人教版数学七下期末高频考点练习第11讲 二元一次方程组（2份，原卷版+解析版）

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高频考点1 二元一次方程（组）的概念
考点解读：
1．二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。
二元一次方程具备以下几个特征：（1）它是一个整式方程；（2）只含有两个未知数；（3）两个未知数的系数不为0；（4）含有未知数的项的系数为1．
2．二元一次方程组的概念：两个方程合在一起，组成一个方程组，这个方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组．
典例1方程（1）；（2）；（3）x2－y2＝4；（4）；（5）2x2－5x＝3；（6）；（7）；（8）xy－x＝1中，是二元一次方程的是__________（填序号）．
思路引领：识别二元一次方程要抓住以下三点，是一个整式方程（即分母上不能有字母），如（2）（6）中分母上含有字母；含有两个未知数，例如（7）中含有三个未知数；未知项的次数是1，例如（3）（5）（8）中未知项的次数是2.
答案：（1）（4）．
点睛：判定一个方程是不是二元一次方程，可看是否具备二元一次方程的几个特征，（1）它是一个整式方程；（2）只含有两个未知数；（3）两个未知数的系数不为0；（4）含有未知数的项的系数为1．
典例2 若方程是二元一次方程，那么值是________．
思路引领：根据二元一次方程的定义可以得到两个方程3m＋2＝1，m＋n＝1，从而求出，，m＋n＝1．
答案：1．
点睛：二元一次方程未知数的次数是1，这是此类题目的隐含条件，解题时常用这个结论列出方程．
典例3下列方程组中，那些是二元一次方程组？哪些不是？说明理由
（1）（2）（3）（4）
思路引领：（1）（2）含有两个未知数，未知数的次数都是1次，因此是二元一次方程组；（3）不是二元一次方程组，因为方程 不是整式方程，所以不是二元一次方程组；（4）不是二元一次方程组，因为方程的最高次数是2，所以不是二元一次方程组．
解：（1）（2）是二元一次方程组；（3）（4）不是二元一次方程组．
点睛：识别一个方程组是否为二元一次方程组的方法是：（1）看方程组中的方程是否都是整式方程，若不是整式，则不是二元一次方程组；（2）判断方程组中是不是只含有两个未知数；（3）判断方程组未知项的最高次数是不是1．
针对训练
1.下列方程是二元一次方程的是( )
A.xy＋8＝0 B. C.x2－2x－4＝0 D.x＝y
答案：D
2.已知方程x|n|-1＋(n＋2)ym+3＝0是关于x、y的二元一次方程，则m＝____，n＝____.
答案：﹣2；2
3. 若x2m-1＋5y3n-2m＝7是二元一次方程，则m＝____，n＝____.
答案：1；1
高频考点2 二元一次方程（组）的解
考点解读：方程的解是能使方程两边相等的未知数的值，方程组的解是组成方程组的各个方程的各个方程的公共解．方程的解的问题是本章考查的热点问题之一，解决此类问题时，将方程的解的概念是解决此类问题的根本途径．
典例4 若是方程的解，则k ＝_______．
解：把代入方程，
∴，解得：k＝3．
点睛：由于是方程的解，那么将代入方程两边，即可得到一个关于k的一元一次方程．
典例5 使满足方程组的x、y的值的和等于2，则m2－2m＝ ．
解法一：②×3－①，得：4y＝m－2，解得：y＝；
把y＝代入②，得：x＝．
∵x、y的值的和等于2，∴＋＝2．
∴．∴m2－2m＝0．
解法二：①－②×2，得：x－y＝2
∵x、y的值的和等于2，
∴，解得：
把代入②，得：m＝2．∴m2－2m＝0．
点睛：本题含有3个未知数：x、y、m，含有三个方程、、x＋y＝2，可看作三元一次方程组，这两种方法都是设法消去一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组．
针对训练2
4.已知x＝1，y＝－2是二元一次方程组的解，则a＝____，b＝____.
答案：﹣1；1.5
5.已知x＝5，y＝－3是方程kx－y＝13的解，则k＝____.
答案：2
6.x＝1，y＝－2满足(ax－2y－3)2＋|x－by＋4|＝0，求a＋b的值.
解：由题意可得：，把x=1，y=-2代入方程组可得：，解得：，则a+b=-3.5.
高频考点3 二元一次方程组的解法
考点解读：二元一次方程组的基本思想是消元，基本方法有代入消元法和加减消元法，将二元一次方程组转化为一元一次方程来解决．
典例7 解下列二元一次方程组：
（1） （2）
解：（1）解：原方程组可化为
③×5－④，得19x＝171，解得：x＝9
把x＝9代入③得 45＋y＝45，解得：y＝0
∴
（2）解：②×2－①，得6(y＋1)－5(y－1)＝3，解得：y＝－8
把y＝－8代入①，得 4(x＋5)＋5×(－9)＝7，解得：x＝8
∴
点睛：所有的二元一次方程组都既可以用“代入法”解，又可以用“加减法”解．但是，通过比较，我们发现对于同一个方程组，用两种方法解有“繁”、“简”之别，所以，我们应该根据方程组的结构特点，选择最优方法，但“加减法”比“代入法”更直观些，所以在解二元一次方程组时常常选用“加减法”．除了这两种方法之外，对于一些特殊的二元一次方程组也有一些特殊的方法．
针对训练3
已知方程x－2y＝4，用含x的式子表示y为________；用含y的式子表示x为________.
