人教版数学七下第六章 实数 章末检测卷（2份，原卷版+解析版）

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注意事项：
本试卷满分120分，考试时间90分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·辽宁丹东·八年级期末）下列各数：，，0.6868868886…（相邻两个6之间8的个数逐次加1），，，其中无理数的个数有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据无理数是无限不循环小数进行判断解答即可．
【详解】无理数有，0.6868868886…（相邻两个6之间8的个数逐次加1），，共3个， 故选：C
【点睛】本题考查无理数，熟知无理数的概念是解答的关键，注意是无理数．
2．（2022·浙江·九年级专题练习）的算术平方根是（ ）
A．3B．﹣3C．﹣9D．9
【答案】A
【分析】先计算，再计算的算术平方根即可．
【详解】，的算术平方根为故选A
【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，先计算是解题的关键．
3．（2021·江苏·靖江市实验学校七年级阶段练习）下列说法：①正整数和负整数统称为整数；②绝对值是它本身的数只有0；③异号两数相加的和一定小于每一个加数；④如果两个数积为0，那么至少有一个因数为0；⑤数轴上表示互为相反数的点位于原点的两侧；⑥面积为2的正方形的边长是无理数；⑦0除以任何数都得0；其中正确的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】A
【分析】①根据整数的分类可判断正误；②根据绝对值的性质可判断正误；③根据有理数的加法法则可判断出正误；④根据有理数的乘法法则可判断出正误；⑤根据相反数的概念即可判断；⑥根据无理数的概念即可判断；⑦根据有理数的除法可判断正误．
【详解】解：①正整数、负整数、0统称为整数，故①错误，不符合题意；
②绝对值是它本身的数有正数和0，故②错误，不符合题意；
③异号两数相加的和不一定小于每一个加数，故③错误，不符合题意；
④如果两个数积为0，那么至少有一个因数为0，故④正确，符合题意；
⑤数轴上表示互为相反数的点位于原点的两侧除外），故⑤错误，不符合题意；
⑥面积为2的正方形的边长是无理数，故⑥正确，符合题意；
⑦0除以任何非零的数都得0，故⑦错误，不符合题意；正确的只有：④⑥，共两个，故选：A．
【点睛】本题主要考查了绝对值，有理数，有理数的加法和乘法，解题的关键是要熟练掌握相应的知识点．
4．（2021·山东胶州·八年级期中）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．若每个小立方块的体积为216cm³，则该几何体的最大高度是（ ）
A．6cmB．12cmC．18cmD．24cm
【答案】D
【分析】由每个小立方体的体积为216cm3，得到小立方体的棱长，再由三视图可知，最高处有四个小立方体，则该几何体的最大高度是4×6=24cm．
【详解】解：∵每个小立方体的体积为216cm3，∴小立方体的棱长，
由三视图可知，最高处有四个小立方体，∴该几何体的最大高度是4×6=24cm，故选D．
【点睛】本题主要考查了立方根和三视图，解题的关键在于能够正确求出小立方体的棱长．
5．（2021·河北滦州·八年级期中）如图，数轴上的点A，B，O，C，D分别表示数，，0，1，2，则表示数的点P应落在（ ）．
A．线段AB上B．线段BO上C．线段OC上D．线段CD上
【答案】B
【分析】根据，得到，根据数轴与实数的关系解答．
【详解】解：∵，∴，
∴，∴，∴表示的点在线段BO上，故选：B．
【点睛】本题考查了无理数的估算，实数与数轴，正确估算无理数的大小是解本题的关键．
6．（2021·河南孟津·八年级期中）若＝2.89，＝28.9，则b等于（ ）
A．1000000B．1000C．10D．10000
【答案】B
【分析】根据立方根得出a＝2.893，ab＝28.93＝2.893×103，即可求出b的值．
【详解】∵＝2.89，＝28.9，∴a＝2.893，ab＝28.93＝2.893×103，∴b＝103＝1000，故选：B．
【点睛】本题考查了对立方根定义的应用，解此题的关键是能关键立方根定义得出等式a＝2.893，ab＝28.93＝2.893×103，难度适中．
7．（2021·四川省绵阳南山中学双语学校七年级阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．0.01是0.1的平方根 B．小于0.5 C．的小数部分是
