人教版数学七下第七章 平面直角坐标系 章末检测卷（2份，原卷版+解析版）

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注意事项：
本试卷满分100分，考试时间90分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021·山西大同·七年级月考）法国数学家笛卡尔，最早引入平面直角坐标系，用代数方法研究几何，这种研究方法体现的数学思想是（ ）
A．数形结合 B．建模 C．类比 D．分类讨论
【答案】A
【分析】直接利用引入坐标和变量的概念，得出数学思想．
【详解】平面直角坐标系很好地体现了数形结合的数学思想．故选：A．
【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，正确了解数学思想是解题关键．
2．（2021·浑源县教育科技局教研室）中新社北京时间2021年4月9日7时1分，中国在太原卫星发射中心用长征四号乙运载火箭，成功将试验六号03星发射升空，卫星顺利进入预定轨道．本发火箭是2021年度太原卫星发射中心的首次宇航发射，也是长四型号时隔近半年再次进入太原卫星发射中心执行发射任务．下列表述，能确定太原位置的是（ ）
A．晋中盆地北部地区 B．华北地区黄河流域中部 C．东经 D．东经，北纬
【答案】D
【分析】解：根据平面直角坐标系坐标系表示点的位置需要两个数据一对有序实数对进行一一排查即可．
【详解】解：根据平面直角坐标系坐标系表示点的位置需要两个数据，
A. “晋中盆地北部地区”只能确定区域目标，太原在这区域哪位置不知道，故A不符合题意；
B. “华北地区黄河流域中部”黄河流域也是一个范围，太原在这区域哪位置不知道，故B不符合题意；
C. “东经”也是一个范围，太原在这线上，在这个线上哪位置不知道，故C不符合题意；
D. “东经，北纬” 数据东经，北纬能确定唯一的点，
∴能确定太原位置，故D符合题意；故选择：D．
【点睛】本题考查平面直角坐标系点的位置确定，掌握平面直角坐标系点的位置确定是一对有序实数对是解题关键．
3．（2021·广东深圳市·八年级期末）在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ）
A．点P（3，2）到x轴的距离是3 B．若ab＝0，则点P（a，b）表示原点
C．若A（2，﹣2）、B（2，2），则直线AB∥x轴 D．第三象限内点的坐标，横纵坐标同号
【答案】D
【分析】根据点的坐标的几何意义逐一进行判断即可得答案．
【详解】A.点P（3，2）到x轴的距离是2，故本选项不符合题意．
B.若ab＝0，则点P（a，b）表示原点或坐标轴上的点，故本选项不符合题意．
C.若A（2，﹣2）、B（2，2），则直线AB∥y轴，故本选项不符合题意．
D.第三象限内点的坐标，横纵坐标都是负号，故本选项符合题意．故选：D．
【点睛】本题考查点的坐标的几何意义，由坐标平面内的一点P分别向x轴，y轴作垂线，垂足M,N在x轴，y轴上的坐标分别为x和y，我们则说P点的横坐标为x,纵坐标是y，记作P(x，y)；熟练掌握相关定义是解题关键．
4．（2021·邯郸市永年区教育体育局教研室八年级期末）如图，学校（记作A）在蕾蕾家（记作B）南偏西25°的方向上，且与蕾蕾家的距离是4km，若∠ABC＝90°，且AB＝BC，则超市（记作C）在蕾蕾家的（ ）
A．南偏东65°的方向上，相距4km B．南偏东55°的方向上，相距4km
C．北偏东55°的方向上，相距4km D．北偏东65°的方向上，相距4km
【答案】A
【分析】直接利用方向角的定义得出∠2的度数，进而确定超市（记作C）与蕾蕾家的位置关系．
【详解】解：如图所示：
由题意可得：∠1=25°，∠ABC=90°，BC=AB=4km，则∠2=65°，
故超市（记作C）在蕾蕾家的南偏东65°的方向上，相距4km．故选：A．
【点睛】本题主要考查了方向角的定义，正确根据图形得出∠2的度数是解题关键．
5．（2021·四川达州市·八年级期末）若点位于平面直角坐标系第四象限，且点到轴的距离是1，到轴的距离是，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】可先判断出点的坐标的符号，再跟据到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值，得到具体坐标即可．
【详解】解：∵P到x轴的距离为1，到y轴的距离为2，∴P纵坐标可能为±1，横坐标可能为±2，
∵点M在第四象限，∴P坐标为（2，-1）．故选：D．
【点睛】本题考查点的坐标的确定；用到的知识点为：点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值．