答案：
8.已知－4xm+nym-n与－2x7-my1+n是同类项，求m，n的值.
解：由题意得
由①，得 n=7-2m ③
把③代入②，得 m-(7-2m)=1+7-2m
解这个方程，得 m=3
把m=3代入③，得 n=1
所以，m=3，n=1.
9.用代入消元法解方程组
解：由①，得 y=2x+5 ③
把③代入②，得 3x-2(2x+5)=-7
解这个方程，得 x=-3
把x=2代入③，得 y=-1
所以这个方程组的解是
10.用加减消元法解方程组
解：方程组整理得
③-④，得 y=7
把y=7代入③，得 3x-28=-13
x=5
所以这个方程组的解是
11.已知方程组的解为，求6a－3b的值.
解：将代入原方程组得
①+②，得 4a=12
a=3
把a=3代入①，得 6-2b=4
b=1
所以这个方程组的解是
所以6a-3b=6×3-3×1=15
12.在方程组中，x与y的和为12，求k的值.
解：①×3，得 6x+9y=3k ③
②×2，得 6x+10y=2k+4 ④
④-③，得 y=4-k
把y=4-k代入①，得 2x+3(4-k)=k
x=2k-6
∵ x+y=12
∴ 2k-6+4-k=12，解得 k=14
“高频”考点4 三元一次方程组的解法
考点解读：三元一次方程组解题的基本思想也是消元，通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组来求解，解三元一次方程组的关键是选择恰当方法消元．虽然三元一次方程组的解法不属于高频考点，但是在以后学习求二次函数解析式经常要用到，所以也必须熟练掌握。
典例8 解方程组
解：观察三个方程发现，未知数y的系数成倍数关系，因此可考虑先消去y．
①＋②×2，得8x＋13z＝31④．②×3－③，得4x＋8z＝20，即x＋2z＝5⑤．
解④⑤组成的方程组 ，得x＝－1，z＝3．
把x＝－1，z＝3代入②，得y＝0.5．
所以原方程组的解为．
点睛：若三个方程中有某个未知数的系数的绝对值相等或成倍数关系，可先消去这个未知数，转化为二元一次方程组求解．
针对训练4
13．解方程组
解：①×3－②×2，得y－2z＝－1④．①×5－③×2，得y－32z＝－31⑤．
解④⑤组成的方程组 ，
得y＝1，z＝1．把y＝1，z＝1代入①，得x＝2．
所以原方程组的解为．
高频考点5 二元一次方程组的应用
典例9小华写信给老家的爷爷，慰问“八一”建军节．折叠长方形信纸、装入标准信封时发现：若将信纸如图8－1两次对折后，沿着信封口边线滑入时宽绰有3.8cm；若将信纸如图8－2三折折叠后，同样方法装入时宽绰1.4cm；试求出信纸的纸长与信封的口宽．
图8－1 图8－2
思路引领：本题由小华两种不同的折叠长方形信纸装入标准信纸的方法（如图8－1、8－2），我们获知两个重要的信息，即：信纸纸长的四分之一 EMBED Equatin.KSEE3 信封的宽口 EMBED Equatin.KSEE3 EMBED Equatin.KSEE3 ；信纸纸长的三分之一 EMBED Equatin.KSEE3 信封的宽口－1.4．故可列出符合题意的方程组.
解法一：设信纸的纸长为 EMBED Equatin.DSMT4 ，
根据题意得： EMBED Equatin.DSMT4
解得 EMBED Equatin.DSMT4 ;
所以信封的口宽为 EMBED Equatin.DSMT4 ．
答：信纸的纸长为 EMBED Equatin.DSMT4 ，信封的口宽为 EMBED Equatin.DSMT4 .
解法二：设信纸的纸长为 EMBED Equatin.DSMT4 与信封口宽 EMBED Equatin.DSMT4 ，
EMBED Equatin.DSMT4
解得： EMBED Equatin.DSMT4
答：信纸的纸长为 EMBED Equatin.DSMT4 ，信封的口宽为 EMBED Equatin.DSMT4 ．
点睛：这是一道生活情境应用题，生活中的折纸问题具有趣味性，能激发考生的解题兴趣.解题的关键在于：从新颖别致的图文信息中找出蕴含的列方程组的两个等量关系．
典例10 某汽车运输队要在规定的天数内运完一批货物，如果减少6辆汽车则要再运3天才能完成任务；如果增加4辆汽车，则可提前一天完成任务.那么这个汽车运输队原有汽车多少辆？原规定运输的天数是多少？
思路引领：等量关系：
①减少6辆汽车后运输的货物=原规定运输货物；
②增加4辆汽车后运输的货物=原规定运输货物.
