人教版数学七下高频考点突破练习专题02 二元一次方程组（2份，原卷版+解析版）

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解题技巧：二元一次方程的判断主要注意以下几点：
= 1 \* GB3 ①含有2个未知数，即未知数前的系数不为0； = 2 \* GB3 ②未知数的次数为1
二元一次方程组的判断需要注意以下几点：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①方程组中是否一共有两个未知数; = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②含未知数的项的次数是否都是1; = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③是否含有多个方程组成.
1．（2021·陕西九年级专题练习）在下列各式中①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，是二元一次方程的有（ ）．
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．（2021·江苏沭阳·期中）下列方程是二元一次方程的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·浙江杭州市·七年级期末）下列是二元一次方程的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·上海·期末）下列方程组中，二元一次方程组有（ ）
①；②；③；④．
A．4个B．3个C．2个D．1个
5．（2022·河南·南阳市第三中学七年级阶段练习）下列方程中，是二元一次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2021·浙江瑞安·开学考试）下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
题型2 利用二元一次方程的概念求参数
解题技巧：利用二元一次方程的特征（ = 1 \* GB3 ①含有2个未知数，即未知数前的系数不为0； = 2 \* GB3 ②未知数的次数为1），建立方程（组）解得参数即可。
1．（2020·珠海市九洲中学期中）若是关于x、y的二元一次方程，则m的值是（ ）
A．1B．任何数C．2D．1或2
2．（2020·江苏海州·初一期末）已知: 5xm7  2y2n1  4 是二元一次方程，则 mn= _____．
3．（2020·湖北荆州·月考）若是关于的二元一次方程，则的值分别是（ ）
A．B．C．D．
4．（2020·长沙市中雅培粹学校月考）若是二元一次方程，则 ( )
A．m＝3，n＝4B．m＝2，n＝1C．m＝1，n＝2D．m＝-1， n＝2
5．（2020·浙江杭州市·七年级期中）方程是关于、的二元一次方程，则（ ）
A．；B．，
C．，D．，
6．（2022·重庆巴蜀中学七年级期末）若关于x，y的方程是二元一次方程，则的值是__________．
题型3运用方程(组)的解的定义
解题技巧：寻找二元一次方程，重点是观察并发现解中x，y之间的特征。
1．（2021·全国·八年级专题练习）已知 是方程的一个解， 那么的值是（ ）．
A．1B．3C．－3D．－1
2．（2021·云南丽江·七年级期末）已知是二元一次方程的解，则的值为（ ）
A．3B．-3C．D．
3．（2021·河南商丘·七年级期末）已知二元一次方程组的解是方程的解，则k的值为________．
4．（2021·浙江浙江·九年级期末）已知，都是关于，的方程的一个解，则下列对于：，的关系判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2021·山东济南·八年级期中）已知关于x、y的二元一次方程组的解为，则a+b的值为 ___．
6．（2021·重庆一中八年级阶段练习）已知是关于、的二元一次方程组的解，则的值为__________．
题型4 代入消元法和加减消元法比较
解题技巧：代入消元法和加减消元法是2种基础的消元法，各有优劣：
1）当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数时（或易于转化为该形式时），用代入消元法。
例：
2）当方程组中，某一个未知数在两个方程中的系数相同或互为相反数时（或成倍数时），用加减消元法。
例：
3）无上述两种特征，依据个人喜好定方法。
例：
注意：当二元一次方程系数比较复杂时，应先化简（去分母、去括号、移项、合并同类项等）。通常要把每个方程整理成含有未知数的项在方程的左边，常数项在方程的右边的形式，再利用消元法解方程。
1．（2022·山西晋中·八年级期末）下面是小明同学解二元一次方程组的过程，请你阅读并完成相应的任务：
解方程组：
解：②× 2 ，得2x－4y=4 ③…………………………………第一步
