人教版八年级上册数学期末复习：易错解答题练习题汇编（含答案解析）

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(1)求证：平分；
(2)若，求旋转角的度数．
2．为有效解决雨季城市内涝问题，某市决定对部分老街道的地下管网进行改造．在改造一段长米街道地下管网时，由于采用新的施工方式，每天的施工效率比原计划提高了，按这样的进度可比原计划提前5天完成任务．求实际施工时每天改造管网的长度与实际施工天数．
3． 如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB且交BC于点E，交AD于点F，连接AE、BF交于点M，连接CF、DE交于点N，连接MN．试探讨MN与AD的大小关系和位置关系，并加以证明．
4．如图，在△ABC中，于点与交于点．

(1)求的度数；
(2)若平分平分，试说明．
5．某学校需购进一批电脑和电子白板，经市场调查，购买1台电脑和2台电子白板需要万元，购买2台电脑和1台电子白板需要万元．
(1)求每台电脑、每台电子白板各多少万元；
(2)根据学校实际，需要购进电脑和电子白板共台，如果总费用不超过万元，那么该学校至少需要购进电脑多少台？
6．年月日上午点分，神舟十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空，某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进，两款文化衫，每件款文化衫比每件款文化衫多元，用元购进款和用元购进款的文化衫的数量相同．求款文化衫和款文化衫每件各多少元？
7．如图所示，在中，点D、E分别为的中点，点H在线段上，连接，点G、F分别为的中点．

(1)求证：四边形为平行四边形
(2)，求线段的长度．
8．如图，在△ABC中，，点在延长线上，且，将△ABC延方向平移，使点移动到点，点移动到点，点移动到点，得到，连接，过点作于．

(1)依题意补全图形；
(2)求证：；
(3)连接，用等式表示线段，的数量关系，并证明．
9．某公司在工程招标时，收到甲、乙两个工程队的投标书，该公司根据投标书提出三种方案：①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；②乙队单独完成这项工程，要比规定工期多用5天；③甲、乙两队合作4天，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工．
(1)求规定的工期为多少天？
(2)甲工程队每天需支付1.5万，乙工程队每天需支付1万，在保证工程如期完工的前提下，哪种方案施工费用最少？
10．如图1，在中，，，点和点是边上两点，连接，得到是一个等边三角形．
(1)求证：；
(2)将等边△ADE绕点旋转至如图2所示的位置，点仍然在边上，点落在边外，连接，求证：；
(3)在（2）的条件下，若，，求的长度．
11．油电混合动力汽车既可以用油做动力行驶，也可以用电做动力行驶．某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油做动力行驶，则费用为50元；若完全用电做动力行驶，则费用为8元，已知汽车行驶中每千米用油费比用电费多0.42元．
(1)求汽车行驶中每千米用电费用是多少元？
(2)若该汽车从甲地到乙地先用电行驶，再用油行驶，要使行驶总费用不超过29元，求至少用电行驶多少千米？
12．如图，是△ABC的角平分线，交的延长线于点．是上一点，，作交的延长线于点，交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
13．如图，在中，，，是的角平分线， 于点．是线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交延长线于点，延长至点，使，连接．
(1)若，求的长；
(2)猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想；
(3)在点运动过程中，与之间的数量关系是否会发生变化？若不变化，写出它们之间的数量关系并证明；若变化，请说明理由．
14．如图，已知，点是AB上一点，交于点，且．
(1)求证：；
(2)若，，求BD的长．
15．习总书记在党的第二十次全国代表大会上，报告指出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”，某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车进价是每辆型汽车进价的倍，现公司用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进B型汽车的数量少20辆．
(1)求每辆A、B型汽车进价各是多少万元？
(2)A型汽车利润率为，型汽车利润率为，那么该公司出售完此批汽车后总利润是多少元？
16．在中，，利用直尺和圆规作图．
(1)作出边上的中线；（不写做法，保留作图痕迹）
(2)作出的角平分线；（不写做法，保留作图痕迹）
(3)在（2）的条件下，若，求的度数．
17．如图，正方形和正方形平放在一起（A、B、E三点在同一条直线上）．
(1)若两个正方形的面积分别是16和9，直接写出边的长为______．
(2)①设正方形的边长为，正方形的边长为，求图中阴影部分的面积．（用含和的代数式表示）
②在①的条件下，如果，，求阴影部分的面积．
18．如图，△ABC是边长为的等边三角形，点分别从顶点同时出发，点沿射线运动，点沿折线运动，且它们的速度都为，当点到达点时，点随之停止运动，连接，设点的运动时间为．
(1)当点在线段上运动时，的长为______（cm），的长为______（cm）（用含的式子表示）．
(2)当与△ABC的一条边垂直时，求的值．
(3)当点从点运动到点的过程中，连接，直接写出中点经过的路径长．
19．如图，在四边形中，，为的中点，连结，，延长交的延长线于点.
（1）求证：；
（2）若，求证：.
20．当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，例如，由图1，可得等式：．

(1)由图2，可得等式：______．
(2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值．
21．某商场计划购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多元，已知用元购进的足球和用元购进的篮球数量相等．
(1)篮球和足球的单价各是多少元？
(2)若篮球售价为每个元，足球售价为每个元，商场售出足球的数量比篮球数量的三分之一还多个，且获利超过元，问篮球最少要卖多少个？
22．（1）如图①，等腰直角三角形中，，，点A，B分别在坐标轴上，若点C的横坐标为2，直接写出点B的坐标________．
（2）如图②，若点A的坐标为，点B在y轴的正半轴上运动时，分别以为边在第一、第二象限作等腰直角三角形，等腰直角三角形，连接交y轴于点P，当点B在y轴的正半轴上移动时，的长度是否发生改变？若不变，求出的值；若变化，求的取值范围．