解：设这个汽车运输队原有汽车x辆，原规定完成的天数为y天，每辆汽车每天的运输量为1.根据题意可得
EMBED Equatin.3
化简整理得 EMBED Equatin.3
解这个方程组得 EMBED Equatin.3
答：原有汽车16辆，原规定完成的天数为5天.
针对训练5
14.某校七年级安排宿舍，若每间宿舍住6人，则有4人住不下，若每间住7人，则有1间只住3人，且空余11间宿舍，求该年级寄宿学生有多少人？宿舍有多少间？
解：设该年级寄宿学生有x人，宿舍有y间.根据题意可得
EMBED Equatin.3
解这个方程组，得 EMBED Equatin.3
答：该年级寄宿学生有514人，宿舍有85间.
15.A、B两地相距36千米.甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发步行到A地.两人同时出发，4小时相遇，6小时后，甲所余路程为乙所余路程的2倍，求两人的速度.
解：设甲、乙两人的速度分别为x千米/时和y千米/时.根据题意可得
EMBED Equatin.3
解这个方程组，得 EMBED Equatin.3
答：甲、乙的速度分别为4千米/时和5千米/时.
第二部分 能力提升训练
1.小红用110根长短相同的小木棍按照如图所示的方式，连续摆正方形或六边形，要求相邻的图形只有一条公共边.
(1)小红首先用m根小木棍摆出了p个小正方形，请你用等式表示m，p之间的关系：__________；
(2)小红用剩下的小木棍摆出了一些六边形，且没有木棍剩余.已知他摆出的正方形比六边形多4个，请你求出摆放的正方形和六边形各多少个？
(3)小红重新用50根小木棍，摆出了s排，共t个小正方形.其中每排至少含有1个小正方形，每排含有的小正方形的个数可以不同.请你用等式表示s，t之间的关系，并写出所有s，t可能的取值.
解：(2)设六边形有x个，正方形有y个.根据题意可得
EMBED Equatin.3
解这个方程组，得 EMBED Equatin.3
所以正方形有16个，六边形有12个.
(3)根据题意可得 3t+s=50
又根据题意可得，t≥s，且s，t均为正整数.
因此s，t可能的取值为：
EMBED Equatin.3 ， EMBED Equatin.3 ， EMBED Equatin.3 或 EMBED Equatin.3 .
2.方程组 EMBED Equatin.3 的解是 EMBED Equatin.3 ，求方程组 EMBED Equatin.3 的解.
解：根据题意，把 EMBED Equatin.3 代入 EMBED Equatin.3 ，可得 EMBED Equatin.3 ，把①和②分别乘以5可得 EMBED Equatin.3 ，和 EMBED Equatin.3 比较，可知 EMBED Equatin.3 ，因此所求方程组的解为 EMBED Equatin.3 .
第三部分 2021中考真题链接
一、选择题
1．(3分)(2021年南宁中考数学试卷；)(2021·南宁) 《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？译文：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行，问：人与车各多少？设有x辆车，人数为y，根据题意可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
解析：本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键，设共有y人，x辆车，依题意得：，因此本题选B．
2．(3分)(2021年无锡市中考数学试卷；)(2021·无锡)方程组 EMBED Equatin.DSMT4 的解是（ ）
A． EMBED Equatin.DSMT4 B． EMBED Equatin.DSMT4 C． EMBED Equatin.DSMT4 D． EMBED Equatin.DSMT4
答案：C
解析：本题考查了二元一次方程组的解法．题中两个方程中，y的系数互为相反数，可用加减消元法消去y，求出x=4，进而得到y=1，方程的解为 EMBED Equatin.DSMT4 ．因此本题选C．
3．(3分)(2021年天津中考数学试卷；)（2021•天津）方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
解析：本题考查了解二元一次方程组，用代入法解方程组的时候建议选择系数绝对值最小的项转化，再代入求解；用加减消元不要急着加减，先观察消哪一个未知数最方便，解完方程组之后，一定要写解．注意，①算完之后最好把得出的解代入原方程组验证；②对于选择题来说，实在不会解方程组的同学，可以把选项中的解代入原方程组，一一验证也可得出正确的答案．本题可以用代入消元法解二元一次方程组或者用加减消元法解二元一次方程组．
，由②﹣①，得：2x＝2，∴x＝1，把x＝1代入①式，得：1+y＝2，解得：y＝1，∴原方程组的解为．因此本题选B．
4．(3分)(2021年衢州中考数学试卷；)(2021·衢州) 《九章算术》是中国传统数学的重要著作，书中有一道题“今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻；一雀一燕交而处，衡适平；并燕雀重一斤.问:燕雀一枚，各重几何?”译文:“五只雀、六只燕，共重1斤(古时1斤=16两)，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问:每只雀、燕重量各为多少?”设雀重x两，燕重y两，可列出方程组( )
