人教版数学七下期末高频考点练习第02讲 与垂线相关的计算（2份，原卷版+解析版）

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专题解读：垂直的定义建立期两直线的位置关系与角度大小之间的联系，当题目要求的是角度的大小，而题目中的已知条件是两直线垂直，我们一般是将垂直转变成角度的大小．
典例1 如图10-1-8，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于O，∠COE＝55°，则∠BOD的度数是（ ）．
A．40°B．45°C．30°D．35°
A
B
C
D
O
E
思路引领：由“直线AB，CD相交于点O”可知∠AOC与∠BOD是对顶角，因此要求∠BOD可转化为求∠AOC的度数，又因为“OE⊥AB于O”，由垂直的定义可知，∠AOE＝90°，由已知条件“∠COE＝55°”可求得∠AOC＝∠AOE－∠COE＝35°．
解：∵OE⊥AB于O
∴∠AOE＝90°（垂直的定义）
∵∠AOC＝∠AOE－∠COE，∠COE＝55°
∴∠AOC＝35°
∵直线AB，CD相交于点O，
∴∠BOD＝∠AOC＝35°（对顶角相等）．
点睛：运用垂直的定义进行推理的格式为：∵AB⊥CD于点O（已知）∴∠BOC＝90°（垂直的定义）或∵∠BOC＝90°（已知）∴AB⊥CD（垂直的定义），其中前一个推理可以用来推出一个角为直角，后一个推理是可以用来判断两直线是否垂直．
典例2 如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝40°，EO⊥CD，垂足为点O．求∠DOB，∠BOE的度数．
解：∵AB、CD相交于点O（已知），
∴∠BOD＝∠AOC＝40°（对顶角相等）．
∵EO⊥CD（已知），
∴∠EOD＝90°（垂直的定义）
∴∠BOD＝∠EOD－∠BOE＝50°
点睛：本题要求的是两个角的度数，而已知条件中“直线AB、CD相交于点O”和“EO⊥CD”是两直线的位置关系，这时我们可利用对顶角性质和垂直的定义将两直线的位置关系转化为角度之间的关系．
典例3 如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，OE平分∠BON，若∠EON＝21°，求∠AOM的度数．
思路引领：由于∠AOC是直角，要求∠AOM的度数，可先求∠COM的度数，由于∠COM与∠BON是对顶角，所以我们可先求∠BON的度数，根据角平分线的性质可得到：∠BON＝2∠EON＝42°．
解：∵OE平分∠BON，∠EON＝21°，
∴∠BON＝2∠EON＝42°
∵BC与MN相交于点O，
∴∠COM＝∠BON＝42°
∵AO⊥BC，∴∠AOC＝90°
∴∠AOM＝90°－∠COM＝48°．
点睛：此题考查了垂线的性质，结合图形找出各角之间的关系，利用角平分线的概念，以及对顶角相等的性质进行计算．
针对训练1
1．如图，AC⊥BC，直线EF经过点C，若∠1＝37°，则∠2的度数是 ．
第1题图
答案：53°
2． 如图，直线AB、EF相交于点O，OC⊥AB，∠DOE＝2∠AOE，∠BOF＝33°，则∠AOD＝__________，∠DOC＝__________，∠COE＝__________，∠DOF＝__________．
答案：33°，57°，123°，114°．
3．如图，已知直线AB、CD、EF相交于点O，AB⊥CD，∠DOE＝127°，求∠AOF．
解：∵∠DOE＝127°，∠DOE+∠COE＝180°，
∴∠COE＝53°，
∵AB⊥CD，
∴∠COB＝90°，
∴∠COE+∠BOE＝90°，
∴∠BOE＝37°，
∵∠BOE＝∠AOF，
∴∠AOF＝37°．
专题2 运用方程思想进行计算
专题解读：求一个角的度数，我们总是设法将这个角转化为其它几个角的度数的和或差，然后分别求这几个角的度数．当题目中出现角度的倍分关系或几个角度之比的时候，用方程思想解题比较方便。
典例4 如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠AOD∶∠BOE＝4∶1，求∠AOF的度数．
思路引领：要求∠AOF的度数，可先求∠AOC和∠COF的度数，由于∠AOC和∠BOD是对顶角，∠COF等于∠COE的一半，可通过求它的补角∠DOE求得，所以我们要首先考虑求∠DOE和∠BOD的度数．
