人教版数学七下高频考点突破练习专题01 二元一次方程组（2份，原卷版+解析版）

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1）二元一次方程：含有两个未知数，且 所含未知数的次数项的次数都是1的方程。
注：所有未知数项的次数必须是1 例：，不是 2x－3xy=2，不是
2）将几个相同未知数的一次方程联合起来，就组成了二元一次方程组。
注： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①在方程组中，相同未知数必须代表同一未知量。
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②二元一次方程组不一定都是二元一次方程组合而成，方程个数也不一定是两个。
例： 是
3）判断二元一次方程组的方法：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①方程组中是否一共有两个未知数; = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②含未知数的项的次数是否都是1; = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③是否含有多个方程组成.
例1．（2021·湖南·衡阳市华新实验中学七年级月考）下列方程中，①；②；③；④，是二元一次方程的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
变式1．（2022·山东济南·八年级期末）下列方程中，为二元一次方程的是（ ）
A．2x＋3＝0B．3x－y＝2zC．x2＝3D．2x－y＝5
例2．（2021·湖南·衡阳市华新实验中学七年级月考）已知是关于，的二元一次方程，则______．
变式2．（2021·天津一中七年级期中）若是关于，的二元一次方程，则（ ）
A．， B．， C．，D．，
例3．（2021·河南淇县·七年级期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
变式3．（2021·上海市建平中学西校期末）下列方程组，是二元一次方程组的是（ ）．
A．B．C．D．
例4．（2021·日照市新营中学七年级期中）若方程组是二元一次方程组，则a的值为________．
变式4．（2021·全国·七年级课时练习）若是关于，的二元一次方程组，则__，__，__．
知识点1-2 二元一次方程（组）的解
1）二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值（有序数对）
例：x+y=10 （1，9），（2，8），（3，7）等。
2）二元一次方程组的两个方程公共解叫作二元一次方程组的解。
例：的解为：
3）检验二元一次方程组解的方法：将有序数对带入方程中，若方程组等式都成立，则为方程组的解；若有方程不成立，则不是方程的解。
注：方程组中只要有一个方程带入后不成立，则不是方程的解。
例1．（2021·北京顺义·七年级期末）在下列方程：①，②，③，④中，任选两个组成二元一次方程组，若是该方程组的解，则选择的两个方程是（ ）
A．①③B．①④C．②④D．②③
变式1．（2021·辽宁·沈阳市实验学校八年级期中）下列各组数值是二元次方程2x﹣y＝5的解是（ ）
A．B．C．D．
例2.（2021·上海市建平中学西校期末）二元一次方程2x＋3y＝9的非负整数解为______．
变式2．（2021·上海市民办尚德实验学校期末）二元一次方程2x＋3y＝14的正整数解有（ ）
A．1组B．2组C．3组D．无数组
例3．（2021·湖南邵阳市·七年级期末）关于x，y的二元一次方程3x﹣ay＝1有一组解是，则a的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
变式3．（2021·重庆巫溪·七年级期末）已知是方程的一个解，则的值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
例4．（2021·武汉外国语学校七年级期末）下列方程组中，解为的是（ ）
A． B． C． D．
变式4．（2021·全国·七年级课时练习）已知二元一次方程组下列说法正确的是（ ）
A．适合方程②的x，y的值是方程组的解
B．适合方程①的x，y的值是方程组的解
C．同时适合方程①和②的x，y的值是方程组的解
D．同时适合方程①和②的x，y的值不一定是方程组的解
变式5．（2021·山东临沂·七年级期末）如果方程x﹣y＝3与下列方程中的一个组成的方程组的解为，那么这个方程可以是（ ）
A．3x﹣4y＝16B．x﹣y＝3yC．D．
例5．（2022·云南文山·八年级期末）已知是二元一次方程组的解，则的值是（ ）
A．B．C．1D．
变式6．（2021·山东济南·七年级期末）若方程组的解为，则，的值分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