A. B.
C. D.
答案：A
解析：本题考查了二元一次方程组，根据五只雀、六只燕，共重1斤(古时1斤=16两)可列出方程5x+6y=16，根据雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重可列出方程4x+y=5y+x，因此本题选A．
5．(3分)(2021年成都中考数学试卷；)（2021•成都）《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．问：甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为x，y，则可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
解析：本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，设甲需持钱x，乙持钱y，
根据题意，得：，因此本题选A．
6．(3分)(2021年××中考数学试卷；)(2021·苏州)某公司上半年生产甲、乙两种型号的无人机若干架，已知甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架．设甲种型号无人机x架，乙种型号无人机y架，根据题意可列出的方程组是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
解析：本题考查了根据实际问题列二元一次方程组，根据题目中的相等关系列方程组为，因此本题选D．
7．(3分)(2021年南通中考数学试卷；)（2021·南通）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长为x尺，绳子长为y尺，可列方程组为
A．B．C．D．
答案：D
解析：本题考查的是列方程（组），是以数学文化的形式出现，题目中隐含两个等量关系是：绳长－木长＝4.5；木长－绳长＝1，据此可列方程组．
考点:二元一次方程组的应用}
8．(3分)(2021年广西北部经济区中考数学试卷；)（2021·广西北部经济区）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？译文：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行．问：人与车各多少？设有x辆车，人数为y，根据题意可列方程组为（ ）
A． EMBED Equatin.DSMT4 B． EMBED Equatin.DSMT4 C． EMBED Equatin.DSMT4 D． EMBED Equatin.DSMT4
答案：B
解析：本题考查了二一元一次方程组的应用，根据题意可知：3人坐一辆车，一共有(x－2)辆车坐满人，，于是总人数为y＝3(x－2)；2人坐一辆车，则9人需要步行，那么总人数为y＝2x＋9，从而列方程组为 EMBED Equatin.DSMT4 ，故选B．
9．(4分)（2021永州）中国传统数学重要著作《九章算术》中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？据此设计一类似问题：今有人组团购一物，如果每人出9元，则多了4元；如果每人出6元，则少了5元，问组团人数和物价各是多少？若设x人参与组团，物价为y元，则以下列出的方程组正确的是（ ）
A． EMBED Equatin.DSMT4 B． EMBED Equatin.DSMT4
C． EMBED Equatin.DSMT4 D． EMBED Equatin.DSMT4
答案：A
解析：本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是找出等量关系，列出相应的方程组．根据如果每人出9元，则多了4元；如果每人出6元，则少了5元，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．
解：由题意可得 EMBED Equatin.DSMT4 ，故选：A．
10．(5分)(2021年新疆生产建设兵团中考数学试卷；)（2021•新疆）某校举行篮球赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．八年级一班在16场比赛中得26分．设该班胜x场，负y场，则根据题意，下列方程组中正确的是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
解析：本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设该班胜x场，负y场，根据八年级一班在16场比赛中得26分，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．依题意得：．故选：D．
11．(3分)(2021年黑龙江龙东中考数学试卷；)(2021·龙东)为迎接2022年北京冬奥会，某校开展了以迎冬奥为主题的演讲活动，计划拿出180元钱全部用于购买甲、乙两种奖品(两种奖品都购买)，奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，则购买方案有（ ）
A．5种 B．6种 C．7种 D．8种
答案：A
解析：本题考查了二元一次方程的整数解，设购买甲种奖品x件，购买乙种奖品y件,根据题意，得15x＋10y＝180．化简，得y＝－ EMBED Equatin.DSMT4 x＋18．
∵x、y均为正整数，且两种奖品都购买，
∴购买方案有：x＝2，y＝15；x＝4，y＝12；x＝6，y＝9；x＝8，y＝6；x＝10，y＝3．，因此本题选A．
分值：3
12．(3分)(2021年湖北省宜昌市中考数学试卷；)（2021宜昌）我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出八钱，会多三钱；每人出七钱，又差四钱．问人数、物价各多少？设人数为x人，物价为y钱，下列方程组正确的是（ ）
A． EMBED Equatin.DSMT4 B． EMBED Equatin.DSMT4
C． EMBED Equatin.DSMT4 D． EMBED Equatin.DSMT4
答案：A
解析：本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．设有x人，买此物的钱数为y，根据关键语句“人出八，盈三；人出七，不足四”列出方程组即可．
解：设有x人，买此物的钱数为y，
由题意得： EMBED Equatin.DSMT4 ，故选：A．