解：设∠AOD＝4x°，∠BOE＝x°．
∵OE平分∠BOD，∴∠BOD＝2∠BOE＝2x°．
∵∠AOD＋∠BOD＝180°，∴4x＝180，解得：x＝45°．
∴∠AOD＝120°，∠BOD＝60°，∠BOE＝30°，∠COE＝150°．
∵OF平分∠COE，∴∠EOF＝∠COE＝75°
∴∠BOF＝∠EOF－∠BOE＝45°．
∴∠AOF＝∠AOB－∠BOF＝135°．
点睛：本题主要考查角平分线定义、邻补角及对顶角性质，设出最小角根据邻补角定义求得最小角度数是解题的关键．已知两个角的度数之比，我们常常考虑利用参与设出这两个角度，然后列方程求出参数的值．
典例5 （2021秋•韶关期末）如图1，点O是直线AB上的一点，CO⊥DO，OE平分∠BOC．
（1）如图1，若∠AOC＝50°，求∠DOE的度数．
（2）如图2，若∠COE＝∠DOB，求∠AOC的度数．
思路引领：（1）根据补角的性质，可得∠BOC的度数，由OE平分∠BOC可得∠BOC的度数，由垂线的性质可得∠DOC＝90°，由DOE＝∠DOC﹣∠EOC代入计算即可得出答案；
（2）设∠COE＝x，则可得∠DOB＝3x，根据OE平分∠BOC可得∠BOE＝∠COE＝x，根据垂线的性质可得∠DOC＝90°，则x+x+3x＝90°可计算出x的度数，由∠BOE＝∠COE，∠AOC＝∠AOB﹣∠BOE﹣∠COE代入计算即可得出答案．
解：（1）∵∠AOB是一个平角
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣50°＝130°，
又∵OE平分∠BOC
∴
又∵CO⊥DO，
∴∠DOC＝90°，
∴∠DOE＝∠DOC﹣∠EOC＝90°﹣65°＝25°，
（2）设∠COE＝x，则∠DOB＝3x，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝∠COE＝x，
又∵CO⊥DO，
∴∠DOC＝90°，
∴x+x+3x＝90°，
∴x＝18°，
∴∠BOE＝∠COE＝18°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOE﹣∠COE＝180°﹣18°﹣18°＝144°．
点睛：本题主要考查了垂线、角平分线的性质、角的计算，熟练掌握垂线、角平分线的性质、角的计算的方法进行计算是解决本题的关键．
针对训练2
4． 如图，AO⊥BO，CO⊥DO，∠AOC∶∠BOC＝1∶5，则∠BOD＝（ ）
A．105°B．112.5°C．135°D．157.5°
答案：D 点拨：先设∠AOC＝x°，∠BOC＝5x°，∠BOC－∠AOC＝90°．
5．如图，AB、CD、EF相交于点O，EF⊥AB，OG、OH分别为∠COF、∠DOG的平分线，若∠AOC：∠COG＝4：7，求∠DOF．
解：∵EF⊥AB，OG为∠COF的平分线，
∴∠COG＝∠FOG，
∵∠AOC：∠COG＝4：7，
∴设∠AOC＝4x，∠COG＝7x，则∠GOF＝7x，
∴4x+7x+7x＝18x＝90°，
解得：x＝5°，
故∠AOC＝∠DOB＝20°，∠COG＝∠GOF＝35°，
则∠DOF＝90°+20°＝110°．
6．（2021春•武昌区期中）如图，直线MD、CN相交于点O，OA是∠MOC内的一条射线，OB是∠NOD内的一条射线，∠MON＝70°．
（1）若∠BOD∠COD，求∠BON的度数；
（2）若∠AOD＝2∠BOD，∠BOC＝3∠AOC，求∠BON的度数．
解：（1）∵∠MON＝70°，
∴∠COD＝∠MON＝70°，
∴∠BOD∠COD，
∴∠BON＝180°﹣∠MON﹣∠BOD＝180°﹣70°﹣35°＝75°；
（2）设∠AOC＝x°，则∠BOC＝3x°，
∵∠COD＝∠MON＝70°，
∴∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝3x°﹣70°，
∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝x°+70°，
∵∠AOD＝2∠BOD，
∴x+70＝2（3x﹣70），
解得x＝42，
∴∠BOD＝3x°﹣70°＝3×42°﹣70°＝56°，