D．任意找一个数，利用计算器对它开立方，再对得到的立方根进行开立方……如此进行下去，得到的数会越来越趋近1
【答案】C
【分析】根据平方根的定义，以及无理数的估算等知识点进行逐项分析判断即可．
【详解】解：A、0.1是0.01的平方根，原说法错误，不符合题意；
B、由，得，原说法错误，不符合题意；
C、由，得，即的整数部分为4，则小数部分为，原说法正确，符合题意；D、例如0和-1按此方法无限计算，结果仍为0和-1，并不是趋近于1，原说法错误，不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查平方根的定义，无理数的估算等，掌握实数的相关基本定义是解题关键．
8．（2021·福建龙岩·）有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为64时，输出的y是（ ）
A．2 B．2C．D．±
【答案】C
【分析】直接利用立方根以及算术平方根、无理数的定义分析得出答案．
【详解】由题意可得：64的立方根为4，4的算术平方根是2，2的算术平方根是，即．故选：C．
【点睛】此题主要考查了立方根以及算术平方根、无理数的定义，正确掌握相关定义是解题关键．
9．（2021·江苏南京·中考真题）一般地，如果（n为正整数，且），那么x叫做a的n次方根，下列结论中正确的是（ ）
A．16的4次方根是2
B．32的5次方根是
C．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小
D．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而增大
【答案】C
【分析】根据题意n次方根，列举出选项中的n次方根，然后逐项分析即可得出答案．
【详解】A. ，16的4次方根是，故不符合题意；
B.，，32的5次方根是2，故不符合题意；
C.设则 且
当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小，故符合题意；
D.由的判断可得：错误，故不符合题意．故选．
【点睛】本题考查了新概念问题，n次方根根据题意逐项分析，得出正确的结论，在分析的过程中注意x是否为负数,通过简单举例验证选项是解题关键．
10．（2021·滕州市张汪镇蒋庄中学八年级月考）若与互为相反数，则的值为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据相反数与立方根的性质计算即可得答案．
【详解】解：∵ 与 是相反数，∴==
∴3x－1=2y－１，整理得：3x=2y，即 ，故选A．
【点睛】本题主要考查立方根的性质，正数的立方根是正数，负数的立方根还是负数，一个数只有一个立方根，熟练掌握立方根的性质是解题关键．
11．（2020·成都市实外初二期中）对于有理数a、b，定义min{a，b}的含义为：当a＜b时，min{a，b}＝a，例如：min{1，－2}＝－2．已知min{，a}＝a，min{，b}＝，且a和b为两个连续正整数，则a－b的立方根为（ ）
A．－1B．1C．－2D．2
【答案】A
【分析】根据min{a，b}的含义得到：a＜＜b，由a和b为两个连续正整数求得它们的值，然后代入即可求得a－b的立方根．
【解析】解：∵，，∴a＜＜b，
∵5＜＜6，且a和b为两个连续正整数，∴a=5，b=6，
∴，∴的立方根为-1．故选：A．
【点睛】本题考查的是二次根式的应用，立方根，实数的运算，根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键．
12．（2021·福建·厦门市集美区乐安中学八年级阶段练习）如图是一个按某种规律排列的数阵，根据数阵排列的规律，第2021行从左向右数第2020个数是（ ）
A．2020B．2021C．D．
【答案】D
【分析】经观察发现，第1行有2个数且第1个数为1，第2行有4个数且第2个数为2，第3行有6个数且第3个数为3，由此可知推断第n行共有2n个数，且第n行的第n个数为n＝，从而得出答案．
【详解】解：经观察发现，第1行有2个数且第1个数为1，第2行有4个数且第2个数为2，第3行有6个数且第3个数为3，由此可知推断第n行共有2n个数，且第n行的第n个数为n＝，
∴第2021行从左向右数第2021个数是2021，∴第2021行从左向右数第2020个数是，故选D．
【点睛】本题主要考查了数字类的排列规律，解题的关键在于能够准确观察出规律．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