13．(3分)(2021年齐齐哈尔中考数学试卷；)(2021·齐齐哈尔) 周末，小明的妈妈让他到药店购买口罩和酒精湿巾，已知口罩每包3元，酒精湿巾每包2元，共用了30元钱（两种物品都买），小明的购买方案共有（ ）
A．3种B．4种C．5种D．6种
答案：B
解析：本题考查了二元一次方程的应用，设口罩x只，酒精湿巾y包，由题意得：3x＋2y＝30，得： EMBED Equatin.DSMT4 ，因为x，y为正整数，从而x＝2，4，6，8，共4种方案，因此本题选B．
14．(3分)(2021年七台河市中考数学试卷；)(2021·七台河市) 为迎接2022年北京冬奥会，某校开展了以迎冬奥为主题的演讲活动，计划拿出180元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，则购买方案有（ ）
A．5种B．6种C．7种D．8种
答案：A
解析：本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键，设购买x件甲种奖品，y件乙种奖品，依题意得：15x+10y＝180，∴x＝12y．又∵x，y均为正整数，∴或或或或，∴共有5种购买方案，因此本题选A．
15．(3分)(2021年荆门市中考数学试卷；)(2021·荆门)我国数学古典名著《孙子算经》中记载，“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺；木长几何？”其大意是“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量，长木还剩余1尺；问长木多少尺？”如果设长木长为x，绳子长为y，则下面所列方程组正确的是( )
A． EMBED Equatin.DSMT4 B． EMBED Equatin.DSMT4 C． EMBED Equatin.DSMT4 D． EMBED Equatin.DSMT4
答案：A
解析：∵绳比木长4.5，∴y＝x＋4.5；∵绳的一半比木短1，∴ EMBED Equatin.DSMT4 y＝x－1．故选A．
16．(0分)(2021年宁波中考数学试卷；)(2021·宁波)我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
解析：本题考查了利用二元一次方程组解决实际问题，根据题意可列方程组为，因此本题选A．
二、填空题
17．(4分)(2021年枣庄中考数学试卷；)(2021·枣庄) 已知 EMBED Equatin.DSMT4 ， EMBED Equatin.DSMT4 满足方程组 EMBED Equatin.DSMT4 ，则 EMBED Equatin.DSMT4 的值为 .
答案：-2
解析：本题考查了解二元一次方程组，由第二个方程可得 EMBED Equatin.KSEE3 ，代入第一个方程得 EMBED Equatin.KSEE3 ，解出 EMBED Equatin.KSEE3 ．所以 EMBED Equatin.DSMT4 的值为-2．
18．(4分)(2021年浙江省金华市中考数学试卷；)（2021•金华）已知是方程3x+2y＝10的一个解，则m的值是 ．
答案：2
解析：本题考查了二元一次方程的解，把代入方程得：3×2+2m＝10，∴m＝2，
分值：4
19．(4分)(2021年广东中考数学试卷；)(2021·广东) 二元一次方程组的解为 ．
答案：．
解析：本题考查了解二元一次方程组，利用加减消元法把方程组化为一元方程是解答此题的关键，，①×2﹣②，得：3y＝﹣6，即y＝﹣2，将y＝﹣2代入②，得：2x+（﹣2）＝2，解得：x＝2，所以方程组的解为，因此本题答案为．
20．(3分)(2021年通辽中考数学试卷；)(2021·通辽)我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托.折回索子却量竿，却比竿子短一托.”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺.设绳索长 EMBED Equatin.DSMT4 尺，竿长 EMBED Equatin.DSMT4 尺，则符合题意的方程组是________________________
答案： EMBED Equatin.DSMT4
解析：本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，设绳索长x尺，竿长y尺，根据“用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组 EMBED Equatin.DSMT4 ，因此本题填 EMBED Equatin.DSMT4 ．
21．(4分)(2021年重庆市中考数学试卷（B卷）；)（2021•重庆）盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径．某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，搭配为A，B，C三种盲盒各一个，其中A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：2；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱．经核算，A盒的成本为145元，B盒的成本为245元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和），则C盒的成本为 元．
答案：155
解析：本题主要考查列代数式和代数式的运算，利用A、B盒中的价格关系求出C盒的价格是解题的关键．根据题意确定B盲盒各种物品的数量，设出三种物品的价格列出代数式，解代数式即可．
解：∵蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱；
∴B盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22﹣2﹣3﹣1﹣1﹣3﹣2＝10（个），
∵B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：2，
∴B盒中有多接口优盘105（个），蓝牙耳机有53（个），迷你音箱有10﹣5﹣3＝2（个），
设蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本价分别为a元，b元，c元，
由题知：，
∵①×2﹣②得：a+b＝45，
②×2﹣①×3得：b+c＝55，
∴C盒的成本为：a+3b+2c＝（a+b）+（2b+2c）＝45+55×2＝155（元），
故答案为：155．