∴∠BON＝180°﹣∠MON﹣∠DOB＝180°﹣70°﹣56°＝54°．
专题3 先计算再证明垂直
典例7 （2021春•海安市月考）如图，已知∠1＝142°，∠ACB＝38°，CD平分∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H．
（1）问AB与CD是否垂直？并说明理由．
（2）求∠ADE．
思路引领：（1）先证DE∥BC，证明HF∥CD，所以∠BDC＝∠BHF＝90°，即可证明；
（2）因为CD平分∠ACB，所以∠DCB＝19°．继而得∠B＝180°﹣90°﹣19°＝71°，由DE∥BC，可得∠ADE＝∠B＝71°．
解：（1）AB与CD垂直．
理由如下：
∵∠1＝142°，∠ACB＝38°，
∴∠1+∠ACB＝180°．
∴DE∥BC．
∴∠2＝∠DCB．
又∵∠2＝∠3，
∴∠3＝∠DCB．
∴HF∥CD．
∴∠BHF＝∠BDC，
又∵FH⊥AB，
∴∠BDC＝∠BHF＝90°，
∴CD⊥AB．
（2）∵CD平分∠ACB，∠ACB＝38°，
∴∠DCB＝19°．
∵∠BDC＝90°，
∴∠B＝180°﹣90°﹣19°＝71°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝71°．
点睛：本题考查了垂线的性质、平行线的判断与性质、角平分线的判定与性质，熟悉以上性质是解题关键．
典例8（2021春•秦都区月考）如图，直线AB，CD相交于点O，OF平分∠BOE，∠DOF＝25°，∠AOC＝40°，OE与CD垂直吗？为什么？
思路引领：根据对顶角的定义和角平分线的定义即可得到结论．
解：OE⊥CD，
理由如下：
∵∠AOC＝40°，
∴∠DOB＝∠AOC＝40°，
∵∠DOF＝25°，
∴∠BOF＝∠DOB+∠DOF＝65°，
又∵OF平分∠BOE，
∴∠EOF＝∠BOF＝65°，
∴∠DOE＝∠EOF+∠DOF＝65°+25°＝90°，
∴OE⊥CD．
点睛：本题考查了垂线，角平分线的定义，对顶角的性质，正确识别图形是解题的关键．
针对训练3
7．如图，点O是直线AB上一点，∠AOC＝40°，OD平分∠AOC，∠COE＝70°．
（1）请你说明DO⊥OE；
（2）OE平分∠BOC吗？为什么？
解：（1）∵OD平分∠AOC，
∴∠DOC∠AOC＝20．
∵∠COE＝70°，
∴∠DOE＝90°，
∴DO⊥OE．
（2）OE平分∠BOC．
理由：∵∠AOC+∠COE+∠BOE＝180°，
又∵∠AOC＝40°，∠COE＝70°，
∴∠BOE＝70°，
∴∠BOE＝∠COE，
∴OE平分∠BOC．
8．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝28°，∠BOF＝59°，OF平分∠DOE，OE与AB垂直吗？为什么？
解：OE⊥AB，
理由如下：
∵∠AOC＝28°，
∴∠DOB＝∠AOC＝28°，
∴∠DOF＝∠BOF﹣∠DOB
＝59°﹣28°
＝31°，
又OF平分∠DOE，
∴∠EOD＝2∠DOF＝62°，
∴∠EOB＝∠EOD+∠DOB
＝62°+28°
＝90°，
∴EO⊥AB．
第二部分 专题提优训练
1．如图，直线BC，DE相交于点O，AO⊥BC，OM平分∠BOD，如果∠AOE＝50°，那么∠BOM的度数是 ．
答案：20°
2．（2021秋•盱眙县期末）如图，直线AB与直线MN相交，交点为O，OC⊥AB，OA平分∠MOD，若∠BON＝25°，求∠COD的度数．
解：∵∠BON＝25°，
∴∠AOM＝25°，
∵OA平分∠MOD，
∴∠AOD＝∠MOA＝25°，
∵OC⊥AB，
∴∠AOC＝90°，
∴∠COD＝90°﹣25°＝65°．
3．（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥OD．
（1）若∠AOC＝60°，求∠EOF的度数．
（2）画OE的反向延长线OG，OG是∠AOC的平分线吗？请说明理由．
解：（1）∵∠AOC＝60°，
∴∠BOD＝∠AOC＝60°，
又∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE＝∠BOD＝30°，
∵OF⊥CD，
∴∠EOF＝90°﹣30°＝60°；