①+③，得5x=9 …………………………………第二步
…………………………………第三步
把代入②，得 y= …………………………………第四步
∴原方程组的解为…………………………………第五步
任务一：①上述材料中小明同学解二元一次方程组的数学方法是 （填序号即可）；
A.公式法 B.换元法 C.代入法 D.加减法
②上述材料中第二步和第四步的基本思想是“消元”，即把“二元”变“一元”，在此过程中体现的数学思想是 （填序号即可）；
A.转化 B.公理化 C.演绎 D.数形结合
③第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；
任务二：请你直接写出原方程组的解．
2．（2021·山东济南·八年级期中）请用指定的方法解下列方程组：
（1）；（代入法）（2）．（加减法）
3．（2021·山西运城·八年级期末）解方程组：
4．（2021·北京市平谷区峪口中学七年级阶段练习）解方程组：．（任选方法）
5．（2021·上海·华东政法大学附属中学期末）解方程组：．
6．（2022·重庆市荣昌中学校七年级阶段练习）解方程
(1) (2) (3) (4)
7．（2022·全国·七年级课时练习）解下列三元一次方程组：
（1）； （2）．
题型5 整体构造法求代数式的值
解题技巧： 某些代数式无需把每个未知数都求出来，而是通过观察各方程的系数关系，利用整体构造法直接求出代数式的值。
1．（2022·甘肃兰州·八年级期末）已知方程组，则的值为（ ）
A．-1B．0C．2D．3
2．（2022·广东深圳·八年级期末）已知方程组的解满足，则的值为（ ）
A．7B．C．1D．
3．（2021·天津·九年级专题练习）关于的二元一次方程组的解满足，则k的值是（ ）
A．2B．C．D．3
4．（2022·广东佛山·八年级期末）已知，满足方程组，则的值为______．
5．（2022·广东佛山·八年级期末）若关于x、y 的二元一次方程组的解满足x+y=1，则m的值为__________．
6．（2021·北京·101中学七年级期末）已知二元一次方程组为，则2x﹣2y的值为 _____．
题型6 整体消元法解方程组
1)整体代入消元法
解题技巧：代入消元法常规作法是当未知数系数为±1时，进行代入从而起到消元的目的。我们可以从整体入手，当两个方程中都存在相同的部分时，可以把它们视作一个整体。这样的话，就符合代入消元法的特征，从而实现消元。具体见下列实例：
1．（2021·河南洛阳·七年级期末）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5，③
把方程①代入③，得2×3+y＝5，∴y＝﹣1，把y＝﹣1代入①，得x＝4，
∴方程组的解为．
请你根据以上方法解决下列问题：（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组；
（2）已知x，y满足方程组，求xy的值．
2．（2022·颍上县教育局七年级课时练习）阅读材料，善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下，
解：将方程②，变形为③，把方程①代入③得，，则；把代入①得，，所以方程组的解为：请你解决以下问题：
（1）试用小明的“整体代换”的方法解方程组；
（2）已知x、y、z，满足 试求z的值．
3．（2022·全国·七年级课时练习）材料：解方程组时，可由①得③，然后再将③代入②得，求得，从而进一步求得这种方法被称为“整体代入法”请用这样的方法解方程组
4．（2021·山西·太原师范学院附属中学八年级阶段练习）阅读材料：
在解方程组时，萌萌采用了一种“整体代换”的解法．
解：将方程②变形：，即③
把方程①代入③得，∴，
把代入①，得，
∴原方程组的解为．
请模仿萌萌的“整体代换”法解方程组
2) 整体加减消元法
解题技巧：当两个方程之间有的字母系数有一定的规律，可以尝试用整体加减消元法，会得到一个比较特殊的式子，将这个式子和原来的式子在进行加减消元会比较容易。该方法技巧性比较强，读者需注意平时多积累尝试。
1．（2021·福建三明·八年级阶段练习）阅读下列解方程组的方法，然后回答问题．
解方程组
解：由①-②得即③，
③×16得④
②-④得，
把代入③得解得：
原方程组的解是
请你仿照上面的解法解方程组．
2．（2021·湖南湘西·七年级期末）在课辅活动中，老师布置了一道这样的题：探究方程组：的不同解法．同学们发现：虽然这个方程组中x，y的系数及常数项的数值较大，但我们也是可以用教材上学过的常规的代入消元法、加减消元法来解出来的，但老师应该出题还有深意：此类题是不是还有更好的消元方法呢？
小明带着这个问题和同学们进行了激烈的讨论，并查找了一些课外辅导资料，他们发现采用下面的解法来消元更简单：①﹣②得2x+2y＝2，所以x+y＝1③．
③×35﹣①得3x＝﹣3．解得x＝﹣1，从而y＝2．
所以原方程组的解是．
请你认真观察方程组的特点，也尝试运用小明他们发现的上述方法解这个方程组：．