6．（2021·辽宁）在平面直角坐标系中，将点A（x，y）向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度后与点B（﹣1，2）重合，则点A的坐标是（ ）
A．（4，5）B．（﹣6，﹣1）C．（﹣4，5）D．（﹣4，﹣1）
【答案】A
【分析】根据点坐标的平移变换规律即可得．
【详解】解：由题意得：，解得，即，故选：A．
【点睛】本题考查了点坐标的平移变换，熟练掌握点坐标的平移变换规律是解题关键．
7．（2021·东北育才双语学校八年级期末）若是任意实数，则点在第（ ）象限．
A．一B．二C．三D．四
【答案】A
【分析】根据非负数的性质判断出点M的横坐标是正数，再根据各象限内点的坐标特征解答．
【详解】解：∵m2≥0，1＞0，∴5+m2≥5，∴点M在第一象限．故选：A．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
8．（2021·武汉市武珞路中学七年级期中）点在轴上，则点的坐标为（ ）
A．B．C．或D．
【答案】A
【分析】根据点P在x轴上，即y＝0，可得出m的值，从而得出点P的坐标．
【详解】解：∵点P（m+3，m+1）在x轴上，∴y＝0，∴m+1＝0，解得：m＝﹣1，
∴m+3＝﹣1+3＝2，∴点P的坐标为（2，0）．故选：A．
【点睛】本题考查了点的坐标，注意平面直角坐标系中，点在x轴上时纵坐标为0，得出m的值是解题关键．
9．（2021·福建七年级期中）在平面直角坐标系中，点在第一、三象限的角平分线上，则m的值为（ ）
A．4B．C．D．
【答案】A
【分析】第一、三象限的角平分线解析式为y=x，代入即可求解．
【详解】解：∵点P（2m+3，3m-1）在第一、三象限的角平分线上，
∴解得，．故选A．
【点睛】本题考查的知识点是点的坐标的性质，由题意得出一、三象限的角平分线解析式为y=x是解此题的关键．
10．（2021·浙江绍兴市·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，设点为线段上任意一点，则x，y满足的条件为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可知线段AB∥y轴，因此P的横坐标与A，B横坐标相同，纵坐标介于两点纵坐标之间，由此即可得出结论．
【详解】由题，线段AB∥y轴，∴P的横坐标与A，B横坐标相同，即：，
纵坐标介于两点纵坐标之间，即：，故选：A．
【点睛】本题考查了平行于坐标轴的线段上点坐标的特征，理解平面直角坐标系中特殊情况下点和线的特征是解题关键．
11．（2021·河南开封市·）如图，在平面直角坐标系中，将四边形先向上平移，再向左平移得到四边形，已知，则点B坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意得到点A的坐标变化规律，然后根据点A的变化规律反推可以由B1得到B的坐标．
【详解】解：∵-3-3=-6，5-3=2，∴点A变到A1的过程中，横坐标加-6，纵坐标加2，
∴由B1反推到B的过程，必须是横坐标加6，纵坐标加-2，
∴-4+6=2，3-2=1，∴B点坐标为（2，1），故选B．
【点睛】本题考查平移的坐标变化，得到图形的平移规律是解题关键．
12．（2021·安徽七年级期中）如图，小球起始时位于（3，0）处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示．如果小球起始时位于（1，0）处，仍按原来方向击球，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是（0，1），那么小球第2021次碰到球桌边时，小球的位置是（ ）
A．（3，4）B．（5，4）C．（7，0）D．（8，1）
【答案】B
【分析】根据题意，可以画出相应的图形，然后即可发现点所在位置的变化特点，即可得到小球第2021次碰到球桌边时，小球的位置．
【详解】解：由图可得，
点（1，0）第一次碰撞后的点的坐标为（0，1），第二次碰撞后的点的坐标为（3，4），
第三次碰撞后的点的坐标为（7，0），第四次碰撞后的点的坐标为（8，1），
第五次碰撞后的点的坐标为（5，4），第六次碰撞后的点的坐标为（1，0），…，
∵2021÷6=336…5，∴小球第2021次碰到球桌边时，小球的位置是（5，4），故选：B．
【点睛】本题考查了坐标确定位置，解答本题的关键是明确题意，发现点的坐标位置的变化特点，利用数形结合的思想解答．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
