人教版数学七下高频考点突破练习专题01 实数（2份，原卷版+解析版）

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1）算术平方根概念：一个正数的平方等于a，即=a，那么这个正数x叫作a的算术平方根。其中，a叫作被开方数，规定0的算术平方根为0。记作。
注： = 1 \* GB3 ①“”表示的是算术平方根（与后面的平方根注意区分）
= 2 \* GB3 ②a0，x0。负数没有算术平方根（因为0）
2）常见算术平方根表：
例1．（2021·河南濮阳市·七年级期中）的算术平方根为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据算术平方根的定义求解.
【详解】解：因为，所以的算术平方根为.故选C.
【点睛】本题主要考查算术平方根的定义，解决本题的关键是要熟练掌握算术平方根的定义.
变式1．（2021·朔州市第二中学校初中部七年级期中）1.96的算术平方根是（ ）
A．0.14B．1.4C．D．±1.4
【答案】B
【分析】根据算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根即可得出答案．
【详解】解：∵，∴1.96的算术平方根是1.4，故选：B．
【点睛】本题考查了算术平方根，掌握算术平方根的定义是解题的关键，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．
例2．（2020·岑溪市第六中学初二月考）下列说法正确的是（ ）
A．﹣6是36的算术平方根B．±6是36的算术平方根
C．是36的算术平方根D．6 是36的算术平方根
【答案】D
【分析】由的平方根是 的算术平方根是，以及的算术平方根是 可得答案．
【解析】解：是36的平方根，故A错误；是36的平方根，故B错误；
是的算术平方根，故C错误；是36的算术平方根，故D正确，故选D．
【点睛】本题考查的是平方根与算术平方根的含义，掌握平方根与算术平方根是解题的关键．
变式2．（2021·西宁市海湖中学七年级期中）下列说法：①任何数都有算术平方根；②一个数的算术平方根一定是正数；③(π－4)2的算术平方根是π－4；④算术平方根不可能是负数，其中不正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】若一个正数x的平方等于a，即，则这个正数x为a的算术平方根；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根，根据这些定义即可判断．
【详解】①负数没有平方根，因此负数也没有算术平方根，①不正确，符合题意；
②0的算术平方根是0，②不正确，符合题意；
③π< 4， (π－4)2的算术平方根是4-π，③错误，符合题意；
④算术平方根不可能是负数，④正确，不符合题意，错误的选项有三个，故选：C．
【点睛】本题主要考查了算术平方根的性质，属于基础题，本题重点是对算术平方根性质的理解．
变式3．（2020·内蒙古科尔沁右翼前旗初二期中）下列语句、式子中①4是16的算术平方根，即②4是16的算术平方根，即③-7是49的算术平方根，即④7是的算术平方根，即其中正确的是（ ）
A．①③B．②③C．②④D．①④
【答案】C
【分析】根据算术平方根的定义即可得．
【解析】4是16的算术平方根，即，则①错误，②正确；
7是49的算术平方根，即，则③错误；
7是的算术平方根，即，则④正确；综上，正确的是②④，故选：C．
【点睛】本题考查了算术平方根，掌握理解算术平方根的定义是解题关键．
例3．（2021·平泉市教育局教研室七年级期末）如图，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将四个直角三角形拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（ ）
A．2B．1.5C．D．
【答案】D
【分析】观察图形，大正方形的面积等于小正方形的面积，小正方形的面积为1，根据面积相等求得大正方形的边长即可．
【详解】大正方的面积等于2个小正方形的面积，小正方形的面积为1大正方形的面积等于2，
设大正方形的边长为，则．故选D．
【点睛】本题考查了求一个数的平方根，正方形的面积，根据面积相等求解是解题的关键．
变式4．（2021·西宁市海湖中学七年级期中）如果一个正方形的面积为3，则这个正方形的边长是 _______．
【答案】
【分析】
设这个正方形的边长为x（x＞0），由题意得x2＝3，根据算术平方根的定义解决此题．
【详解】解：设这个正方形的边长为x（x＞0）．由题意得：x2＝3．∴x＝．故答案为：．
【点睛】本题主要考查正方形的面积以及算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解决本题的关键．
知识点1-2 平方根
1）平方根的概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根或者二次方根。求一个数a的平方根的运算，叫作开平方。
注： = 1 \* GB3 ①“”表示算数平方根的意思，平方根表示为“”
= 2 \* GB3 ②正数的平方根有两个，它们互为相反数。且正数根即为算术平方根；
= 3 \* GB3 ③0的平方根和算术平方根都为0； = 4 \* GB3 ④负数没有平方根和算术平方根。
2）特点：算术平方根是平方根正值部分；平方根是算术平方根及其相反数。
3）产生的原因：若a>0；（-a）1=-a1；（-a）2=a2；（-a）3=-a3；（-a）4=a4
奇数次方时，符号不变，结果仍为负数；偶数次方时，值变为正数（与正数的对应次方的值相同）
因此，奇数次方，一个数对应一个结果；偶数次方，两个数对应一个结果，且这两个数互为相反数。
4）开方是次方的逆运算。
5）预测： = 1 \* GB3 ①奇数次开方，没有算术平方根与平方根区别，结果仅为一个值；
= 2 \* GB3 ②偶数次开方，会存在两值的情况。
例1．（2021·河南七年级期中）“49的平方根是”的表达式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据平方根的表示方法，即可得到答案．
【详解】解：“49的平方根是”表示为：．故选A．
【点睛】本题主要考查平方根的表示法，掌握正数a的平方根表示为，是解题的关键．
变式1．（2020·广东白云初二期末）下列说法正确的是（ ）
A．的平方根是B．的平方根C．的平方根D．的平方根
【答案】A
【分析】根据平方根的性质，逐一判定即可.
