人教版数学七下期末高频考点练习第06讲 实数（2份，原卷版+解析版）

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高频考点典例剖析+针对训练
高频考点1 开方运算
典例1 若一个正数的两个平方根分别为和，则这个正数为 。
思路引领：因为一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。所以（）+（）=0，解之=－1，所以＝9，所以这个正数是9
解：由题意得（）+（）=0，
所以=－1
∴=3
所以＝9
∴这个正数是9
点睛：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，这对相反数中任何一数的平方仍得这个正数，在求到a的值后，不要以为本题就解结束了，还要继续求出这个正数．
典例2 若=0，则的立方根为 。
思路引领：要使得=0成立，必须使得分子＝0，同时分母≠0，由于和是非负数，根据非负数的性质可知，可得每一个非负数都得0，所以，，由解得，同时分母≠0，即x≠3，所以，代入得＝0，可得.
所以=27，27的立方根是3
解：由题意，得：
＝0，≠0．
∴2x＋y＝0，＝0，3－x≠0
解得：，y＝6．
所以=27，27的立方根是3
点睛：一个数的算术平方根具有双重非负性，即算术平方根的被开方数是非负数，算术平方根本身的值是被开方数．
典例3 已知和互为相反数，且的平方根是它本身，试求、的值。
思路引领：本题由条件“和互为相反数”得与互为相反数，所以……①，又由条件“的平方根是它本身”可得=0……②
解：由题意
，解得：
∴x、y的值分别为6和10．
点睛：若与互为相反数，则a与b也就互为相反数.
针对训练1
1.求下列各数的平方根：
(1) ；(2) ；(3) (－10)2
解：(1) ±；(2) ±；(3) ±10
2.求下列各数的立方根：
(1) ；(2) 0.027；(3) (－10)6
解：(1) ；(2) 0.3；(3) 100
3.求下列各式的值：
(1) _____ (2) _____ (3) _____
(4) _____ (5) _____ (6) _____
答案：（1）20（2）（3）（4）（5）（6）0.5
4.一个立方体的棱长是4cm，如果把它体积扩大为原来的8倍，则扩大后的立方体的表面积是_______.
答案：384cm2
5.3的算术平方根是( )
A.9 B. C. D.
答案：C
高频考点2 实数的有关概念
典例4 将下列各数填入相应的集合里
π、、、5.010010001…、0、、－、、0.101001、2.5151…
分数集合 ｛ …｝
有理数集合｛ …｝
无理数集合｛ …｝
思路引领：弄清分数、有理数、无理数的区别和联系，结合实数的分类，判断每个数属于哪个范围内．
解：分数集合｛、、 0.101001、 2.5151… …｝
有理数集合｛、0、、、0.101001、2.5151… …｝
无理数集合｛、 、5.010010001…、－ …｝
点睛：解这类题的关键是：把握好实数的两种分类，特别是注意有限小数和无限循环小数能化成两个整数比的形式，因此有限小数和无限循环小数也属于分数范畴；还要注意－是无理数，不能认为是有理数中的分数．
针对训练2
6. 在－7.5，，4，，π，，中，无理数的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案：B
7.在，0.618，π，，中，负有理数的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案：B
8.下列实数，，，3.14159，， 中，正分数的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案：C
高频考点3 实数的估算
典例5（1）估算的近似值（误差不超过0.1）
（2）已知为的整数部分，为的小数部分，试求的值。
思路引领：由（1）问可知，的整数部分是2，即＝2，因为为的小数部分,所以＝－2；将a、b的值代入：先求出=，再求出=4－，最后代入中．
解：（1）∵,
∴在2和3这两个整数之间
∵,
∴2.2＜＜2.3
∵,
∴2.23＜＜2.24
∴≈2.2
（2）∵≈2.2，∴a＝2，b＝－2，
∴=，＝4－．
∴＝（2＋－2）[2－（－2）]＋－2
＝（4－）＋－2＝4－·＋－2＝5－7
点睛：（1）在估值大小时估值为2.3也符合题目要求，这是一种无限逼近的数学思想，用夹值法去逼近一个无理数，是求无理数近似数的一个重要方法；（2）有理数范围内的四则运算法则同样适用于实数运算；（3）能用有理数估计一个无理数的大致范围；（4）一个数的绝对值，一个数的平方，一个数的算术平方根，用符号可表示为、、，这三种数都是非负数.
针对训练3
9.写出两个大于3小于4的无理数__________.
答案：；
10.的整数部分为____，小数部分为_______.