22．(4分)(2021年重庆市中考数学试卷（A卷）；)（2021•重庆）某销售商五月份销售A、B、C三种饮料的数量之比为3：2：4，A、B、C三种饮料的单价之比为1：2：1．六月份该销售商加大了宣传力度，并根据季节对三种饮料的价格作了适当的调整，预计六月份三种饮料的销售总额将比五月份有所增加，A饮料增加的销售额占六月份销售总额的，B、C饮料增加的销售额之比为2：1．六月份A饮料单价上调20%且A饮料的销售额与B饮料的销售额之比为2：3，则A饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比为 ．
答案：9：10
解析：此题考查的是二元一次方程的应用，掌握用代数式表示每个参数，并用整体法解题是关键．解：由题意可设五月份A、B、C三种饮料的销售的数量为3a、2a、4a，单价为b、2b、b；六月份A的销售量为x．
∴A饮料的六月销售额为b（1+20%）x＝1.2bx，B饮料的六月销售额为1.2bx÷2×3＝1.8bx．
∴A、B饮料增加的销售额为分别1.2bx﹣3ab，1.8bx﹣4ab．
又∵B、C饮料增加的销售额之比为2：1，
∴C饮料增加的销售额为（1.8bx﹣4ab）÷2＝0.9bx﹣2ab，
∴C饮料六月的销售额为0.9bx﹣2ab+4ab＝0.9bx+2ab．
∵A饮料增加的销售额占六月份销售总额的，
∴（1.2bx﹣3ab）1.2bx+1.8bx+0.9bx+2ab，
∴18bx﹣45ab＝3.9bx+2ab，
∵b≠0，
∴18x﹣45a＝3.9x+2a，
∴14.1x＝47a，
∴3a，
∴．
即A饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比为9：10．
故答案为9：10．
23．(3分)(2021年邵阳市中考数学试卷；)(2021·邵阳) 《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：
今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？
意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价值是多少？
该问题中物品的价值是 钱．
答案：53
解析：设有x人，物品的价值为y钱，由题意：几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．列出方程组，解方程组即可．
解：设有x人，物品的价值为y钱，
依题意，得： EMBED Equatin.DSMT4 ，
解得： EMBED Equatin.DSMT4 ，
即该问题中物品的价值是53钱，
故答案为：53．
24．(5分)(2021年浙江省绍兴中考数学试卷；)（2021•绍兴）我国明代数学读本《算法统宗》有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．银子共有 两．
答案：
解析：本题考查了二元一次方程组的应用，设有x人，银子y两，
由题意得：，解得，
故答案为46．
25．(4分)(2021年嘉兴中考数学试卷；)（2021•嘉兴）已知二元一次方程x+3y＝14，请写出该方程的一组整数解 ．
答案： EMBED Equatin.DSMT4
解析：本题考查了二元一次方程的解，由x+3y＝14，得x＝14﹣3y，若y＝1时，x＝11；若y＝2时，x＝8；若y＝3时，x＝5；若y＝4时，x＝2；故答案为： EMBED Equatin.DSMT4 ； EMBED Equatin.DSMT4 ； EMBED Equatin.DSMT4 ； EMBED Equatin.DSMT4 。
26．(3分)(2021年广安中考数学试卷；)（2021广安）若x、y满足 EMBED Equatin.DSMT4 ，则代数式x2﹣4y2的值为 ．
答案：﹣6
解析：本题主要考查平方差公式，方程组的解及代数式的求值，观察待求代数式的特点与方程组中两方程的联系是解题关键．根据方程组中x＋2y和x﹣2y的值，将代数式利用平方差公式分解，再代入计算即可．
解：∵x﹣2y＝﹣2，x＋2y＝3，∴x2﹣4y2＝（x＋2y）（x﹣2y）＝3×（﹣2）＝﹣6，
27．(4分)(2021年四川省遂宁市中考数学试卷；)（2021•遂宁）已知关于x，y的二元一次方程组满足x﹣y＞0，则a的取值范围是 ．
答案： a＞1
解析：本题考查解一元一次不等式、二元一次方程组的解，解答本题的关键是明确利用加减消元法得到x﹣y的值．
，
①﹣②，得
x﹣y＝3a﹣3，
∵x﹣y＞0，
∴3a﹣3＞0，
解得a＞1，
28．(4分)(2021年四川省凉山州中考数学试卷；)（2021•凉山州）已知是方程ax+y＝2的解，则a的值为 ．
答案：﹣1
解析：本题考查了二元一次方程的解，把方程组的解代入方程，得到关于a的一元一次方程是解题的关键．
把代入到方程中得：a+3＝2，∴a＝﹣1，
29．(4分)(2021年山东省泰安市中考数学试卷；)（2021•泰安）《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”其大意是：“今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50．问甲、乙各有多少钱？”设甲的钱数为x，乙的钱数为y，根据题意，可列方程组为 ．
答案：
解析：本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是找出题目中的等量关系，列出相应的方程组．根据乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50和题目中所设的未知数，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．
解：由题意可得，
，
故答案为：．
三、解答题
30．(4分)(2021年常州中考数学试卷；)解方程组或不等式组：（1） EMBED Equatin.KSEE3 ；
答案：解： EMBED Equatin.KSEE3
①+②，得 EMBED Equatin.KSEE3 ，∴ EMBED Equatin.KSEE3 ，
将 EMBED Equatin.KSEE3 代入①，得 EMBED Equatin.KSEE3 ，
∴ EMBED Equatin.KSEE3 .
解析：本题考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是配方的要点，等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
31．(4分)(2021年常州中考数学试卷；)解方程组或不等式组：（1）；
答案：解：
①+②，得，∴，
将代入①，得，
∴.
