人教版数学七下期末高频考点练习第21讲代数新定义专题（2份，原卷版+解析版）

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“新定义”题型问题成为近年来中考的热点。所谓“新定义”题型，就是在问题中定义了学生还没有学过的一些新概念、新符号、新运算，学生须在已有的知识基础上读懂题意，理解新定义，再根据新定义进行运算，推理解决问题。“新定义”题型能有效地考查学生的自学能力、思维能力、运用新知识解决问题的能力。
“新定义”题型对于一些习惯于听讲然后再练的学生，一旦碰到没有讲过的“新”题型，就蒙了，傻眼了，思维短路了。
解决新定义题型关键是把握两点：意识根据问题原型的特点寻求问题解决的方法，二是根据变化的问题情境，认真思考探究，合理进行思想方法的迁移。
第一部分 典例剖析+针对训练
类型一 “新运算”型专题
典例1请你阅读如图框内老师的新定义运算规定，然后解答下列各小题．
（1）若x⊕y＝1，x⊕2y＝﹣2，分别求出x和y的值；
（2）若x满足x⊕2≤0，且3x⊕（﹣8）＞0，求x的取值范围．
针对训练1
1．已知一种新运算定义为：a⊙b＝a•b﹣|a﹣2|，则不等式组的非正整数解有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2.对于任意实数m，n，定义一种运算m※n＝mn－m－n＋3，例如：3※5＝3×5－3－5＋3.请根据上述定义解决问题：若a＜2※x＜7，且关于x的解集中有两个整数解，则a的取值范围是 .
3.在实数范围内定义一种新运算“⊕”，其运算规则为：a⊕b＝2a＋3b.如：1⊕5＝2×1＋3×5＝17，则不等式x⊕4＜2的解集为 .
类型二 “新概念”型
典例2 新定义，若关于x，y的二元一次方程组①的解是，关于x，y的二元一次方程组②的解是，且满足||≤0.1，||≤0.1，则称方程组②的解是方程组①的模糊解，关于x，y的二元一次方程组的解是方程组的模糊解，则m的取值范围是 ．
针对训练2
4.对于平面直角坐标系xOy中的点P(a，b)，若点P′的坐标为(a＋kb，ka＋b)(其中k为常数，且k≠0)，则称点P′为点P的“k属派生点”.例如：P(1，4)的“2属派生点”为P′(1＋2×4，2×1＋4)，即P′(9，6).若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P′点，且线段PP′的长度为线段OP长度的3倍，则k的值 .
5．喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“老根数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如：1，4，9这三个数，2，3，6，其结果分别为2，3，6都是整数，所以1，4，9这三个数称为“老根数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6．
（1）请证明：2，8，50这三个数是“老根数”，并求出任意两个数乘积的最小算术平方根与最大算术平方根；
（2）已知16，a，36，这三个数是“老根数”，且任意两个数乘积的算术平方根中，最大算术平方根是最小算术平方根的2倍，求a的值．
类型三 “新方程”型
典例3新定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解集中的一个，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．
（1）在方程①2x﹣1＝0，②x+1＝0，③x﹣（3x+1）＝﹣5中，不等式组的关联方程是 ；（填序号）
（2）若不等式组的一个关联方程的解是整数，则这个关联方程可以是 ；（写出一个即可）
（3）若方程6﹣x＝2x，7+x＝3（x）都是关于x的不等式组的关联方程，直接写出m的取值范围．