13．（2021·台州市书生中学八年级开学考试）第一象限内有两点，，将线段平移，使平移后的点、都在坐标轴上，则点平移后的对应点的坐标是_________．
【答案】或
【分析】设平移后点P、Q的对应点分别是P′、Q′．分两种情况进行讨论：①P′在y轴上，Q′在x轴上；②P′在x轴上，Q′在y轴上．
【详解】解：设平移后点P、Q的对应点分别是P′、Q′．
分两种情况：①P′在y轴上，Q′在x轴上，则P′横坐标为0，Q′纵坐标为0，
∵0-（n-2）=-n+2，∴n-n+2=2，∴点P平移后的对应点的坐标是（0，2）；
②P′在x轴上，Q′在y轴上，则P′纵坐标为0，Q′横坐标为0，
∵0-m=-m，∴m-4-m=-4，∴点P平移后的对应点的坐标是（-4，0）；
综上可知，点P平移后的对应点的坐标是（0，2）或（-4，0）．故答案为：（0，2）或（-4，0）．
【点睛】此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移规律相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
14．（2021·浙江金华市·八年级期末）以A（﹣2，7），B（﹣2，﹣2）为端点的线段上任意一点的坐标可表示为（﹣2，y）（﹣2≤y≤7）．现将这条线段水平向右平移7个单位，所得图形上任意一点的坐标可表示为_____．
【答案】（﹣2≤y≤7）．
【分析】根据平移的特点可知，向右平移横坐标变化，纵坐标不变可得解；
【详解】A（﹣2，7），B（﹣2，﹣2）向右平移7个单位可得，，
∴所得图形上任意一点的坐标可表示（﹣2≤y≤7）．故答案是：（﹣2≤y≤7）．
【点睛】本题主要考查了图形的平移，准确分析计算是解题的关键．
15．（2021·湖北荆州市·九年级）如图，某天然气公司的主输气管道从市的北偏东60°方向直线延伸，测绘员在处测得要安装天然气的小区在市北偏东30°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达处，测得小区位于的北偏西60°方向．当在主输气管道上寻找支管道连接点，使到该小区铺设的管道最短时，的长为______．
【答案】1500米
【分析】过M作MN⊥AC交于N点，即MN最短，根据方向角可以证得∠AMC＝90°，根据三角函数即可求得MC，进而求得AN的长．
【详解】解：如图，过M作MN⊥AC交于N点，即MN最短，
∵∠EAC＝60°，∠EAM＝30°，∴∠CAM＝30°，∴∠AMN＝60°，
又∵C处看M点为北偏西60°，∴∠FCM＝60°，∴∠MCB＝30°，
∵∠EAC＝60°，∴∠CAD＝30°，∴∠BCA＝30°，
∴∠MCA＝∠MCB＋∠BCA＝60°，∴在Rt△AMC中，∠AMC＝90°，∠MAC＝30°，
∴MC＝AC＝1000，∠CMN＝30°，∴NC＝MC＝500，
∵AC＝2000米，∴AN＝AC−NC＝2000−500＝1500（米）．故答案是：1500米．
【点睛】本题主要考查了方向角的含义，含30°角的直角三角形的性质，正确作出高线，证明△AMC是直角三角形是解题的关键．
16．（2021·全国七年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC经过平移后得到三角形A′B′C′，且平移前后三角形的顶点坐标都是整数．若点P（，﹣）为三角形ABC内部一点，且与三角形A′B′C′内部的点P′对应，则对应点P′的坐标是_____．
【答案】（，）
【分析】依据对应点的坐标变化，即可得到三角形ABC向左平移2个单位，向上平移3个单位后得到三角形A′B′C′，进而得出点P′的坐标．
【详解】解：由图可得，C（2，0），C'（0，3），
∴三角形ABC向左平移2个单位，向上平移3个单位后得到三角形A′B′C′，
又∵点P（，﹣）为三角形ABC内部一点，且与三角形A′B′C′内部的点P′对应，
∴对应点P′的坐标为（﹣2，﹣＋3），即P'（，），故答案为：（，）．
【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化，关键是注意观察组成图形的关键点平移后的位置．解题时注意：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
17.（2021·五常市教师进修学校）已知：平面直角坐标系中，点M的坐标是，线段平行于y轴，且，则N的坐标是___________．
【答案】或
【分析】平行于y轴得到M和N两点的横坐标相等，分N点在M点上方和下方两种情况讨论即可求解．
【详解】解：由题意可知：∵平行于y轴，∴M和N两点的横坐标相等，
由和M的坐标是可知：当N点在M点上方时，N的坐标是，