【解析】A选项，的平方根是，正确；B选项，的平方根是，错误；
C选项，的平方根是，错误；D选项，没有平方根，错误；故选：A.
【点睛】此题主要考查对平方根的理解，熟练掌握，即可解题.
变式2．（2021·成都市初二课时练习）下列说法正确的是( )
A．任何非负数都有两个平方根B．一个正数的平方根仍然是正数
C．只有正数才有平方根D．负数没有平方根
【答案】D
【解析】解：A. 非负数0的平方根是0，只有一个，故本选项错误；
B. 一个正数有两个平方根，它们互为相反数，故本选项错误；
C. 因0的平方根是0，故本选项错误；D. 负数没有平方根，故本选项正确；故选：D
【点睛】本题考查正数有两个平方根，0的平方根是0，负数没有平方根．
例2．（2021·黑龙江甘南初二期末）的平方根是____．
【答案】±3
【解析】∵=9，∴9的平方根是.故答案为3.
变式3．（2021·辽宁八年级期末）（﹣）2的平方根是（ ）
A．﹣B．C．±D．±
【答案】C
【分析】先算出（﹣）2的值，在计算平方根；
【详解】解：，∴（﹣）2的平方根是±；故答案选C．
【点睛】本题主要考查了平方根的计算，准确计算是解题的关键．
变式4．（2021·湖北七年级期中）的平方根是（ ）
A．B．C．±D．±
【答案】C
【分析】根据平方根的定义开平方求解即可；
【详解】解：∵ ，∴ 的平方根是 ；故答案选C．
【点睛】本题主要考查了平方根的计算，准确计算是解题的关键．
例3．（2021·山西浑源初二期中）下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，由此即可求出结果．
【解析】解：A、，故错误；B、，故正确；
C、，故错误；D、，故错误．故选：B．
【点睛】此题主要考查了算术平方根的概念，算术平方根易与平方根的概念混淆而导致错误．
变式5．（2021·湖北七年级期末）下列各式中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据实数的性质即可化简判断．
【详解】A.，故错误； B.，故错误；
C.，故错误； D.，正确故选D．
【点睛】此题主要考查实数的化简，解题的关键是熟知实数的性质．
变式6．（2021·北京海淀·七年级期中）下列各数中一定有平方根的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】正数的平方根有两个，0的平方根是0，负数没有平方根．题中要求这个数一定有平方根，所以这个数不论m取何值，都得是非负数．
【详解】解：A．当m＝0时，m2﹣1＝﹣1＜0，不符合题意；
B．当m＝1时，﹣m＝﹣1＜0，不符合题意；
C．当m＝﹣5时，m+1＝﹣4＜0，不符合题意；
D．不论m取何值，m2≥0，m2+1＞0，符合题意．故选：D．
【点睛】这道题主要考查对平方根的理解，做题的关键是要知道负数没有平方根．
例4．（2021·广东）若一个正数m的两个平方根分别是a-1和4-2a，则m的值为________．
【答案】4
【分析】根据平方根的定义和相反数得出a-1+4-2a=0，求出a=3，求出a-1=2，即可得出答案．
【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是a-1和4-2a，
∴a-1+4-2a=0，∴a=3，∴a-1=2，∴这个正数m的值是22=4，故答案为：4．
【点睛】本题考查了平方根和相反数的应用，解此题的关键是求出a的值，注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
变式7．（2021·湖南七年级期末）王老师给同学们布置了这样一道习题：一个正数的算术平方根为，它的平方根为，求这个正数．
小达的解法如下：依题意可知：解得：则：，所以这个正数为．
王老师看后说，小达的解法不完整，请同学们给出这道习题完整的解法．
【答案】这个正数为4或1，正确过程见解析
【分析】根据平方根和算术平方根的概念求解即可．
【详解】解：依题意可知：是两数中的一个．
①当时 解得：，则：，所以这个正数为；
②当解得：，则：，所以这个正数为．
综上，这个正数是或．
【点睛】本题考查平方根和算术平方根的定义、解一元一次方程，解答的关键是熟知一个正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的平方根称为算术平方根，零的平方根为0 ，负数没有平方根．
变式8．（2021·山东七年级期中）中国清代学者华衡芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，说明了所谓“代数”，就是用符号来代表数的一种方法，若一个正数的平方根分别是2a﹣3和5﹣a，则这个正数是___．
【答案】49
【分析】根据正数的两个平方根互为相反数列出关于a的方程，解之可得．
【详解】解：根据题意知2a-3+5-a=0，解得：a=-2，
∴2a-3=-7，∴这个正数是49．故答案为：49．
【点睛】本题主要考查了平方根，关键是掌握正数a有两个平方根，它们互为相反数．
例5．（2021·舒兰市教师进修学校七年级期末）利用平方根的意义求方程中的值．
【答案】或