（2）如图，OG是∠AOC的平分线．
理由：
∵∠DOE＝∠COG，∠AOC＝∠BOD，∠DOE＝∠BOD，
∴∠COG＝∠AOC，
∴OG是∠AOC的平分线．
4．（2021秋•宁波期末）如图，OA⊥OB，∠COD＝60°．
（1）若OC平分∠AOD，求∠BOC的度数．
（2）若∠BOC＝∠AOD，求∠AOD的度数．
解：（1）∵OC平分∠AOD，∠COD＝60°，
∴∠AOD＝2∠COD＝120°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∴∠BOD＝∠AOD﹣∠AOB＝120°﹣90°＝30°，
∴∠BOC＝∠COD﹣∠BOD＝60°﹣30°＝30°，
故∠BOC的度数是30°；
（2）∵∠COD＝60°，
∴∠BOC＝∠COD﹣∠BOD＝60°﹣∠BOD，
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOD＝∠AOD﹣∠AOB＝∠AOD﹣90°，
∴∠BOC＝60°﹣∠BOD＝60°﹣（∠AOD﹣90°）＝150°﹣∠AOD，
∵∠BOC＝∠AOD，
∴150°﹣∠AOD＝∠AOD，
解得：∠AOD＝105°，
故∠AOD的度数是105°．
5．（2021秋•滨江区期末）如图，OC⊥AB于点O，∠COD＝∠BOD，OE平分∠BOD．
（1）求∠COE和∠AOE的度数．
（2）过点O作射线OF，若OF⊥OE，求∠BOF的度数．
解：（1）∵OC⊥AB，
∴∠BOC＝∠AOC＝90°，
∵∠COD＝∠BOD，
∴∠COD＝∠BOC＝30°，
∴∠BOD＝120°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE＝∠DOE＝60°，
∴∠COE＝∠BOC﹣∠BOE＝90°﹣60°＝30°，
∠AOE＝180°﹣∠BOE＝180°﹣60°＝120°；
（2）如图，当OF在直线AB 上方时，
∵OF⊥OE，
∴∠EOF＝90°，
∵∠BOE＝60°，
∴∠BOF＝∠BOE+∠EOF＝60°+90°＝150°；
当OF在直线AB下方时，
∵OF⊥OE，
∴∠EOF＝90°，
∵∠BOE＝60°，
∴∠BOF＝∠EOF﹣∠BOE＝90°﹣60°＝30°，
故∠BOF的度数为150°或30°．
6．如图，直线AB交CD于点O，由点O引射线OG、OE、OF，使OC平分∠EOG，∠AOG＝∠FOE，∠BOD＝56°，求∠FOC．
．
解：∵OC平分∠EOG，∴∠1＝∠2，
∵∠FOE＝∠AOG，∴∠FOE＋∠1＝∠AOG＋∠2，
即∠FOC＝∠AOC，又∵AB、CD相交于点O，
∴∠AOC与∠BOD是对顶角，由对顶角相等，
可得∠AOC＝∠BOD，∴∠FOC＝∠BOD，
∵∠BOD＝56°，∴∠FOC＝56°
7．（2021秋•西山区期末）如图，已知点O为直线AB上的一点，OM平分∠AOC，∠AOC＝80°，CO⊥OD．
（1）求∠MOD的度数；
（2）若∠BOP与∠AOM互余，求∠DOP的度数．
解：（1）∵OM平分∠AOC，且∠AOC＝80°，
∴∠COM＝∠AOM＝∠AOC＝40°，
∵CO⊥OD，
∴∠COD＝90°，
∵∠COD＝∠COM+∠MOD＝90°，
∴∠MOD＝∠COD﹣∠COM＝90°﹣40°＝50°；
（2）由（1）得∠AOM＝40°，∠COD＝90°，
∵∠BOP和∠AOM互余，
∴∠BOP+∠AOM＝90°，
∴∠BOP＝90°﹣∠AOM＝90°﹣40°＝50°，
∵O为直线AB上一点，
∴∠BOA＝∠AOC+∠COP+∠BOP＝180°，
∴∠COP＝180°﹣∠AOC﹣∠BOP＝180°﹣80°﹣50°＝50°，
∴∠DOP＝∠COD+∠COP＝90°+50°＝140°．
8．（2021秋•香坊区期末）已知，直线AB、CD交于点O，EO⊥AB，∠EOC：∠BOD＝7：11．
（1）如图1，求∠DOE的度数；
（2）如图2，过点O画出直线CD的垂线MN，请直接写出图中所有度数为125°的角．
解：（1）∵EO⊥AB，
∴∠AOE＝90°，
∵∠AOC＝∠BOD，∠EOC：∠BOD＝7：11，
∴∠EOC：∠AOC＝7：11，
∴∠EOC＝90°×＝35°，∠AOC＝90°×＝55°，
∴∠DOE＝∠180°﹣∠COE＝180°﹣35°＝145°；