13．（2021·山东张店·一模）运用科学计算器（如图是其面板的部分截图）进行计算，按键顺序如图：则计算器显示的结果是____________．
【答案】67
【分析】根据计算器的按键顺序，写出计算的式子．然后求值．
【详解】解：根据题意得：＝67，故答案为：67．
【点睛】本题目考查了计算器的应用，根据按键顺序正确写出计算式子是关键．
14．（2021·北京大兴·）如图，把图①中的长方形分成、两部分，恰与正方形拼接成如图②的大正方形．如果正方形A的面积为2，拼接后的大正方形的面积是5，则图①中原长方形的长和宽分别是__________．
【答案】，．
【分析】设C的长为x，宽为y，根据图②可得B的长和宽，根据正方形A的面积可求出x的值，根据拼接后的大正方形的面积可求出B的长和宽，从而可进一步求出图①中原长方形的长和宽．
【详解】
解：设C的长为x，宽为y，则B的长为x+y，宽为y，
∵正方形的面积为2，∴（负值舍去）
∵拼接后的大正方形的面积是5，∴（负值舍去） ∴
∴图①中原长方形的长为，图①中原长方形的宽为
故答案为：，．
【点睛】此题主要考查了实数的应用，看懂图形，找准数量关系是解答此题的关键．
15．（2021·浙江瑞安·七年级期中）如图，在纸面上有一数轴，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为3，点C表示的数为．若子轩同学先将纸面以点B为中心折叠，然后再次折叠纸面使点A和点B重合，则此时数轴上与点C重合的点所表示的数是_______．
【答案】4+或6﹣或2﹣．
【分析】先求出第一次折叠与A重合的点表示的数，然后再求两点间的距离即可；同理再求出第二次折叠与C点重合的点表示的数即可．
【详解】解：第一次折叠后与A重合的点表示的数是：3+（3+1）＝7．
与C重合的点表示的数：3+（3﹣）＝6﹣．
第二次折叠，折叠点表示的数为：（3+7）＝5或（﹣1+3）＝1．
此时与数轴上的点C重合的点表示的数为：
5+（5﹣6+）＝4+或1﹣（﹣1）＝2﹣．
故答案为：4+或6﹣或2﹣．
【点睛】本题主要考查了数轴上的点和折叠问题，掌握折叠的性质是解答本题的关键．
16．（2021·湖南·衡阳市实验中学八年级期中）若表示不超过的最大整数，设，那么______．
【答案】25
【分析】先写出前几个数的值，然后可得出3个数、5个数、7个数依次相等，从而可得出答案．
【详解】解：，，
，，，
原式，
，，故答案为：25．
【点睛】本题考查取整函数的知识，平方根，难度较大，解答的关键是根据一般规律推导特殊性质的能力，利用规律进行求解．
17．（2021·山东省滕州市官桥中学八年级月考）观察下列等式：回答问题：
①
②
③，…
（1）根据上面三个等式的信息，猜想________；
（2）请你找出其中规律，并将第个等式写出来_______．
【答案】 =
【分析】（1）由前面的三个等式猜想结果；（2）根据观察，可得规律．
【详解】解：（1）根据上面三个等式的信息，猜想：==；
（2）观察可知：=．
【点睛】本题考查了算术平方根，观察等式发现规律是解题关键．
18．（2021·河北·邢台市第六中学八年级阶段练习）对于实数a，b，且（a≠b），我们用符号min{a，b}表示a，b两数中较小的数，例如：min（1，﹣2）＝﹣2．
（1）min（﹣，﹣）＝_____；
（2）已知min（，a）＝a，min（，b）＝，若a和b为两个连续正整数，则a+b＝_____．
【答案】
【分析】（1）直接根据min{a，b}表示a，b两数中较小的数，表示出（﹣，﹣）较小的数即可；（2）根据min{a，b}表示a，b两数中较小的数，得出，根据a和b为两个连续正整数，可得结果．
【详解】解：（1）∵，∴，
∴min（﹣，﹣）＝，故答案为：；
（2）∵min（，a）＝a，min（，b）＝，∴，
∵a和b为两个连续正整数，∴，
∴，，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，无理数的估算，熟练掌握实数的大小比较方法以及无理数的估算方法是解本题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021·黄梅县教育科学研究所七年级期末）计算：
（1） （2）
【答案】（1）；（2）6
【分析】（1）先根据乘方的法则，绝对值的性质，立方根的定义逐个计算，再进行实数加减计算；
（2）先根据乘方的运算法则，算术平方根的定义，负1的奇数次幂法则计算，再计算加减.
【详解】（1）解：原式=，；
（2）解：原式，=6.
【点睛】本题主要考查乘方的法则，绝对值的性质，开平方，开立方运算，解决本题的关键是要熟练掌握实数相关运算法则.