解析：本题考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是配方的要点，等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
32．(5分)(2021年××中考数学试卷；)(2021·苏州)解方程组：．
答案：解： ．
由①式得y=3x+4，
代入②式得x-2（3x+4）=-5x-8=-3
解得x=-1
将x=-1代入②式得-1-2y=-3，得y=1
经检验，是方程组的解
故原方程组的解为.
33．(8分)(2021年浙江台州中考数学试卷；)(2021·台州)解方程组： EMBED Equatin.DSMT4 .
答案：解：①+②得：3x=3，即x=1，
把x=1代入①得：y=2，
则方程组的解为 EMBED Equatin.DSMT4 .
解析：本题考查了解二元一次方程组，解题关键在于利用加减消元法．观察方程组中同一未知数的系数特点：x的系数存在倍数关系，而y的系数互为相反数，因此将两方程相加，消去y求出x，再求出y的值，可得到方程组的解.
34．(6分)(2021年丽水中考数学试卷；)（2021·丽水）解方程组：．
答案：解： ，把①代入②得：2y﹣y＝6，解得：y＝6，
把y＝6代入①得：x＝12，则方程组的解为．
解析：本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
35．(8分)(2021年四川省眉山市中考数学试卷；)（2021•眉山）解方程组：
答案：解：方程组整理得：，
①×15+②×2得：49x＝﹣294，
解得：x＝﹣6，
把x＝﹣6代入②得：y＝1，
则方程组的解为．
解析：本题考查了二元一次方程组的解法．首先将方程组转化为二元一次方程组的一般形式，再使用代入消元法或加减消元法求解.
36．(0分)(2021年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷；)（2021·呼和浩特）解方程组．
答案：解：原方程整理为，
①×12﹣②得：13x＝3900，
解得x＝300，
把x＝300代入①得：y＝400，
∴方程组的解为．
解析：本题考查了解二元一次方程组，解题的时候，考虑先将两个方程组化简，然后再利用加减消元法解决问题．
37．(5分)(2021年吉林省中考数学试卷；)（2021•吉林省）港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，它由桥梁和隧道两部分组成，桥梁和隧道全长共55km．其中桥梁长度比隧道长度的9倍少4km．求港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度．
答案：解:港珠澳大桥的隧道长度为xkm,则港珠澳大桥的桥梁长度为（9x-4）km.
根据题意，得x+9x-4=55,解得x=5.9,9x-4=49.1.
答:港珠澳大桥的桥梁长度为49.1km，隧道长度为5.9km.
解析：本题考查了列一元一次方程或二元一次方程组解决实际问题，这类问题可以根据题意设出未知数，找出问题中的已知量和未知量之间的关系，建立一元一次方程或者二元一次方程组，再进行求解。
38．(10分)(2021年湖北省荆州市中考数学试卷；)（2021荆州）小美打算买一束百合和康乃馨组合的鲜花，在“母亲节”祝福妈妈．已知买2支百合和1支康乃馨共需花费14元，3支康乃馨的价格比2支百合的价格多2元．
（1）求买一支康乃馨和一支百合各需多少元？
（2）小美准备买康乃馨和百合共11支，且百合不少于2支．设买这束鲜花所需费用为w元，康乃馨有x支，求w与x之间的函数关系式，并设计一种使费用最少的买花方案，写出最少费用．
答案：解：（1）设买一支康乃馨需x元，买一支百合需y元，
则根据题意得： EMBED Equatin.DSMT4 ，解得： EMBED Equatin.DSMT4 ，
答：买一支康乃馨需4元，买一支百合需5元；
（2）根据题意得：w＝4x+5（11﹣x）＝﹣x+55，
∵百合不少于2支，
∴11﹣x≥2，解得：x≤9，
∵﹣1＜0，
∴w随x的增大而减小，
∴当x＝9时，w最小，
即买9支康乃馨，买11﹣9＝2支百合费用最少，wmin＝﹣9+55＝46（元），
答：w与x之间的函数关系式：w＝﹣x+55，买9支康乃馨，买2支百合费用最少，最少费用为46元．
解析：本题主要考查一次函数的性质和二元一次方程组的应用，关键是利用题意写出函数关系式．
（1）设买一支康乃馨需x元，买一支百合需y元，根据题意列方程组求解即可；
（2）根据康乃馨和百合的费用之和列出函数关系式，然后根据函数的性质和百合不少于2支求函数的最小值即可．
39．(10分)(2021年海南中考数学试卷；)(2021·海南)为了庆祝中国共产党成立100周年，某校组织了党史知识竞赛，学校购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍对表现优异的班级进行奖励．若购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需280元；若购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需480元．求1副乒乓球拍和1副羽毛球拍各是多少元？
答案：解：设一副乒乓球拍 EMBED Equatin.KSEE3 元，1副羽毛球拍 EMBED Equatin.KSEE3 元，依题意，得：
EMBED Equatin.KSEE3 ，解得 EMBED Equatin.KSEE3 .
答：1副乒乓球拍80元，1副羽毛球拍120元.
