人教版数学九下期末复习训练专题05 位似（重难点突破）（2份，原卷版+解析版）

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一、位似图形
（1）位似中心可以在两个图形的内部，可以在两个图形的外部，也可以在两个图形上．
（2）判断两个图形是否位似，首先看它们是否相似，再看对应的连线是否经过同一点．
【例1】青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．如图是视力表的一部分，图中的“”均是相似图形，其中不是位似图形的是（ ）
A．①和④B．②和③C．①和②D．②和④
【答案】B
【详解】解：①和④、①和②、②和④，两个图形是相似图形、对应点的连线都经过同一点、对应边平行，都是位似图形；
②和③，对应边不平行，不是位似图形，
故选：B．
【例2】如图四个图中，均与相似，且对应点交于一点，则与成位似图形的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【详解】解：图1中，与成位似图形；
图2中，∵与不平行，与不平行，∴与不成位似图形；
图3中，与成位似图形；
图4中，与成位似图形；
综上，与成位似图形的有图1、图3、图4，共有3个．
故选：C．
二、位似图形的性质
位似图形的对应角相等，对应边成比例；位似图形的对应点的连线相交于一点，即经过位似中心；位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上；位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．
【例3】下列命题不正确的是（ ）
A．两个位似图形一定相似
B．位似图形的对应边若不在同一直线上，那么一定平行
C．两个位似图形的位似比就是相似比
D．两个相似图形一定是位似图形
【答案】D
【详解】解：根据位似图形变换性质知：位似是相似的特殊形式；
A、两个位似图形一定相似，正确，故不符合题意；
B、两个位似图形一定相似位似图形的对应边若不在同一条直线上，那么一定平行，正确，故不符合题意；
C、两个位似图形的位似比就是相似比，正确，故不符合题意；
D、两个相似图形不一定是位似图形，错误，故符合题意．
故选：D．
三、画位似图形
用在对应点所在直线上截取的方法画位似图形时，关键是准确地按比例画出各线段的长，只有这样画出的图形才准确．
【例4】如图，在方格纸上，以点为位似中心，把缩小到原来的，则点的对应点为（ ）
A．点或点B．点或点C．点或点D．点或点
【答案】D
【详解】解：作射线，
，
射线经过点D和点G，且，，
∴点A的对应点为点D或点G，
故选：D．
四、平面直角坐标系中的位似变化
位似、平移、轴对称、旋转都是图形变化的基本形式，它们的本质区别在于：平移、轴对称、旋转三种图形变化都是全等变化，而位似变化是相似（扩大、缩小或不变）变化．
【例5】在如图所示的正方形网格图中，已知点，，若以点为位似中心，把放大到原来的2倍，则点的对应点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：∵，，
∴平面直角坐标系如图所示，以点为位似中心，把放大到原来的2倍，点A的对应点为，
则点的坐标为，
故选：C．
【例6】如图，与是位似图形，点是位似中心，若，，则的面积是（）
A．8B．18C．27D．30
【答案】C
【详解】解：与是位似图形，，
与的相似比为2：3，
与的面积比为4：9，
，
，
故选：C．
一、单选题
1．如图，与位似，点O是它们的位似中心，其中，则与的面积之比是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：∵与位似，
∴，，
∴，而，
∴ ，
∴与的面积之比是，
故选：D．
2．如图，以点O为位似中心，将放大后得到，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：，
，
∵以点O为位似中心，将放大后得到，
，
，
故选：D．
3．在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，把缩小为原来的，得到，则点的对应点的坐标是（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】B
【详解】解：根据题意得，位似比是，且位似比是的三角形有两个，，
∴①乘以得，；②乘以得，，
故选：．
4．如图，ABC与DEF是位似图形，相似比为2：3，已知AB＝10，则DE的长为（ ）
A．B．15C．30D．20
【答案】B
【详解】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，
∴AB：DE=2：3，
∴10：DE=2：3，
∴DE=15，
故选：B．
5．如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（ ）
A．B．点C、点O、点C′三点在同一直线上
C．D．
【答案】C
【详解】解：以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，
∴，点C、点O、点C′三点在同一直线上，，，
∴，
则选项A、B、D正确，不符合题意，选项C正确，符合题意；
故选：C
6．如图，在直角坐标系中，与是位似图形，则位似中心为（ ）
A．点MB．点NC．点OD．点P
【答案】D
【详解】解：连接，交于点P，
则点P为位似中心，
故选：D．
二、填空题
7．如图，正方形与正方形是位似图形，点O为位似中心，相似比为，点D的坐标为，则点B的坐标为______．
【答案】
【详解】解：∵正方形与正方形是位似图形，点O是位似中心，相似比为，点D的坐标为，
∴，则，
∴点B的坐标是：．
故答案为：．
8．如图，在平面直角坐标系中，将以原点为位似中心放大后得到，若，，，则的坐标为______．
【答案】
【详解】解：∵将以原点O为位似中心放大后得到，，，
∴与的位似比为，
∵点B的坐标为，
∴点的坐标为，
故答案为：．
三、解答题
9．如图所示，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，,．