当N点在M点下方时，N的坐标是，故答案为：或．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特点，属于基础题，注意要分情况考虑，避免漏解．
18．（2021·江苏盐城市·八年级期末）如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始、按顺时针方向、取与三角形外箭头方向一致的一侧序号），如点A的坐标可表示为，点B的坐标可表示为，按此方法，若点C的坐标为，则m＝__________．
【答案】3
【分析】根据题目中定义的新坐标系中点坐标的表示方法，求出点C坐标，即可得到结果．
【详解】解：根据题意，点C的坐标应该是，∴．故答案是：3．
【点睛】本题考查新定义，解题的关键是理解题目中新定义的坐标系中点坐标的表示方法．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021·云南昭通·七年级期中）周末，小明、小华、小丽三名同学相约到政府广场上玩．出发前，他们每人带了一张利用平面直角坐标系画出的草图，其中市政府的坐标是，某酒店的坐标是．
（1）如图，是省略了平面直角坐标系后的示意图，请你根据上述信息，画出这个被省略的平面直角坐标系；
（2）在此坐标系中，某研究所的坐标是______，公交车站的坐标是______；
（3）小华、小丽两人到了升旗台附近，这时还没有看见小明，于是打电话问小明的位置，小明说他所在位置的坐标为．①请你在图中用字母标出小明的位置；②过了一段时间，又打电话问小明的位置，小明说他向北走了3个单位长度，此时小明所在位置的坐标是______．
【答案】（1）见解析；（2），；（3）①见解析；②
【分析】（1）根据市政府和某酒店的坐标即可确定直角坐标系；（2）根据（1）中确定的直角坐标系写出点的坐标即可；（3）①根据所给的点坐标，在直角坐标系中找到并标出来即可；②根据平移的性质，写出对应的坐标即可.
【详解】解：（1）如图所示，以升旗台为坐标原点建立平面直角坐标系．
（2）如下图所示的平面直角坐标系：某研究所的坐标为（-1，-3），公交车站的坐标为（0，3）
（3）①如图，点为所求．
②此时小明的位置可以看做是A点向上平移3个单位得到的点∴小明所在的位置的坐标为（5，-1）
【点睛】本题主要考查了建立平面直角坐标系，点的坐标以及平移的性，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
20．（2021·全国八年级专题练习）已知点A（a，3）、B（－4，b），试根据下列条件求出a、b的值．
（1）A、B两点关于y轴对称；（2）A、B两点关于x轴对称；（3）AB∥x轴；
（4）A、B两点在第二、四象限两坐标轴夹角的平分线上．
【答案】（1）a＝4，b＝3；（2）a＝－4，b＝－3；（3）b＝3，a为≠－4的任意实数；（4）a＝－3，b＝4
【分析】（1）关于y轴对称，y不变，x变为相反数．（2）关于x轴对称，x不变，y变为相反数．
（3）AB∥x轴，即两点的纵坐标不变即可．（4）在二、四象限两坐标轴夹角的平分线上的点的横纵坐标互为相反数，即分别令点A，点B的横纵坐标之和为0，列出方程并解之，即可得出a，b．
【详解】解：（1）A、B两点关于y轴对称，故有b＝3，a＝4；
（2）A、B两点关于x轴对称；所以有a＝－4，b＝－3；
（3）AB∥x轴，即b＝3，a为≠－4的任意实数．
（4）如图，
根据题意，a＋3＝0；b－4＝0；所以a＝－3，b＝4．
【点睛】本题主要考查学生对点在坐标系中的对称问题的掌握；在一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相等，在二、四象限角平分线上的点的横纵坐标互为相反数．
21．（2021·台州市书生中学八年级开学考试）已知：，，．
（1）在坐标系中描出各点，画出．（2）求的面积；
（3）设点在轴上，且，求点的坐标．
【答案】（1）见解析；（2）4；（3）点的坐标为或
【分析】（1）利用A、B、C点的坐标描点，然后依次连接各点得到三角形；
（2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△ABC的面积；
（3）设P点坐标为（0，t），|t1|=4，然后解方程求出t，从而得到P点坐标．
【详解】解：（1）如图所示：
（2）如（1）图，过点向、轴作垂线，垂足为、．四边形的面积，
的面积，的面积，的面积．
的面积四边形的面积的面积的面积的面积；
（3）当点在轴上时，，，
设点的坐标为，解得：，．点的坐标为或．
【点睛】本题考查了复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了坐标与图形性质．
22．（2020·河北邢台·初二期末）已知坐标平面内的三个点、、.