针对练习3
6．如果两个二元一次方程只有一个未知数的系数不同，那么由这两个方程构成的二元一次方程组叫做和谐方程组．如：，就是和谐方程组．
（1）下列方程组是和谐方程组的是（ ）
A．；B．；C．．
（2）请你补全和谐方程组，并求解．
类型四 阅读材料题型中的新定义
典例4 阅读下列材料解答问题：
新定义：对非负数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如果nx＜n，
则＜x＞＝n；反之，当n为非负整数时，如果＜x＞＝n，则nx＜n．例如：
＜0.1＞＝＜0.49＞＝0，＜1.51＞＝＜2.48＞＝2，＜3＞＝3，＜4.5＞＝＜5.25＞＝5，…
试解决下列问题：
（1）①＜π+2.4＞＝ （π为圆周率）；
②如果＜x﹣1＞＝2，则数x的取值范围为 ；
（2）求出满足＜xx﹣1的x的取值范围．
针对训练4
7．【阅读新知】
定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，那么和我们所学的实数对应起来叫做复数，表示a+bi（a，b为实数），a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、
乘法等运算和法则与实数的运算类似．
例如计算：i3＝i2•i＝﹣1•i＝﹣i；
（12+i）+（13﹣14i）＝（12+13）+（1﹣14）i＝25﹣13i；
（5+i）×（3﹣4i）＝15﹣20i+3i﹣4i2＝15﹣17i+4＝19﹣17i．
【应用新知】
（1）填空：i6＝ ；i9＝ ．
（2）计算：①3i（2+i）；②（1+3i）（1﹣3i）．
（3）请将化简成a+bi的形式．
专题提优训练
为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a＋2b，2b＋c，2c＋3d，4d.当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文是( )
A.7，6，1，4B.6，4，1，7C.4，6，1，7D.1，6，4，7
在平面直角坐标系中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a指任意两点横坐标差的最大值；“铅垂高”h指任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S＝ah，例如，三点坐标分别为A(－1，1)，B(2，5)，C(3，－1).则“水平底”a＝4，“铅垂高”h＝6，“矩面积”S＝ah＝24，已知点A(1，3)，B(－2，－1)，C(m，0)的“矩面积”不超过18，则m的取值范围是 .
令a、b两数中较大的数记作max|a，b|，如max|2，3|＝3，已知k为正整数且使不等式max|2k＋1，－k＋5|≤5成立，则k的值是 .
4．对于正实数a，b作新定义：a⊙b＝2，若25⊙x2＝4，则x的值为 ．
5．新定义：对非负数x“四舍五入”到个位的值记为（x）．即当n为非负整数时，若nx＜n，则（x）＝n．如（0.46）＝0，（3.67）＝4．给出下列关于（x）的结论：
①（1.493）＝1；
②（2x）＝2（x）；
③若（1）＝4，则x的取值范围是9≤x＜11；
④当x≥0，m为非负整数时，有（m+2013x）＝m+（2013x）；
其中正确的结论有 （填写所有正确的序号）．
6．一种新定义运算为：对于任意两个数a与b，a※b＝2a+b，若4※x＝26，则 ．
7．对于正实数a，b作新定义：a*b＝ba+b，在此定义下，若9*x＝55，则x的值为 ．
8. 我们用[x]表示不大于x的最大整数，如：[－3.2]＝－4，[－3]＝3，[0.8]＝0，[2.4]＝2，则关于x的方程2x－3[x]＋＝0的解为 .