3．（2022·河南·南阳市第三中学七年级阶段练习）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组时，小明发现如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，他采用下面的解法则比较简单：
②-①得：，即．③
得：．④
①-④得：，代入③得．
所以这个方程组的解是．
(1)请你运用小明的方法解方程组．
(2)规律探究：猜想关于、的方程组的解是______．
4．（2020·湖北期末）阅读下列解方程的解法，然后解决有关问题．
解方程组时，如果考虑常规的消元法（即代入消元法和加减消元法），那将非常麻烦！若用下面的方法非常规的解法，则轻而易举
，得，即
，得 ，得
把代入（3）得，即 所以原方组的解是
以上的解法的技巧是根据方程的特点构造了方程（3）．我们把这种解法称为构造法，请你用构造法解方程组
5．（2020·浙江省义乌市望道中学七年级月考）阅读下列解方程组的方法，然后解决有关问题．
解方程组
我们如果直接考虑消元，那么非常麻烦，而采用下列解法则轻而易举．
①-②，得，即 ③
③，得 ④
②-④得，从而
所以原方程组的解是
请你用上述方法解方程组
3) 整体换元法
解题技巧：把某一部分看作一个整体进行消元，达到转化为一元一次方程的方法
1．（2021·四川南充·七年级期末）若关于x，y的方程组的解是，则方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·福建·厦门七年级期中）若方程组的解是，那么的解为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·七年级课时练习）关于x，y 的方程组（其中a，b是常数）的解为，则方程组的解为（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·浙江绍兴·七年级期末）若方程组 的解是 ，则方程组 的解为__________________
5．（2021·浙江杭州·七年级期中）已知的解是，求的解为_____．
6．（2022·全国·八年级课时练习）阅读理解：解方程组时，如果设则原方程组可变形为关于、的方程组，解这个方程组得到它的解为由求的原方程组的解为，利用上述方法解方程组：
题型7 二元一次方程组同解问题
解题技巧：两种方法。
方法一：将不含参数的方程组组成新的方程组，求解方程的解；在将方程解代入含有参数方程中，组成另一组方程。若2组方程组中，都存在无参数的方程，则该方法比较简单。
方法二：将参数看做常数，直接求解出方程组的解。因为两个方程组同解，所以所得含参数的解相同。利用这个条件，再来求解参数。方法二相对比较麻烦，若2组方程组中的方程都含有参数，则只能用该方法。
1．（2021·福建省漳州第一中学八年级期中）关于x、y的方程组的解也是方程的解，则m的值为____．
2．（2021·浙江·台州市书生中学八年级开学考试）若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·全国·八年级专题练习）已知方程，，有公共解，则的值为（ ）．
A．3B．4C．0D．-1
4．（2021·重庆八中八年级期中）已知关于的二元一次方程组的解满足，求实数，，m的值．
5．（2021·河南安阳·七年级期末）已知关于x、y的方程组的解和的解相同，求代数式2a+b的平方根．
6．（2021·全国·七年级课时练习）已知：关于x，y的方程组与的解相同．求a，b的值．
题型8 运用错解求正解（将错就错）
解题技巧：将方程中没错的部分挑选出来，得到参数的值；再把参数代入得到正确解。
1．（2021·河南汝阳·七年级期末）甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了②中的，解得，试求的值．
2．（2021·四川·成都嘉祥外国语学校八年级期末）如图，小红和小明两人共同解方程组
根据以上他们的对话内容，请你求出，的正确值，并计算的值．
3．（2021·湖南天元·七年级期中）已知方程组甲由于看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙由于看错了方程②中的b，得到方程组的解为若按正确的a，b计算，求原方程组的解．
4．（2021·山西·七年级期中）小鑫、小童两人同时解方程组时，小鑫看错了方程②中的a，解得，小童看错了①中的b，解得，求原方程组的正确解．
5．（2021·山东莱州·七年级期中）甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为．试求出方程组正确的解．
6．（2021·山东乳山·七年级期中）在解方程组时，甲看错了方程组中a的值，得到的解为，乙看错了方程组中b的值，得到的解为．求原方程组的解．
题型9 二元一次不定方程的整数解问题
【解题技巧】解决此类问题，通常用一个未知数来表示另外一个未知数，再将其符合条件的特殊值逐个代入，即可求解特殊解的个数.