（2）∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝55°，
∴∠BOC＝180°﹣55°＝125°；
∴∠AOD＝∠BOC＝125°；
∵MN⊥CD，
∴∠CON＝90°，
∴∠COE+∠EON＝90°，
∵∠COE＝35°，
∴∠EON＝90°﹣35°＝55°，
∴∠MOE＝180°﹣∠EON＝125°，
故图中所有度数为125°的角为：∠BOC，∠AOD，∠MOE．
9．（2021秋•淮阴区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，过点O作OE⊥AB，射线OF平分∠AOC，∠AOF＝25°．
求：（1）∠BOD的度数；
（2）∠COE的度数．
解：（1）∵射线OF平分∠AOC，∠AOF＝25°，
∴∠AOC＝2∠AOF＝50°，
∴∠BOD＝∠AOC＝50°；
（2）∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°，
∵∠AOC＝50°，
∴∠COE＝90°﹣∠AOC＝90°﹣50°＝40°．
10．（2020秋•盱眙县期末）如图，点O在直线AB上，OC．OD是两条射线，OC⊥OD，射线OE平分∠BOC．
（1）若∠DOE＝140°，求∠AOC的度数．
（2）若∠DOE＝α，则∠AOC＝ （ 请用含α的代数式表示）．
解：（1）∵OC⊥OD，∠DOE＝140°，
∴∠COE＝∠DOE﹣∠COD＝140°﹣90°＝50°，
∵射线OE平分∠BOC．
∴∠COE＝∠BOE＝50°，
∴∠AOC＝180°﹣∠COE﹣∠BOE＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
（2））∵OC⊥OD，∠DOE＝α，
∴∠COE＝∠DOE﹣∠COD＝α﹣90°，
∵射线OE平分∠BOC．
∴∠COE＝∠BOE＝α﹣90°，
∴∠AOC＝180°﹣∠COE﹣∠BOE＝180°﹣（α﹣90°）﹣（α﹣90°）＝360°﹣2α，
故答案为：360°﹣2α．
11．（2021秋•南岗区校级期中）如图，AB、CD交于点O，OE⊥AB，且OC平分∠AOE，过O点作射线OF，且∠DOF＝4∠AOF，求∠FOC的度数．
解：∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°，
又∵OC平分∠AOE，
∴∠AOC＝∠AOE＝×90°＝45°，
∴∠BOD＝∠AOC＝45°；
∵∠COD＝180°，
∴∠AOD＝∠COD﹣∠AOC＝180°﹣45°＝135°，
∵∠DOF＝4∠AOF，
∴∠AOD＝∠DOF+∠AOF＝4∠AOF+∠AOF＝5∠AOF＝135°，
∴∠AOF＝27°，
∴∠FOC＝∠AOF+∠AOC＝72°．
12．（2021春•舞钢市期末）已知一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，结合图形，试探索这两个角之间的数量关系．
（1）如图1，AB⊥DE，BC⊥EF．∠1与∠2的数量关系是： ．
（2）如图2，AB⊥DE，BC⊥EF．∠1与∠2的数量关系是： ．说明理由．
（3）由（1）（2）你得出的结论是：如果 ，那么 ．
（4）若两个角的两边互相垂直，且一个角比另一个角的3倍少40°，则求这两个角度数．
解：（1）如图1，
∵AB⊥DE，BC⊥EF，
∴∠EGB＝90°，∠EHB＝90°，
∴∠2+∠4＝90°，∠1+∠3＝90°，
∵∠3＝∠4，
∴∠1＝∠2．
故答案为：相等．
（2）如图2，
∵AB⊥DE，BC⊥EF，
∴∠EGB＝90°，∠EHB＝90°，
∴∠1+∠2+∠EGB+∠EHB＝360°，
∴∠1+∠2＝180°．
故答案为：互补．
（3）由（1）（2）的分析可得结论：如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；
故答案为：一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，这两个角相等或互补；
（4）设另一个角的度数为α，则一个角的度数为3α﹣40°，
根据题意可得，α＝3α﹣40°或α+3α﹣40°＝180°，