【分析】根据平方根的意义可知4的平方根为±2，即可得到，由此求解即可．
【详解】解：∵，∴由平方根的意义可知 ，
∴当解得，当解得∴或．
【点睛】本题主要考查了利用平方根的意义解方程，解题的关键在于能够熟练掌握平方根的意义．
变式9．（2021·浙江七年级期中）若，则x的值是_________．
【答案】-1或3
【分析】如果一个数x的平方等于a，那么x是a的平方根，根据此定义解方程即可求解．
【详解】解：∵，∴，∴x=-1或3，故答案为：-1或3．
【点睛】此题主要考查了平方根的定义，比较简单，解答此题的关键是熟知平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫a的平方根，一个数的平方根有两个．
知识点1-3 算术平方根的性质及应用
1）算术平方根有意义，存在“双重非负性”： = 1 \* GB3 ①a≥0； = 2 \* GB3 ②≥0
例1．（2021·四川北大附中成都为明学校八年级期中）已知，求的平方根．
【答案】
【分析】根据算术平方根与偶次幂的非负性可求x、y的值，然后代入求解平方根即可．
【详解】解：根据题意得，，3y﹣1＝0，解得，，
，所以，的平方根是．
【点睛】本题主要考查算术平方根与偶次幂的非负性及平方根，熟练掌握算术平方根与偶次幂的非负性及平方根是解题的关键．
变式1．（2021·张家港市梁丰初级中学八年级月考）若为实数，且满足，则的值是___________．
【答案】2
【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．
【详解】解：根据题意得： ，解得： , ∴x+y=2,故答案是：2．
【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
变式2．（2021·四川省绵阳外国语学校八年级期中）已知a2+＝4a﹣4，则的平方根是______________．
【答案】
【分析】把原式整理为a2-4a+4+＝0，根据非负数的性质求出a，b的值，再根据平方根的定义求解即可．
【详解】解：因为a2+＝4a﹣4，a2-4a+4+＝0，
，a﹣2＝0，b﹣2＝0，解得a＝2，b＝2，
∴，∴的平方根是 ．故答案为：．
【点睛】本题主要考查完全平方公式,非负数的非负性质和平方根的定义,解决本题的关键是要熟练掌握完全平方公式,非负数的非负性质和平方根的定义.
例2．（2021·全国八年级专题练习）已知和互为相反数，且，求的值．
【答案】2
【分析】根据非负数的性质求出x、y的值，然后代入计算．
【详解】解：∵和互为相反数，∴+=0，
∵两个非负数互为相反数则只能均为0，∴－1＝0，1－2＝0，
∴＝1， ∴＝2．
【点睛】本题考查了非负数的性质，①非负数有最小值是零；②有限个非负数之和仍然是非负数；③有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．初中范围内的非负数有：绝对值，算术平方根和偶次方．
变式3．（2021·四平市第三中学校初二月考）已知与与是互为相反数．求：4a+b的平方根．
【答案】
【分析】利用非负数之和为0的性质求解，再求的平方根即可．
【解析】解： 与是互为相反数，
解得： 的平方根是
【点睛】本题考查的是非负数之和为0的性质，考查非负数的平方根的求解，掌握相关知识点是解题关键．
例3．（2021·湖北）已知为正数，且，如果以的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为__________．
【答案】
【分析】本题可根据“两个非负数相加和为0，则这两个非负数的值均为0”解出x、y的值，然后运用勾股定理求出斜边的长，斜边长的平方即为正方形的面积．
【详解】解：，，解得，
根据勾股定理知，斜边长为：，
以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为，故答案为：7．
【点睛】本题综合考查了勾股定理与非负数的性质，解题关键是利用直角三角形，用勾股定理来寻求未知系数的等量关系．
变式4．（2021·黑龙江八年级期末）若直角三角形的两边长为a、b，且满足，则该直角三角形的第三边长是_____．
【答案】5或
【分析】任何数的绝对值，以及算术平方根一定是非负数，已知中两个非负数的和是0，则两个一定同时是0；另外已知直角三角形两边、的长，具体是两条直角边或是一条直角边一条斜边，应分类讨论．
【详解】解：，，，，．
①在直角三角形中，当边长为4的边是斜边，则第三边的长为；
②在直角三角形中，当边长为4的边是直角边，则第三边的长为．
综上所述，该直角三角形的第三边长为5或．故答案是：5或．
【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，绝对值、算术平方根的非负数的性质，解题的关键是利用分类讨论的思想讨论边长为4的边是直角边还是斜边．
知识点1 -4立方根
1）立方根的概念：如果一个数x的立方等于a，那么这个数x叫作a的立方根或三次方根，a叫作被开立方数，求数x的过程的运算叫作开立方。记作：
2）立方根的特点： = 1 \* GB3 ①，a可以为任意数（a>0，a=0，a