例6．（2021·贵州铜仁·七年级期中）小亮解方程组的解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了这两个数和，则这两个数分别为（ ）
A．，8B．，4C．，6D．8，
变式7．（2021·四川眉山·七年级期中）小刚解出了方程组的解为，因不小心滴上了两滴墨水，刚好盖住了方程组和解中的两个数，则、□分别为（ ）
A．17，9B．16，8C．23，15D．15，23
知识点1 -3代入消元法
1)代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的式子表示，再代入另一个方程，实现消元，转化为一元一次方程，进而求解这个二元一次方程组的方法。
2)代入消元法的步骤：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①在方程组中选取一个系数较简单的方程，将这个方程变形，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②将这个关系式代入另一个方程，消去一个未知数，转换为一元一次方程，并求解该一元一次方程。
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③利用已求解的未知数，代入关系式中，求解出另一个未知数的解。
知识点1-4 加减消元法
1）消元法的目的：消去一个未知数，转化为方便求解的一元一次方程
2）加减消元法：两个二元一次方程中，同一未知数的系数相反或相同时，将这两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数的方法。
注： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①当两个方程中，同一个未知数的系数成倍数关系时，将某一个方程扩大相应倍数，使两个方程中某个未知数的系数相同或相反，然后再利用加减消元法。
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②若两个方程中两个未知数的系数不相等且不成倍数关系时，则应选取一组系数，求出其对应最小公倍数，对方程组变形（系数变形成对应最小公倍数），再利用加减消元法。（此种情况，加减消元法与代入消元法难易程度差不多，随意选取）。
3）加减消元法步骤：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①确定消元对象，并把该对象的系数化为相等或相反形式；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②将两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，转化为一元一次方程，并求解；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③将求解出来的值代入任意原方程中，求解出另一个未知数的值。
例1．（2022·陕西汉中·八年级期末）关于x、y的二元一次方程组，用代入法消去y后所得到的方程，正确的是（ ）
A．3x﹣x﹣5＝8B．3x+x﹣5＝8C．3x+x+5＝8D．3x﹣x+5＝8
变式1．（2021·全国·七年级课时练习）若，用含y的式子表示x的结果是（ ）
A．B．C．D．
变式2．（2021·贵州六盘水·八年级期末）用代入消元法解二元一次方程组，将①代入②消去x，可得方程（ ）
A．（y＋2）＋2y＝0B．（y＋2）﹣2y＝0C．x＝x＋2D．x﹣2（x﹣2）＝0
例2．（2021·福建·晋江市季延中学七年级期中）解方程组时，由(2)−(1)得（ ）
A．B．C．D．
变式3．（2021·河南淇县·七年级期中）用加减法解方程组由②-①消去未知数，所得到的一元一次方程是（ ）
A．B．C．D．
例3．（2022·江苏·七年级专题练习）二元一次方程组更适合用哪种方法消元（ ）
A．代入消元法 B．加减消元法 C．代入、加减消元法都可以 D．以上都不对
变式4．（2020·浙江杭州市·七年级期中）解方程组①②，比较简便的方法是（ ）
A．均用代入消元法B．均用加减消元法
C．①用代入消元法，②用加减消元法D．①用加减消元法，②用代入消元法
例4．（2021·辽宁本溪·八年级期中）（1） （2）
变式5．（2022·甘肃兰州·八年级期末）解方程组
例5．（2021·陕西·西北工业大学附属中学八年级期中）解方程组：
（1）；（2）．
变式6．（2021·广东·深圳中学八年级期中）（1）解方程组：（2）解方程组：；
例6．（2021·陕西·交大附中分校八年级期中）解方程组：
（1）； （2）．
变式7．（2021·山东济南市·八年级期末）解方程组
（1） （2）
知识点1-5 三元一次方程组的概念
1）三元一次方程组：方程中有三个未知数，且未知数的项的次数都是一的方程组。
知识点1-6 解三元一次方程组的方法和步骤
1）步骤：三元一次方程二元一次方程一元一次消元
例1．（2021·全国·八年级专题练习）下列方程组中是三元一次方程组的是（ ）．
A． B． C． D．