解得α＝20°或55°，
当α＝20°时，3α﹣40°＝20°，
当α＝55°时，3α﹣40°＝125°，
∴这两个角的度数为20°，20°或55°，125°．
13．如图，射线OC、OD把∠AOB分成三个角，且度数之比是∠AOC：∠COD：∠DOB＝2：3：4，射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD．
（1）若∠AOB＝144°，求∠COM的度数；
（2）若OM⊥ON，求∠COD的度数．
解：（1）设∠AOC＝2x，
则∠COD＝3x，∠DOB＝4x，∠AOB＝9x，
∵∠AOB＝144°，
∴2x+3x+4x＝144°，
∴x＝16°，
∴∠AOC＝2x＝32°，∠COD＝3x＝48°，∠DOB＝4x＝64°，
∵OM平分∠AOC，
∴∠COM∠AOC＝16°．
（2）设∠AOC＝2x，
则∠COD＝3x，∠DOB＝4x，∠AOB＝9x，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，
∴∠MOC＝x，∠NOD＝2x，
∴∠MON＝x+3x+2x＝6x，
∵OM⊥ON，
∴∠MON＝90°，
∴6x＝90°，
∴x＝15°，
∴∠COD＝45°．
14．如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB．
（1）若∠1＝40°，求∠BOD的度数；
（2）如果∠1＝∠2，那么ON与CD互相垂直吗？为什么？
解：（1）∵OM⊥AB，
∴∠AOM＝90°，
∴∠AOC＝90°﹣∠1＝90°﹣40°＝50°，
∴∠BOD＝∠AOC＝50°；
（2）ON⊥CD，
理由：∵∠1＝∠2，
∴∠2+∠AOC＝∠1+∠AOC＝90°，
即ON⊥CD．
15．（2021秋•鄞州区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC．
【基础尝试】
（1）如图1，若∠AOC＝40°，求∠DOE的度数；
【画图探究】
（2）作射线OF⊥OC，设∠AOC＝x°，请你利用图2画出图形，探究∠AOC与∠EOF之间的关系，结果用含x的代数式表示∠EOF．
【拓展运用】
（3）在第（2）题中，∠EOF可能和∠DOE互补吗？请你作出判断并说明理由．
解：（1）∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣40°＝140°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE＝∠BOC＝70°，
∵∠DOE+∠COE＝180°，
∴∠DOE＝180°﹣70°＝110°；
（2）∠EOF＝x或∠EOF＝180°﹣x．
当OF在∠BOC内部时，如图，
∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝x°，
∴∠BOC＝（180﹣x）°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE＝∠BOC＝（90﹣x）°，
∵OF⊥OC，
∴∠COF＝90°，
∴∠EOF＝90°﹣∠COE＝90°﹣（90﹣x）°＝x°，
即∠EOF＝x；
当OF在∠AOD内部时，如图，
∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝x°，
∴∠BOC＝（180﹣x）°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE＝∠BOC＝（90﹣x）°，
∵OF⊥OC，
∴∠COF＝90°，
∴∠EOF＝90°+∠COE＝90°+（90﹣x）°＝（180﹣x）°，
即∠EOF＝180°﹣x．
综上所述：∠EOF＝x或∠EOF＝180°﹣x；
（3）∠EOF可能和∠DOE互补．
当AB⊥CD，且OF与OB重合时，∠BOC＝∠BOD＝90°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝BOC＝45°，
即∠EOF＝45°，
∴∠DOE＝∠BOD+∠BOE＝90°+45°＝135°，
∴∠EOF+∠DOE＝180°，
即∠EOF和∠DOE互补．