(1)将向左平移4个单位长度，得到，请画出；
(2)以点O为位似中心，请你在第三象限内画出，使其与位似，且相似比为，并写出、两点的坐标．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析，，
【详解】（1）解：如图，为所作三角形；
（2）解：如图，为所作；，．
10．如图所示的格点图中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在格点上．
(1)以原点O为位似中心，画出放大为原来的2倍后的．
(2)求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)16
【详解】（1）解：如图，（只需画任意一个）
如图，为所求
（2）解：
∵，相似比为，
∴，
∴．
一、单选题
1．如图，与位似，位似中心为点O，与的周长之比为，则的比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：∵与位似，
∴，，
∴，
∴，
∵与的周长之比为，
∴，
∴．
故选：C．
2．如图，O是位似中心，点A，B的对应点分别为点D、E，相似比为，若，则的长为（ ）
A．8B．10C．12D．16
【答案】D
【详解】∵O是位似中心，点A，B的对应点分别为点D、E，
∴，
∵相似比为，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
3．如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心为原点，位似比为，若点，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：∵点C（−2，3），与C在原点两侧，且位似比为1：2，
∴坐标为[−2×（−2），2×（−3）]，即（4，−6）．
故选：A．
4．如图，三个顶点的坐标分别为，，，以原点为位似中心，把这个三角形放大为原来的倍，得到，则点的对应点的坐标是( )
A．B．C．或 D．或
【答案】C
【详解】解：以原点为位似中心，把放大为原来的倍，得到，，
点的对应点的坐标是或，
即或．
故选：C．
5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，把△ABC绕AB边上的点D顺时针旋转90°得到△A′B′C′，A′C′交AB于点E，若AD=BE，则△A′DE的面积是（ ）
A．3B．5C．11D．6
【答案】D
【详解】解：Rt△ABC中，AB==10，由旋转的性质，设AD=A′D=BE=x，则DE=10﹣2x．∵△ABC绕AB边上的点D顺时针旋转90°得到△A′B′C′，∴∠A′=∠A，∠A′DE=∠C=90°，∴△A′DE∽△ACB，∴=，即=，解得：x=3，∴S△A′DE=DE×A′D=×（10﹣2×3）×3=6．故选D．
点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理及旋转的性质的运用．关键是根据旋转的性质得出相似三角形，利用相似比求解．
6．在▱ABCD中，E是BC的中点，F是AB的中点，AE与DF交于点H，过点H作MN⊥BC，垂足为M，交AD于N．那么=（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】D
【详解】如图，延长DF使DF=FL，又因为F为AB中点，所以△DAF≌△LBF.且易知△ADH∽△ELH，所以.又因为E为BC中点，AD=BL，所以，所以选D.
二、填空题
7．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△AOB缩小为原来的，得到△COD，若点A的坐标为（4，2），则AC的中点E的坐标是 _____．
【答案】（1，）
【详解】∵以原点O为位似中心，将△AOB缩小为原来的，得到△COD，点A的坐标为（4，2），
∴点C的坐标为（4×（），2×（）），即点C的坐标为（﹣2，﹣1），
∴AC的中点E的坐标是（1，），
故答案为：（1，）．
8．如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（-4，2），B（-2，-2）．以坐标原点O为位似中心把△AOB缩小得到△A1OB1，△A1OB1与△AOB的位似比为，则点A的对应点A1的坐标为_______．
【答案】（-2，1）或（2，-1）
【详解】解∶∵以坐标原点O为位似中心把△AOB缩小得到，与△AOB的位似比为，
∴点的对应点的横纵坐标与点A的横纵坐标的比值为或，
∵A（-4，2），
∴的坐标为或， 即(-2，1)或(2，-1)，
故答案为∶(-2，1)或(2，-1)．
三、解答题
9．如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，．
(1)画出绕点顺时针旋转后得到的△；
(2)以原点为位似中心，在图中画出将△放大为原来的2倍后的△，并写出，的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)画图见解析，或，或
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）如图，或即为所求．
或，或．
10．如图，在平面直角坐标系中，和关于点E成中心对称．
(1)在图中标出点E，写出点E的坐标；
(2)点是边AB上一点，经过平移后点P的对应点的坐标为，请画出上述平移后的，并写出点的坐标；
(3)若和关于点F成位似三角形，写出点F的坐标．
【答案】(1)作图见解析，；
(2)作图见解析，；
(3)．
【详解】（1）解：点E如图所示，点E的坐标为： ．
（2）解：由题意可知，是向左平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度所得，平移后的如图所示，的坐标为：．
（3）解：如图所示，连接，，交点F即为位似中心，F的坐标为：．
重点
理解位似图形的概念，理解位似变化是特殊的相似变化．
难点
画位似图形，根据相似比把一个图形放大或缩小
易错
混淆位似与相似，忽略位似中心的位置