20．（2021·黑龙江七年级期中）解方程：
（1） （2） （3）
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）先移项得，再利用平方根的定义求解；（2）直接利用平方根的定义进行求解；
（3）先移项，再两边乘以得，最后用立方根的定义进行求解．
【详解】解：（1）
，
解得：；
（2）
，
解得：；
（3）
，
，
，
．
【点睛】本题考查了解利用平方根、立方根的定义求解方程、解题的关键是掌握平方根、立方根的定义即：一个正数有两个实平方根，它们互为相反数，负数没有平方根，0的平方根是0；如果一个数的立方等于，那么这个数叫的立方根．
21．（2021·浙江长兴·七年级阶段练习）如图1，依次连接2×2方格四条边的中点，得到一个阴影正方形，设每一方格的边长为1个单位，则这个阴影正方形的边长为．
（1）图1中阴影正方形的边长为 ；点P表示的实数为 ；
（2）如图2，在4×4方格中阴影正方形的边长为a．
①写出边长a的值．②请仿照（1）中的作图在数轴上表示实数﹣a+1．
【答案】（1），1+；（2）①；②见解析
【分析】（1）先利用大正方形的面积减去四个三角形的面积可得正方形ABCD的面积，再求其算术平方根即可得；（2）①先利用大正方形的面积减去四个三角形的面积可得阴影部分正方形的面积，再求其算术平方根即可得；②由数轴上表示1的点为圆心画弧，与数轴负半轴的交点表示的数即为．
【详解】解：（1）正方形ABCD的面积为：，
正方形ABCD的边长为：，，，
由题意得：点表示的实数为：，故答案为：，；
（2）①阴影部分正方形面积为：，求其算术平方根可得：，
②如图所示：
点表示的数即为．
【点睛】本题考查了割补法求面积以及实数与数轴等知识，熟练掌握割补法求面积是解题的关键．
22．（2021·河北玉田·八年级期中）发现：（1）面积为的正方形纸片，它的边长是______cm；
拓展：（2）面积为的长方形纸片，如果它的长是宽的2倍，则长和宽各是多少cm？
延伸：（3）在面积为的正方形纸片中能否沿着边的方向（如图所示）裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长是宽的2倍?说明理由．
【答案】（1）7；（2）长方形的宽为cm，长为cm；（3）不能，理由见解析
【分析】（1）根据正方形的面积公式和正方形的面积即可求出正方形的边长；
（2）设长方形的宽为xcm，则长为2xcm，根据长方形的面积为列出方程求解即可；
（3）根据题意比较正方形的边长和长方形的长即可判断．
【详解】解：（1）∵正方形的面积为，∴边长cm．
（2）设长方形的宽为xcm，则长为2xcm，
根据题意得x·2x＝26， x2＝13，解得x＝
∵x＝－不合题意，舍去，∴x＝ ∴长为2x＝cm，
答：长方形的宽为cm，长为cm，
（3）不能．理由：因为＞7，即长方形的长大于正方形的边长，所以不能裁出符合要求的长方形纸片．
【点睛】此题考查了正方形和长方形面积公式，算数平方根的性质，解题的关键是根据题意求出正方形的边长和长方形的长和宽．
23．（2021·河南省淮滨县第一中学七年级单元测试）观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：
（1），，，……
，，，……
由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向______移动______位．
（2）已知，，则_____；______．
（3），，，……小数点的变化规律是_______________________．
（4）已知，，求y的值．
【答案】（1）两；右；一；（2）12.25；0.3873；（3）被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）-0.01
【分析】（1）观察已知等式，得到一般性规律，写出即可；（2）利用得出的规律计算即可得到结果；
（3）归纳总结得到规律，写出即可；（4）利用得出的规律计算即可得到结果．
【详解】解：（1），，，……
，，，……
由此可见，被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位．
故答案为：两；右；一；
（2）已知，，则；；故答案为：12.25；0.3873；
（3），，，……
小数点的变化规律是：被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；
（4）∵，，∴，∴，∴y=-0.01．
【点睛】此题考查了立方根，以及算术平方根，弄清题中的规律是解本题的关键．
24．（2021·山东乐陵·七年级期中）本学期《实数》中，我们学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容：
今天我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根类比探索：
