc18430" 【考点12 一元二次方程的应用】 PAGEREF _Tc18430 \h 9
【要点1 一元二次方程的定义】
等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
【考点1 一元二次方程的定义】
【例1】（2022·山西·盂县第二中学校一模）下列方程中，不是一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣1=0B．x2 ++3=0C．x2 + 2x +1=0D．3x2 +x +1=0
【变式1-1】（2022·江苏·徐州东湖实验学校二模）方程是关于x的一元二次方程，则（ ）
A．m＝﹣1或3B．m＝3C．m＝﹣1D．m≠﹣1
【变式1-2】（2022·广东汕头·二模）请写出一个符合以下所有条件的一元二次方程：（1）二次项的系数为负数；（2）一个实数根为的整数部分，另一个实数根为－4，则这个一元二次方程可以是______．（任意写一个符合条件的即可）．
【变式1-3】（2022·四川宜宾·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A．B．且C．且D．
【要点2 一元二次方程的一般形式】
一元二次方程的一般形式是。其中是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
【考点2 一元二次方程的一般形式】
【例2】（2022·广东深圳·中考真题）一元二次方程x2－2(3x－2)+(x+1)=0的一般形式是( )
A．x2－5x+5=0B．x2+5x－5=0C．x2+5x+5=0D．x2+5=0
【变式2-1】（2022·江苏·徐州东湖实验学校二模）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．2，﹣3，﹣7B．2，﹣7，﹣3C．2，﹣7，3D．﹣2，﹣3，7
【变式2-2】（2022·湖北黄冈·一模）方程化为一般形式后，的值分别是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-3】（2022·黑龙江牡丹江·模拟预测）关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为（ ）
A．0B．±3C．3D．－3
【考点3 一元二次方程的解】
【例3】（2022·青海·中考真题）已知关于x的方程的一个根为，则实数m的值为（ ）
A．4B．C．3D．
【变式3-1】（2022·四川遂宁·中考真题）已知m为方程的根，那么的值为（ ）
A．B．0C．2022D．4044
【变式3-2】（2022·河北·中考真题）小刚在解关于x的方程时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2．则原方程的根的情况是（ ）
A．不存在实数根B．有两个不相等的实数根C．有一个根是x＝﹣1D．有两个相等的实数根
【变式3-3】（2022·江苏南通·二模）若关于x的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程必有一根为（ ）．
A．2020B．2021C．2022D．2023
【要点3 配方法解一元二次方程】
将一元二次方程配成的形式，再用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为的形式；②方程两边同除以二
次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④
把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法
来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
【考点4 配方法解一元二次方程】
【例4】（2022·山东聊城·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ）
A．B．C．2D．
【变式4-1】（2022·四川雅安·中考真题）若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（ ）
A．﹣3B．0C．3D．9
【变式4-2】（2022·河北保定·三模）下面是小颖同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成任务．
(1)任务一：
①小颖解方程的方法是____；
②第二步变形的依据是____；
(2)任务二：请你用“公式法”解该方程．
【变式4-3】（2022·浙江绍兴·一模）将一元二次方程 ax2+bx+c=0，化为 （ x  m）2 ，则 m为____．
【要点4 公式法解一元二次方程】
当时，方程通过配方，其实数根可写为的形式，这个
式子叫做一元二次方程的求根公式，把各项系数的值直接代入这个公式，这种解
一元二次方程的方法叫做公式法.
【考点5 公式法解一元二次方程】
【例5】（2022·四川成都·中考真题）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是_________．
【变式5-1】（2022·北京东城·一模）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若k为正整数，且方程的两个根均为整数，求k的值及方程的两个根．
【变式5-2】（2022·全国·九年级课时练习）设m为整数，且，方程有两个不相等的整数根，求m的值及方程的根．
【变式5-3】（2022·山东·龙口市培基学校八年级期中）关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+3k＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）选取一个合适的k值，使得方程有两个整数根，并求出这两个整数根．
【要点5 因式分解法解一元二次方程】
当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程
转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
【考点6 因式分解法解一元二次方程】
【例6】（2022·内蒙古包头·中考真题）若是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．3或B．或9C．3或D．或6
【变式6-1】（2022·山东临沂·中考真题）方程的根是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【变式6-2】（2022·江苏扬州·二模）已知实数a，b同时满足，则b的值是（ ）
A．2或B．2C．或6D．
【变式6-3】（2022·山东枣庄·中考真题）已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝n时，函数值分别是N1和N2，若存在实数n，使得N1+N2＝1，则称函数y1和y2是“和谐函数”．则下列函数y1和y2不是“和谐函数”的是（ ）
A．y1＝x2+2x和y2＝﹣x+1B．y1＝和y2＝x+1
C．y1＝﹣和y2＝﹣x﹣1D．y1＝x2+2x和y2＝﹣x﹣1
【考点7 换元法解一元二次方程】
【例7】（2022·江苏南京·二模）若关于x的方程ax2+bx+c=0的解是x1=3，x2=−5，则关于y的方程a(y+1)2+b(y+1)+c=0的解是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【变式7-1】（2022·内蒙古包头·一模）若实数x，y满足，则的值为（ ）
A．－1B．2C．－1或2D．－2或1
【变式7-2】（2022·江苏无锡·模拟预测）阅读下列材料：
已知实数m，n满足（2m2＋n2＋1）（2m2＋n2－1）＝80，试求2m2＋n2的值．
解：设2m2＋n2＝t，则原方程变为（t＋1）（t－1）＝80，整理得t2－1＝80，t2＝81，
所以t＝±9，因为2m2＋n2≥0，所以2m2＋n2＝9．
上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
（1）已知实数x、y，满足（2x2＋2y2＋3）（2x2＋2y2－3）＝27，求x2＋y2的值；
（2）已知Rt△ACB的三边为a、b、c（c为斜边），其中a、b满足（a2＋b2）（a2＋b2－4）＝5，求Rt△ACB外接圆的半径．
【变式7-3】（2022·湖北黄石·中考真题）阅读材料，解答问题：
材料1
为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2
已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由书达定理可知，．
根据上述材料，解决以下问题：
(1)直接应用：
方程的解为_______________________；
(2)间接应用：
已知实数a，b满足：，且，求的值；
(3)拓展应用：
已知实数x，y满足：，且，求的值．
【要点6 一元二次方程根的判别式】
一元二次方程根的判别式：．
①当时，原方程有两个不等的实数根；
②当时，原方程有两个相等的实数根；
③当时，原方程没有实数根.