解析：本题考查了列二元一次方程组解应用题，解题的关键是找出题目中的相等关系．
40．(10分)(2021年重庆市中考数学试卷（B卷）；)（2021•重庆）对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“共生数”．例如：m＝3507，因为3+7＝2×（5+0），所以3507是“共生数”；m＝4135，因为4+5≠2×（1+3），所以4135不是“共生数”．
（1）判断5313，6437是否为“共生数”？并说明理由；
（2）对于“共生数”n，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除时，记F（n）．求满足F（n）各数位上的数字之和是偶数的所有n．
解析：此题主要考查新定义的运算，正确理解新定义的运算是解题的关键，第二问中要能根据题意写出F（n）是突破口．（1）根据题目中的定义，可直接判断5313，6437是否为“共生数”；（2）根据定义，先用两个未知数表示F（n），然后列出含有n的式子，找出满足要求的结果即可．
解：（1）∵5+3＝2×（3+1），
∴5313是”共生数“，
∵6+7≠2×（3+4），
∴6437不是“共生数”；
（2）∵n是“共生数”，根据题意，个位上的数字要大于百位上的数字，
设n的千位上的数字为a，则十位上的数字为2a，（1≤a≤4），
设n的百位上的数字为b，
∵个位和百位都是0﹣9的数字，
∴个位上的数字为9﹣b，且9﹣b＞b，
∴0≤b≤4
∴n＝1000a+100b+20a+9﹣b；
∴F（n）340a+33b+3，
由于n是“共生数”，
∴a+9﹣b＝2×（2a+b），
即a+b＝3，
可能的情况有：
，
∴n的值为1227或2148或3069，
各位数和为偶数的有2148和3069，
∴n的值是2148或3069．
41．(8分)(2021年贺州中考数学试卷；)(2021·贺州)为了提倡节约用水，某市制定了两种收费方式：当每户每月用水量不超过12m3时，按一级单价收费；当每户每月用水量超过12m3时，超过部分按二级单价收费．已知李阿姨家五月份用水量为10m3，缴纳水费32元．七月份因孩子放假在家，用水量为14m3，缴纳水费51.4元．
(1)问该市一级水费，二级水费的单价分别是多少？
(2)某户某月缴纳水费为64.4元时，用水量为多少？
答案：解：(1)设该市一级消费的单价为x元/m3，二级消费的单价为y元/m3，依题意，得
EMBED Equatin.DSMT4 解得 EMBED Equatin.DSMT4
答：该市一级水费的单价为3.2元/m3，二级水费的单价为6.5元/m3．
(2)当水费为64.4元时，用水量超过12m3．设用水量为am3，则
12×3.2＋(a－12)×6.5＝64.4．
解得a＝16．
答：当缴纳水费为64.4元时，用水量为16m3．
解析：本题考查二元一次方程组的应用．
42．(8分)(2021年邵阳市中考数学试卷；)(2021·邵阳) 为庆祝中国共产党成立100周年，某校计划举行“学党史•感党恩”知识竞答活动，并计划购置篮球、钢笔、笔记本作为奖品．采购员刘老师在某文体用品店购买了做为奖品的三种物品，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图．
请根据图所示的发票中的信息，帮助刘老师复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额．
答案：解：设钢笔购买了x支，笔记本购买了y本．
由题意得：，
解得：，
∴15×15＝225（元），35×5＝175（元），
答：钢笔购买了15支共225元，笔记本购买了35本共175元．
分值：8
解析：设钢笔购买了x支，笔记本购买了y本，篮球个数+钢笔支数+笔记本本数＝56，篮球总价+钢笔总价+笔记本总价＝1000，利用这两个相等关系列出二元一次方程组，解出即得钢笔和笔记本的数量，乘以各自单价即得各自总价．
43．(7分)(2021年常德中考数学试卷；)（2021·常德）某汽车贸易公司销售A、B两种型号的新能源汽车，A型车进货价格为每台12万元，B型车进货价格为每台15万元，该公司销售2台A型车和5台B型车，可获利3.1万元，销售1台A型车和2台B型车，可获利1.3万元．
（1）求销售一台A型、一台B型新能源汽车的利润各是多少万元？
（2）该公司准备用不超过300万元资金，采购A、B两种新能源汽车共22台，问最少需要采购A型新能源汽车多少台？
答案：解：（1）设销售一台A型新能源汽车的利润是x万元，销售一台B型新能源汽车的利润是y万元，依题意得：，依题意得 EMBED Equatin.3 ，解得 EMBED Equatin.3 ，答：销售一台A型新能源汽车的利润是0.3万元，销售一台B型新能源汽车的利润是0.5万元.（2）设需要采购A型新能源汽车m台，则采购B型新能源汽车（22－m)台，依题意得： EMBED Equatin.3 ，解得 EMBED Equatin.3 .答：最少需要A型新能源汽车10台.
分值：7
解析：本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式.（1）设销售一台A型新能源汽车的利润是x万元，根据“销售2台A型车和5台B型车，可获利3.1万元，销售1台A型车和2台B型车，可获利1.3万元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设需要采购A型新能源汽车m台，则采购B型新能源汽车（22－m）台，根据总价=单价╳数量，结合总价不超过300万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论.