9．新定义：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如果nx＜n，则＜x＞＝n；反之，当n为非负整数时，如果＜x＞＝n，则nx＜n．如＜0＞＝＜0.48＞＝0，＜0.64＞＝＜1.499＞＝1，＜2＞＝2，＜3.5＞＝＜4.12＞＝4，…试解决下列问题：
（1）填空：①＜π＞＝ ；
②如果＜2x﹣1＞＝3，则实数x的取值范围为 ．
（2）求满足＜xx的所有非负实数x的值．
（3）若关于x的不等式组的整数解恰有3个，求a的取值范围．
10．（2019秋•海珠区校级期中）如果一对数m，n，满足，我们称这一对数m，n为“友好数对”，记为（m，n）；如果一对数a，b，满足a+b＝7，我们称这一数对a，b为“和气数对”，记为[a，b]．
（1）若（m，1）是“友好数对”，则m＝ ；
（2）若（m，n）是“友好数对”，则m＝ ；（用含n的代数式表示）
（3）若有一数对x，y既是“友好数对”，也是“和气数对”，求x，y的值；
（4）若（m，n）是“友好数对”，[a，b]是“和气数对”，求代数式3m[4（a﹣n）﹣m]﹣4b的值．
11．（2020春•江阴市校级期中）当m、n都是实数，且满足2m﹣n＝6时，我们就称（m﹣1，1）为和谐数对．
（1）请判断（2，﹣4）是否为和谐数对？
（2）已知关于x、y的方程组，当a为何值时，以方程组的解为数对，即（x，y）是否为和谐数对？请说明理由．
12．对于正实数a，b作新定义：a*b＝ba+b．在此定义下，若9*x＝55，则x的值为多少？
13．喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例：1，4，9这三个数，2，3，6，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6．
（1）请证明2，18，8这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根．
（2）已知9，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求a的值．
14．新定义：对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.4]＝1，[2]＝2，[﹣3.5]＝﹣4，试解决下列问题：
（1）填空：
①[π]＝ （π为圆周率），
②如果[x﹣2]＝3，则实数x的取值范围 ；
（2）若点P（x，y）位于第一象限，其中x，y是方程组的解，求a的取值范围：
（3）若f（k）＝[]﹣[]（k是正整数），例：f（3）＝[]﹣[]＝1．下列结论：
①f（1）＝0；②f（k+4）＝f（k）；③f（k+1）≥f（k）；④f（k）＝0或1．
正确的有 （填序号）．
15．【知识重现】我们知道，在ax＝N中，已知底数a，指数x，求幂N的运算叫做乘方运算．例如23＝8；已知幂N，指数x，求底数a的运算叫做开方运算，例如2；
【学习新知】
现定义：如果ax＝N（a＞0且a≠1），即a的x次方等于N（a＞0且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数（lgarithm），记作x＝lgaN．其中a叫做对数的底数，N叫做真数，x叫做以a为底N的对数．例如lg28＝3．零没有对数；在实数范围内，负数没有对数．
【应用新知】
（1）填空：在ax＝N，已知幂N，底数a（a＞0且a≠1），求指数x的运算叫做 运算；
（2）选择题：在式子lg5125中，真数是
A.3 B.5 C.10 D.125
（3）①计算以下各对数的值：lg39；lg327；lg3243．
②根据①中计算结果，请你直接写出lgaM，lgaN，lga（MN）之间的关系．（其中a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）
16．新定义：对非负数“四舍五入”到个位的值记为[x]，即当n为非负整数时，若，则[x]＝n如：[0]＝[0.48]＝0，[0.64]＝[1.493]＝1，[2]＝2，[3.5]＝[4.12]＝4
试解决下列问题
（1）填空：①[π]＝ ②若[x]＝3，则实数x的取值范围为 ；
（2）在关于x，y的方程组中，若未知数x，y满足，求[m]的值．
（3）当[2x﹣1]＝4时，若y＝4x﹣9，求y的最小值．
（4）求满足的所有非负实数x的值，请直接写出答案 ．
17．有一种用“☆”定义的新运算：对于任意实数a，b都有a☆b＝b2+a．例如7☆4＝42+7＝23．
（1）已知m☆2的结果是6，则m的值是多少？
（2）将两个实数n和n+2用这种新定义“☆”加以运算，结果为4，则n的值是多少？
18．新定义：对非负数x“四舍五入“到个位的值记为＜x＞，
即当n为非负数时，若nx＜n，则＜x＞＝n．
例如＜0＞＝＜0.49＞＝0，＜0.5＞＝＜1.49＞＝1，＜2＞＝2，＜3.5＞＝＜4.23＞＝4，…
试回答下列问题：
（1）填空：①＜9.6＞＝ ；
②如果＜x＞＝2，实数x的取值范围是 ．
（2）若关于x的不等式组的整数解恰有4个，求＜m＞的值；
（3）求满足x＞＝x的所有非负实数x的值．