变式1．（2021·全国·八年级专题练习）若是一个三元一次方程，那么_______， ________．
变式2．（2021·山西忻州·七年级期末）我们知道，适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解．同样地，适合三元一次方程的一对未知数的值叫做这个三元一次方程的一个解．请写出方程的一个正整数解______．
例2．（2022·全国·七年级）解三元一次方程组的基本思路：通过“代入”或“加减”进行___，把“三元”___ “二元”，使解三元一次方程组转化为解_____，进而再转化为解_____．
变式3．（2021·山西临汾·七年级期中）三元一次方程组消去一个未知数后，所得二元一次方程组是（ ）
A．B．C．D．
例3．（2021·广东深圳·八年级期末）解三元一次方程组要使解法较为简便，首先应进行的变形为（ ）
A．①+②B．①﹣②C．①+③D．②﹣③
变式4．（2022·江苏·七年级专题练习）解方程组时，为转化为二元一次方程组，最恰当的方法是（ ）
A．由②③消去zB．由②③消去yC．由①②消去zD．由①③消去x
例4．（2022·江苏·七年级专题练习）已知方程组，则的值是（ ）
A． B． C． D．
变式5．（2021·武冈市第二中学七年级开学考试）已知三元一次方程组，则________．
变式6．（2022·江苏·七年级专题练习）有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元；若购铅笔4支，练习本8本，圆珠笔2支共需4.2元，那么，购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需（ ）
A．1.2元B．1.05元C．0.95元D．0.9元
例5．（2021·全国·八年级专题练习）解方程组
变式7．（2021·全国·八年级课时练习）解下列方程组：
（1） （2）
例6．（2021·全国·八年级专题练习）一对夫妇现在年龄的和是其子女年龄和的6倍，他们两年前年龄和是子女两年前年龄和的10倍，6年后，他们的年龄和是子女6年后年龄和的3倍，问这对夫妇共多少个子女？（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
变式8．（2021·广东阳江·七年级期末）如图，每条边上的三个数之和都等于16，么a，b，c这三个数按顺序分别为 ________．
变式9．（2021·重庆八中八年级期中）某学校八年级举行了二元一次方程组速算比赛，并按学生的得分高低对前100名进行表彰奖励，原计划一等奖表彰10人，二等奖表彰30人，三等奖表彰60人，经协商后调整为一等奖表彰20人，二等奖表彰40人，三等奖表彰40人，调整后一等奖平均分降低4.5分，二等奖平均分降低2.5分，三等奖平均分降低0.5分，若调整前一等奖平均分比二等奖平均分高0.8分，则调整后二等奖平均分比三等奖平均分高_________分．
知识点1-7 实际问题与二元一次方程组
1.列方程组解应用题的基本思想
列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两边的数要相等.
2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
设：用两个字母表示问题中的两个未知数；
列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；
解：解方程组，求出未知数的值；
验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；
答：写出答案．
注意：（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.
3、常见的一些等量关系
1）和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.
2）产品配套问题：解这类问题的基本等量关系是：加工总量成比例.
3）工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量.
4）利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价， .
5）行程问题：速度×时间=路程；顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度.
6）数字问题：已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．
7）方案问题 ：在解决问题时，常常需合理安排．需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案．
注意：方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案．