（1）探索定义：填写下表：
类比平方根和立方根，给四次方根下定义：
（2）探究性质: ①1的四次方根是 ；②16的四次方根是 ；③的四次方根是 ；
④12的四次方根是 ；⑤0的四次方根是 ；⑥﹣625 （填“有”或“没有”）四次方根．
类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质： ．
（3）拓展应用：在探索过程中，你用到了哪些数学思想？请写出两个（请写出两个）
【答案】（1）见解析；（2）①1；②2；③；④；⑤0；⑥没有；一个正数有两个四次方根，且互为相反数；0的四次方根是0，负数没有四次方根．（3）类比思想；分类讨论思想；由特殊到一般的思想．
【分析】（1）计算即可求解；（2）根据平方根、立方根的意义和特征，类推四次方根的意义和特征，根据四次方根的意义求一个数的四次方根．（3）用到了：类比思想；分类讨论思想；由特殊到一般的思想．
【详解】解：（1）填写表格如下：
（2）①1的四次方根是：1；②16的四次方根是：2；③的四次方根是：；
④12的四次方根是：；⑤0的四次方根是：0；⑥﹣625没有（填“有”或“没有”）四次方根．
类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：一个正数有两个四次方根，且互为相反数；0的四次方根是0，负数没有四次方根．
（3）拓展应用：在探索过程中，用到了：类比思想；分类讨论思想；由特殊到一般的思想．
【点睛】本题主要考查了平方根、立方根、方根的意义、特征，解题的关键是熟练掌握方根的意义．依据意义正确的计算是重要的环节．
25．（2021·陕西·咸阳市秦都区双照中学八年级阶段练习）喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“老根数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如：，，这三个数，，，，其结果，，都是整数，所以，，这三个数称为“老根数”，其中“最小算术平方根”是，“最大算术平方根”是．
（1），，这三个数是“老根数”吗？若是，请求出任意两个数乘积的“最小算术平方根”与“最大算术平方根”； （2）已知，，，这三个数是“老根数”，且任意两个数乘积的算术平方根中，“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的倍，求的值．
【答案】，，这三个数是“老根数”， “最小算术平方根”是，“最大算术平方根”是；（2）的值为或．
【分析】（1）根据“老根数”“最小算术平方根”“最大算术平方根”的意义求解即可；
（2）分三种情况进行解答即可，即a＜16，16＜a＜36，a＞36，分别列方程求解即可．
【详解】解：（1）因为，，，所以，，这三个数是“老根数”，
因为，所以其中“最小算术平方根”是，“最大算术平方根”是；
（2）当时，根据题意得，解得；
当时，根据题意得，解得，不合题意舍去；
当时，根据题意得，解得，综上所述，的值为或．
【点睛】本题考查了算术平方根，理解“老根数”、“最小算术平方根”、“最大算术平方根”的意义是正确解答的前提，求出“任意两个数乘积的算术平方根”是解决问题的关键．
26．（2021·贵州六盘水·八年级阶段练习）数学课上，老师出了一道题：比较与的大小．
小华的方法是：
因为＞4，所以﹣2_____2，所以_____（填“＞”或“＜”）；
小英的方法是：﹣＝，因为19＞42＝16，所以﹣4____0，所以____0，所以_____（填“＞”或“＜”）．
（1）根据上述材料填空；（2）请从小华和小英的方法中选择一种比较与的大小．
【答案】（1）＞，＞，＞，＞，＞；（2）．
【分析】（1）根据不等式的性质即可求解；（2）根据小华的方法求解即可．
【详解】解：（1）∵，∴，∴；，
∵，∴．∴，∴，故答案是：＞，＞，＞，＞，＞；
（2）∵，∴，∴；
【点睛】考查了实数大小比较，读懂题目并能应用，熟练掌握比较大小的解法是解题的关键．
平方根
立方根
定义
一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）．
一般地，如果一个数x的立方等于a即x＝a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）．
运算
求一个数a的平方根的运算叫做开平方．开平方和平方互为逆运算．
求一个数a的立方根的运算叫做开立方．开立方和立方互为逆运算．
性质
一个正数有两个平方根，它们互为相反数：0的平方根是0；负数没有平方根．
正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数．
表示方法
正数a的平方根可以表示为“±”．
一个数a的立方根可以表示为“”．
x4
1
16
81
x
x4
1
16
81
x
1
2
3