(1)比较点到轴的距离与点到轴距离的大小;(2)平移至,当点和点重合时,求点的坐标;(3)平移至,需要至少向下平移超过 单位,并且至少向左平移 个单位,才能使位于第三象限.
【答案】(1)点到轴的距离等于点到轴距离; （2）;（3）3 ，3
【分析】（1）根据横坐标为点到y轴的距离；纵坐标为点到x轴的距离即可比较大小；
（2）由点A1和点B重合时，需将△ABC向右移2个单位，向下移2个单位，据此求解可得；
（3）根据点A的纵坐标得出向下平移的距离，由点B的横坐标得出向左平移的距离．
【解析】解：（1）∵，∴点到轴的距离为3
∵，点到轴距离为3∴点到轴的距离等于点到轴距离
（2）点和点重合时，需将向右移2个单位，向下移2个单位，∴点的对应点的坐标是
（3）平移△ABO至△A2B2O2，需要至少向下平移超过3单位，并且至少向左平移3个单位，才能△A2B2O2使位于第三象限．故答案为：3，3．
【点睛】本题主要考查点的意义与图形的变换-平移，注意：点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值；点到y轴的距离等于该点横坐标的绝对值；平面直角坐标系中点的坐标的平移规律．
23．（2020·江西兴国初二期末）已知A(0，2)，B(3，0)，C(4，4)．（1）在坐标系中描出各点，画出三角形ABC；（2）求三角形ABC的面积；（3）设点P在坐标轴上，且三角形ABP与三角形ABC的面积相等，请直接写出所有点P的坐标．
【答案】（1）见解析；（2）7；（3）(10，0)或(-4，0)或(0，)或(0，-)
【分析】（1）根据坐标在坐标系中直接描出各点即可；（2）过点C向x、y轴作垂线，垂足为D，E，利用S△ABC=S四边形DOEC-S△BCD- S△ACE -S△AOB求解；（3）注意区分当点P在x轴上时和当点P在y轴上时两种情况．
【解析】解：（1）如下图所示：
（2）如图所示，过点C向x、y轴作垂线，垂足为D，E．
∴S四边形DOEC=4×4=16，S△BCD=×1×4=2，S△ACE=×2×4=4，S△AOB=×2×3=3．
∴S△ABC=S四边形DOEC-S△BCD- S△ACE -S△AOB=16-2-4-3=7．
（3）当点P在x轴上时，S△ABP=AO·BP=7，即：×2×BP=7，解得：BP=7，
所点P的坐标为（10，0）或（-4，0）；
当点P在y轴上时，S△ABP=BO·AP=7，即×3×AP=7，解得：AP=．
所以点P的坐标为（0，）或（0，-）．
∴点P的坐标为（10，0）或（-4，0）或（0，）或（0，-）．
【点睛】本题考查三角形的面积．熟练掌握三角形面积的求法是解题的关键．第（3）问注意区分当点P在x轴上时和当点P在y轴上时两种情况．
24．（2021·北京市朝阳外国语学校七年级期中）在平面直角坐标系中，已知点 ，点 （其中为常数，且 ），则称是点的“族衍生点”．例如：点 的“族衍生点”的坐标为，即．（1）点的“族衍生点”的坐标为 ；
（2）若点的“族衍生点”的坐标是 ，则点的坐标为 ；
（3）若点（其中），点的“族衍生点”为点，且，求的值．
【答案】（1） ；（2）；（3）
【分析】（1）利用“m族衍生点”的定义可求解；
（2）设点A坐标为（x，y），利用“m族衍生点”的定义列出方程组，即可求解；
（3）先求出点A的“m族衍生点“为点B（x，mx），由AB＝OA，可求解．
【详解】解：（1）点的“族衍生点”的坐标为 ，即 ，故答案为：；
（2）设点坐标为 ，由题意可得： ， 点坐标为 ，故答案为：．
（3）点， 点的“族衍生点”为点， ，
， ， ．
【点睛】本题主要考查新定义问题，平面直角坐标系中关于y轴对称的点的坐标特征，二元一次方程组的解法，准确根据题意解题是关键．
25．（2021·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校七年级月考）阅读理解，解答下列问题：
在平面直角坐标系中，对于点A（x，y），若点B的坐标为（，），则称点B为点A的“k级湘一点”，如点A（2，5）的“2 级湘一点”为B（，），即B（9，）．