答案：4；
高频考点4 实数与数轴的结合
典例6（2021春•仙游县月考）如图所示，数轴上表示1和的对应点分别为A、B，点B关于点A的对称点是C，O为原点．
（1）分别求出线段AB、AC、OC长度；
（2）设C点表示的数为x，试求|x|+x的值．
思路引领：（1）用表示点B的数减去表示点A的数即可；根据对称性，AC＝AB；先表示点C的数，然后用表示点C的数减去表示点0的数即可；
（2）先比较大小可得x，然后根据绝对轴的性质进行计算即可得解．
解：（1）由数轴可得，AB1，
∵点B关于点A的对称点是C，
∴AC＝AB1，
∴OC＝1﹣（1）＝2；
答：AB1，AC1，OC＝2；
（2）由（1）得，x，
∴原式x+x．
点睛：本题考查了实数与数轴，绝对值以及两点间的距离的求解，求数轴上两点间的距离，用右边的数减去左边的数即可．
典例7 实数a，b在数轴上的位置如图6-1所示，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
a
0
1
b
图6-1
思路引领：由数轴可知，－1＜a＜0，b＞1，则a＋b＞0，a－b＜0．
答案：A
点睛：实数与数轴上的点一一对应，且有理数范围内的加、减、乘、除运算的法则在实数范围内仍然使用．
针对训练4
11.如图，已知在纸面上有一数轴，折叠纸面，使－1表示的点与3表示的点重合，则表示的点与数_______表示的点重合.
答案：
12．如图6-6，数轴上表示1、的对应点分别为点A、B，点B关于点A的对称点为C．设点C表示的数为，求（－2）（2－）的值.
0
C
A
B
解：由题意得AC＝AB.∵A、B两点表示的数为1、，∴AB＝－1，∴AC＝－1，
∵点C表示的数为，∴AC＝1－，∴1－＝－1，
解得＝2－，∴（－2）（2－）＝（2－－2）（2－2＋）＝－2.
高频考点5 实数的运算
典例8 计算：
(1) (2)
思路引领：实数的简单计算是进一步学习二次根式的基础，解决这类题目首先考虑化简，然后运用加、减、乘、除运算法则解决问题．
解：(1)原式=--- (2)原式=--4=-4
=-2
典例9 已知≈2.236，不再利用其他工具，能确定出近似值的是( )
A. B. C. D.
思路引领：开方运算时要注意小数点的变化规律，开立方是三位与一位的关系，开平方是二位与一位的关系.
答案：C
针对训练5
13.已知≈0.8138，≈1.753，≈3.777，则≈________，≈________.
答案：0,1753；37.77
14.计算：
(1) (2) (精确到0.01)
解：(1)原式=0.6+1-2=-0.4 (2)原式≈2.449-2.236≈0.21
15.求下列各式中的x值.
(1)(x－1)2＝64 (2)
解：(1)x-1=±8 (2) =-729
x-1=8或x-1=-8 =-9
∴ x=9或x=-7 ∴ x=-18
第三部分 能力提升训练
1．若，则x－y的值为（ ）
A．－1 B．1 C．2 D．3
答案：C 点拨：本题考查二次根式的意义，由题意可知，，∴x－y＝2，故选C．
2． 如图6-2，数轴上两点表示的数分别为和，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
3．设的整数部分为a，小整数部分为b，则的值为（ ）
A． B．C． D．
答案：A
4．观察下列各式：＝2，＝3，＝4，请你将发现的规律用含自然数（≥1）的等式表示出来_____________________.
答案：＝（＋1）
5．想一想：将等式＝3和＝7反过来的等式3＝和7＝还成立吗？
式子9＝＝和4＝＝还成立吗？
仿照上面的方法，化简下列各式：
（1）2；（2）11；（3）6；
解：成立；（1）2＝＝；（2）11＝＝；（3）6＝＝.
6.对于实数a，我们规定：用符号[]表示不大于 的最大整数，称[]为a的根整数，例如：[]＝3，[]＝3.
(1)仿照以上方法计算：[]＝____；[]＝____.
(2)若[]＝1，写出满足题意的x的整数值_________.
如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止.例如：对10连续求根整数2次[]＝3→[]＝1，这时候结果为1.
(3)对120连续求根整数，____次之后结果为1.
(4)只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是_____.
答案：（1）2；6；（2）1,2,3；（3）3；（4）255
第四部分 2021中考真题链接
一、选择题
1．(3分)(2021年东营中考数学试卷；)(2021·东营) 16的算术平方根是( )
A． 4 B．-4 C． D．8
答案：A
解析：本题考查了非负数的算术平方根，∵＝4，∴16的算术平方根是4，因此本题选A．
2．(2分)(2020年北京市中考数学试卷；)(2021·北京) 已知432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝2116．若n为整数且n＜＜n+1，则n的值为（ ）
A．43B．44C．45D．46
答案：B
解析：本题考查了无理数的估值，夹逼法：1936”或“