1．（2021·上海民办建平远翔学校七年级期末）二元一次方程的自然数解有______．（写出所有符合条件的解）
2．（2021·全国·七年级课时练习）对于二元一次方程，下列说法不正确的是（ ）
A．它有无数多个解B．它有无数多个整数解
C．它只有一个非负整数解D．它没有正整数解
3．（2021·全国·七年级课时练习）一方程的正整数解是_____．
4．（2020·河北昌黎·期末）方程在自然数范围内的解有（ ）
A．只有1组B．只有4组C．无数组D．以上都不对
5．（2021•武汉模拟）我们探究得方程x+y＝2的正整数解只有1组，方程x+y＝3的正整数解只有2组，方程x+y＝4的正整数解只有3组，……，那么方程x+y+z＝10的正整数解得组数是（ ）
A．34B．35C．36D．37
6．（2020·长沙湘一立信实验学校月考）要使方程组有正整数解，则整数a的值是_______．
题型10二元一次方程的新定义问题
1．（2021·全国·七年级课时练习）我们规定：表示不超过的最大整数，例如：，，，则关于和的二元一次方程组的解为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·七年级课时练习）阅读理解：，，，是实数，我们把符号称为阶行列式，并且规定：，例如：.二元一次方程组的解可以利用阶行列式表示为：；其中，，.问题：对于用上面的方法解二元一次方程组时，下面说法错误的是（ ）
A．B．C．D．方程组的解为
3．（2021·上海浦东新·期末）定义一种新运算“⊕”，规定：x⊕y＝ax+by，其中a，b为常数，已知1⊕2＝7，2⊕（﹣1）＝4，则a⊕b＝_____．
4．（2021·上海普陀·期末）使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．如果一个二元一次方程的解中两个未知数的绝对值相等，那么我们把这个解称做这个二元一次方程的等模解．二元一次方程2x﹣5y＝7的等模解是____．
5．（2021·吉林·长春外国语学校七年级阶段练习）阅读材料：我们把多元方程（组）的非负整数解叫做这个方程（组）的“好解”．例如：就是方程3x+y＝11的一组“好解”；是方程组的一组“好解”．(1)求方程x+2y＝5的所有“好解”；(2)关于x，y，k的方程组有“好解”吗？若有，请求出对应的“好解”；若没有，请说明理由．
6．（2021·上海民办建平远翔学校七年级期末）形如的式子称为“行列式”，计算公式是．
(1)请你根据公式计算______．
(2)若关于x的方程有无穷多个解，求ab的值．（要求写出解答过程）
(3)利用行列式可以解二元一次方程组（其中），
得：，解得；
得：，解得．
注意到由方程组中未知数x，y的系数构成，称其为“系数行列式”，
记为D，即．分别用常数列替换D中x的系数列和y的系数列，得，，则方程组的解可以表示为．
请你用“加减消元法”和“行列式法”两种方法解二元一次方程组．