（1）已知点P（，1）的“5级湘一点”为P1 ，则点P1的坐标为 ；（2）已知点Q的“4 级湘一点”为Q1（5，3），求Q点的坐标；（3）如果点C（，）的“2 级湘一点”C1在第二象限，①求c的取值范围；②在①中，当c取最大整数时，连接OC1，坐标平面内是否存在点M（2，），使得，若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（，）；（2）（，）；（3）①；②或
【分析】（1）根据“k级湘一点”的定义，即可解答；
（2）设 ，根据点Q的“4 级湘一点”为Q1（5，3），可列出方程组，解出即可；
（3）①根据“k级湘一点”的定义，求出点C1，再根据C1在第二象限，即可求解；
②根据题意，求出，可得出直线OC1的解析式，从而得到当时，M、O、C1三点共线，继而，然后分两种情况讨论，即可求解．
【详解】解：（1）∵点P（，1）的“5级湘一点”为P1 ，∴ ，即 ；
（2）设 ，∵点Q的“4 级湘一点”为Q1（5，3），
∴ ，解得： ，∴Q点的坐标为（，）；
（3）①∵C1是点C（，）的“2 级湘一点”，
∴ ，即 ，
∵C1在第二象限，∴ ，解得：；
②存在，理由如下：∵，且c取最大整数，∴c=-2，∴，
设直线OC1的解析式为 ，将代入，得： ，解得： ，
∴设直线OC1的解析式为 ，
∵M（2，），当M、O、C1三点共线时，有 ，
解得： ，即 ，∴当时，M、O、C1三点共线，∴，
如图，当，即点M在上方时，，
∵，M（2，），∴ ，
解得： ，∴；当，即点M在下方时，，
∴，解得： ，∴，
综上所述，m的取值范围为或．
【点睛】本题主要考查了实数下的新定义，解二元一次方程组，平面直角坐标系内求三角形的面积，理解新定义，并利用数形结合思想是解题的关键．
26．（2021·北京海淀区·七年级期中）在平面直角坐标系中，M（a，b），N（c，d），对于任意的实数，我们称P（ka＋kc，kb＋kd）为点M和点N的k系和点．例如，已知M（2，3），N（1，），点M和点N的2系和点为K（6，2）．横、纵坐标都为整数的点叫做整点，已知A（1，2），B（2，0）．
（1）点A和点B的系和点的坐标为________（直接写出答案）；
（2）已知点C（m，2），若点B和点C的k系和点为点D，点D在第一、三象限的角平分线上．
①求m的值；②若点D为整点，且三角形BCD的内部（不包括边界）恰有3个整点，直接写出k的值 ；
（3）若点E与点A关于x轴对称，点B向右平移一个单位得到点F，点H为线段BF上的动点，点P为点A和点H的k系和点，点Q为点E和点H的k系和点，k＞0，在点H运动过程中，若四边形AEQP的内部（不包括边界）都至少有10个整点，至多有15个整点，则k的取值范围为 ．
【答案】（1）；（2）①m＝0；②或；（3）．
【分析】（1）根据点M和点N的k系和点的定义求解即可．
（2）①由题意得到D（2k+mk，2k），根据点D在在第一、三象限角平分线上，构建方程求解即可．②判断出D的坐标，可得结论．（3）利用图象法以及不等式组解决问题即可．
【详解】解：（1）由题意：（1+2），（2+0）＝1，
∴点A和点B的系和点的坐标为（，1）．故答案为：（，1）．
（2）①∵点D（x，y）为B（2，0）和C（m，2）的k系和点，∴x＝2k+mk，y＝2k．即D（2k+mk，2k），
∵点D在第一、三象限角平分线上，∴2k+mk＝2k．∴mk＝0．∵k≠0，∴m＝0．
②如图1中，由题意，当D（3，3）或D′（﹣1，﹣1）时，满足条件．
∵C（0，2），B（2，0），∴k（0+2）＝3或k（0+2）＝﹣1，∴或．故答案为：或；
（3）如图2中，由题意A（1，2），E（1，﹣2）．
2≤m≤3，∴P（k+km，2k），Q（k+km，﹣2k）．
∵k＞0．在点H运动过程中，若四边形AEQP的内部（不包括边界）都至少有10个整点，至多有15个整点，观察图象可知：， 解得．故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，象限角平分线的坐标特点，新定义等知识，综合性较强，理解P（ka+kc，kb+kd）为点M和点N的k系和点的定义，图形与坐标等知识，并根据题意学会利用参数构建方程或不等式解决问题是解题关键．