例1．（2022·重庆·模拟预测）我国古代数学著作《增删算法统宗》中有这么一首诗：“今有布绢三十疋，共卖价钞五百七．四疋绢价九十贯，三疋布价该五十．欲问绢布各几何？价钞各该分端的．若人算得无差讹，堪把芳名题郡邑．”其大意是：今有绵与布30疋，卖得570贯钱，4疋绢价90贯，3疋布价50贯，欲问绢布有多少，分开把价算，若人算得无差错，你的名字城镇到处扬．设有绢疋，布疋，依据题意可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022·四川成都·八年级期末）《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为 _____．
例2．（2021·河南南召·月考）为提高病人免疫力，某医院精选甲、乙两种食物为确诊病人配制营养餐，两种食物中的蛋白质含量和铁质含量如表．如果病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么每份营养餐中，甲、乙两种食物各需多少克？
变式2．（2021·日照市新营中学七年级期中）某制衣厂现有22名制作服装的工人，每天都制作某种品牌的村衫和裤子．每人每天可制作这种衬衫3件或裤子5条．（1）若该厂要求每天制作的衬衫和裤子配套，一件衬衫配两条裤子，则应各安排多少人分别制作衬衫和裤子？（此问题用列方程组方法求解）．（2）已知制作件衬衫可获得利润35元，制作一条裤子可获得利润15元，在（1）的条件下，求该厂每天制作衬衫和裤子所获得的利润共是多少元？
例3．（2021·浙江省七年级月考）如图，我们可以按竖放、平放两种方式在同一个书架上摆放一定数量的同一本书，并且要求书脊朝外，方便我们査阅．根据图中的数据，可计算：若只按某一种方式摆放，该书架上最多可摆放这本书的数量为（ ）
A．36本 B．38本 C．40本 D．42本
变式3．（2021·浙江温州市·七年级期末）长方形ABCD可以分割成如图所示的七个正方形．若，则AD等于（ ）
A．B．C．D．
例4．（2021·重庆巫溪·七年级期末）某草莓采摘园的老板今年决定拿出一笔固定的资金购进三种新的草莓品种：丰香、安娜、宁玉．根据计划，购买丰香的总价将占预定总资金的，购买安娜、宁玉的总价之比为9：13．第一天，采购员用于购买丰香、安娜、宁玉的资金之比为2：3：4；第二天，采购员将用余下的资金继续购买丰香、安娜、宁玉，经预算需将余下资金的购买丰香．则采购员还需购买的宁玉、安娜的资金之比为___________．
变式4．（2021·上海市民办新世纪中学期末）新世纪中学在第六届艺术节组织开展了庆祝建党100周年各项比赛活动．已知六年级（1）班和（2）班各有34人，两个班各有一部分同学参加了活动，其中（1）班参加人数的2倍比（2）班没参加的人数多3人，而（2）班参加的人数比（1）班没参加的人数的一半多5人．求这两个班各有多少人参加了艺术节活动？
例5．（2022·沛县汉城国际学校七年级月考）小山娃要到城里参加运动会，如果每小时走4千米，那么走完预订时间离县城还有0.5千米，如果他每小时走5千米，那么比预订时间早半小时就可到达县城．试问学校到县城的距离是多少千米?
变式5．（2022·绍兴市.七年级期中）马拉松长跑是国际上非常普及的长跑比赛项目，全程距离约为42千米．如图是关于我市去年全程马拉松比赛的部分信息．
若每个固定医疗站安排2位医疗员，其中与补给站重合的医疗站安排1位医疗员，则需要54个医疗员；若每个固定医疗站安排3个医疗员，其中与补给站重合的医疗站安排2位医疗员，则需要83个医疗员．
（1）本次马拉松比赛共设置______个补给站；（2）固定医疗站点共有多少个？（3）沿途中，补给站和固定医疗站点重合处距离起点多少千米？
例6．（2021·黑龙江齐齐哈尔·七年级期末）综合与探究
列方程组解应用问题要先审题、找相等关系，再设未知数、列方程，最后解方程、写出答案．设未知数时可采用“直接设法”与“间接设法”．
甲、乙两名同学在做下面应用题：“嫩江是齐齐哈尔的母亲河，为加强河坝的防洪能力，现有一段长为180米的河坝加固任务由、 两个工程队先后接力完成．工程队每天加固河道12米，工程队每天加固河道8米，共用时20天．求、两工程队分别加固河道多少米？”请你根据所给题目，解决下列问题：
（1）如果甲同学采用直接设法：
可设表示__________________，表示__________________，
那么依题意可列方程组： ，解得
如果乙同学采用间接设法：
可设表示__________________，表示__________________，
那么依题意可列方程组： ，解得
（2）请你直接写出、两工程队分别加固河道多少米？
变式6．（2021·陕西渭南·七年级期末）甲、乙两个工程队先后接力为某村庄修建3000m的村路，甲队每天修建150m，乙队每天修建200m，共用18天完成．
（1）粗心的张红同学，根据题意，列出的两个二元一次方程等号后面忘记写数据，得到了一个不完整的二元一次方程组，请你将张红列出的这个不完整的方程组补充完整，并说明未知数p、q表示的含义；（2）李芳同学的思路是设甲工程队修建了xm村路，乙工程队修建了ym村路，请你按照李芳的思路，求甲、乙两个工程队分别修建了多少天？
每克甲种食物
每克乙种食物
其中所含蛋白质
0.5单位
0.7单位
其中所含铁质
1单位
0.4单位