【考点8 根的判别式】
【例8】（2022·辽宁锦州·中考真题）若关于x的方程有两个不相等的实数根，且，则从满足条件的所有整数m中随机选取一个，恰好是负数的概率是____________．
【变式8-1】（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）对于实数a，b定义运算“⊗”为，例如，则关于x的方程 的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．无法确定
【变式8-2】（2022·辽宁·本溪市教师进修学院中考真题）下列一元二次方程无实数根的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式8-3】（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）对于实数，定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（ ）
A．B．C．且D．且
【要点7 一元二次方程的根与系数的关系】
如果一元二次方程的两个实数根是x1,x2，那么x1+x2=, x1x2=
注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
【考点9 根与系数的关系】
【例9】（2022·湖北鄂州·中考真题）若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则的值为 _____．
【变式9-1】（2022·四川宜宾·中考真题）已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A．0B．－10C．3D．10
【变式9-2】（2022·贵州黔东南·中考真题）已知关于的一元二次方程的两根分别记为，，若，则的值为（ ）
A．7B．C．6D．
【变式9-3】（2022·湖北武汉·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（ ）
A．2或6B．2或8C．2D．6
【考点10 配方法的应用】
【例10】（2022·四川凉山·中考真题）已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是________．
【变式10-1】（2022·河北保定·一模）已知：A、B是两个整式，A＝3a2﹣a+1，B＝2a2+a﹣2．
尝试当a＝0时，A＝______，B＝______．
当a＝2时，A＝______，B＝______．
猜测 嘉淇猜测：无论a为何值，A＞B始终成立．
验证 请证明嘉淇猜测的结论．
【变式10-2】（2022·山东滨州·三模）新定义：关于x的一元二次方程a1(x﹣m)2+k＝0与a2(x﹣m)2+k＝0称为“同族二次方程”．如2(x﹣3)2+4＝0与3(x﹣3)2+4＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程2(x﹣1)2+1＝0与(a+2)x2+(b﹣4)x+8＝0是“同族二次方程”，那么代数式ax2+bx+2026能取的最小值是（ ）
A．2020B．2021C．2023D．2018
【变式10-3】（2022·云南昆明·一模）我们可以用以下方法求代数式的最小值．
∵
∴
∴当时，有最小值．
请根据上述方法，解答下列问题：
(1)求代数式的最小值；
(2)求代数式的最大或最小值，并指出它取得最大值或最小值时x的值；
(3)求证：无论x和y取任何实数，代数式的值都是正数．
【考点11 根据实际问题抽象出一元二次方程】
【例11】（2022·宁夏·中考真题）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地号汽油价格三月底是元/升，五月底是元/升．设该地号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据题意列出方程，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式11-1】（2022·山东泰安·中考真题）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【变式11-2】（2022·青海·中考真题）如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为______．
【变式11-3】（2022·山东济宁·一模）宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房，如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价比定价180元增加x元，则有（ ）
A．B．
C．D．
【考点12 一元二次方程的应用】
【例12】（2022·湖北荆门·中考真题）某商场销售一种进价为30元/个的商品，当销售价格x（元/个）满足40＜x＜80时，其销售量y（万个）与x之间的关系式为y＝﹣x+9．同时销售过程中的其它开支为50万元．
(1)求出商场销售这种商品的净利润z（万元）与销售价格x函数解析式，销售价格x定为多少时净利润最大，最大净利润是多少？
(2)若净利润预期不低于17．5万元，试求出销售价格x的取值范围；若还需考虑销售量尽可能大，销售价格x应定为多少元？
【变式12-1】（2022·黑龙江·中考真题）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（ ）
A．8B．10C．7D．9
【变式12-2】（2022·辽宁丹东·中考真题）丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
(1)直接写出y与x的函数关系式；
(2)若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？
(3)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
【变式12-3】（2022·重庆巴蜀中学二模）为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000米的公路进行路面“白改黑”工程．该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30米，大型设备每小时铺设路面60米．
(1)由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多，当这个工程完工时，小型设备的使用时间为多少小时？
(2)通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的里程39000米多了9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比原计划增加了18m小时，同时，因为新增的工人操作大型设备不够熟练，使得比原计划每小时下降了m米，使用时间增加了小时，求m的值．
解：第一步
第二步
第三步
第四步
，第五步
销售单价x（元/件）
…
35
40
45
…
每天销售数量y（件）
…
90
80
70
…