23．为推动乡村振兴，政府大力扶持小型企业．根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了，设更新设备前每天生产x件产品．解答下列问题：
(1)更新设备后每天生产_______件产品（用含x的式子表示）；
(2)更新设备前生产5000件产品比更新设备后生产6000件产品多用2天，求更新设备后每天生产多少件产品．
24．【尝试计算】
（1）计算：
①；
②；
【阅读思考】
（2）我们知道，利用整式的乖运算，有时可以将几个整式的乘积转化为一个多项式的形式，而因式分解则是把一个多项式转化成几个整式的乘积的形式，所以因式分解与整式乘法是方向相反的两个变形．利用这一关系，请结合（1）中的计算过程，尝试写出因式分解的两个公式；
【启发应用】
（3）利用（2）中的两个公式把下列各式分解因式：
①；
②．
25．在等边△ABC中，点D是直线BC上的一个点（不与点B、C重合），以AD为边在AD右侧作等边△ADE，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：BD＝CE；
（2）如图2，当点D在线段BC的反向延长线上时，若∠BAE＝α，求∠DEC的度数；（用含α的代数式表示）
（3）如图3，当点D在线段BC的延长线上时，若BD⊥DE，且S△ABC＝4，求△ACF的面积．
26．如图，中，，点D为中点，，绕点D旋转，使与边AB交于E（不与A，B重合），与边交于点F．

(1)求证：；
(2)若，求四边形的面积．
27．如图，在中，点，分别在，上，，分别交，于点，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)已知，连接，若平分，求的长．
28．为增强学生体质，很多学校决定在课后看护中增加乒乓球项目．体育用品商店得知后，第一次用600元购进乒乓球若干盒，第二次又用600元购进该款乒乓球，但这次每盒的进价比第一次的进价高，购进数量比第一次少了30盒．
(1)求第一次每盒乒乓球的进价是多少元？
(2)若要求这两次购进的乒乓球按同一价格全部销售完后获利不低于420元，求每盒乒乓球的售价至少是多少元？
29．阅读下列材料：
因式分解的常用方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．过程如下：
．这种因式分解的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：
(1)因式分解：；
(2)△ABC三边，，满足，判断△ABC的形状并说明理由．
附答案及解析
1．(1)见解析
(2)
分析：本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
（1）根据旋转的性质可得：，，然后利用等边对等角可得，从而可得，即可解答；
（2）设与交于点，根据旋转的性质可得：，，，再根据垂直定义可得，从而可得，然后利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再根据三角形的外角性质可得，从而可得，最后进行计算即可解答．
详解：（1）证明：如图：
由旋转得：，，
，
，
平分；
（2）解：如图，设与交于点，
由旋转得：，，，
，
，
，
，
，
是的一个外角，
，
，
解得：，
旋转角的度数为．
2．实际施工时每天改造管网的长度米，实际施工天
分析：本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
设原计划每天改造管网米，则实际施工时每天改造管网米，利用工作时间工作总量工作效率，结合实际比原计划提前5天完成任务，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出原计划每天改造管网的长度，再分别将其代入及中，即可求出结论．
详解：解：设原计划每天改造管网米，则实际施工时每天改造管网米，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
，．
答：实际施工时每天改造管网的长度米，实际施工天．
3．MN=AD，MN∥AD，证明详见解析
分析：可分别证明四边形ABEF，ECDF均为平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，可得MN为△AED的中位线．
详解：解：MN=AD，MN∥AD；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵EF∥AB，∴EF∥CD
∴四边形ABEF、四边形EFDC均是平行四边形，
∴AM=EM，FN=CN，
∴MN是△AED的中位线，
∴MN=AD，MN∥AD.
总结：本题主要考查平行四边形的判定和性质以及中位线定理．三角形的中位线的性质定理，为证明线段相等和平行提供了依据．
4．(1)
(2)见解析
分析：（1）利用三角形的内角和定理求解，再结合垂直的定义，三角形的内角和定理可得答案；
（2）求解．，可得，从而可得结论．
详解：（1）解： ，，
，
．
，
，
．
．
（2）平分，
，
．
平分，
．
，
．
．
总结：本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的角平分线的含义，平行线的判定，熟记三角形的内角和定理并灵活应用是解本题的关键．
5．(1)每台电脑万元，每台电子白板万元；
(2)台；
分析：（1）设每台电脑x万元，每台电子白板y万元，根据题意列方程组列式求解即可得到答案；
（2）设购电脑z台，根据题意列不等式求解即可得到答案；
详解：（1）解：设每台电脑x万元，每台电子白板y万元，
，解得，
答：每台电脑万元，每台电子白板万元；
（2）解：设购电脑z台，由题意可得，
，
解得：，
∵z为整数，
∴z最小值为，
答：至少购买电脑台；
总结：本题考查二元一次方程组解决应用题及不等式解决应用题，解题的关键是根据题意找到等量关系式．
6．款文化衫每件元，款文化衫每件元
分析：本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程．
设款文化衫每件元，则款文化衫每件元，利用数量总价单价，结合用元购进款文化衫和用元购进款文化衫的数量相同，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可求出款文化衫的单价，再将其代入中，即可求出款文化衫的单价．
详解：解：设款文化衫每件元，则款文化衫每件元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：款文化衫每件元，款文化衫每件元．
7．(1)见解析
(2)
分析：（1）由三角形中位线定理得到，，得到，即可证明四边形为平行四边形；
（2）由四边形为平行四边形得到，由得到，由勾股定理即可得到线段的长度．
详解：（1）解：∵点D、E分别为的中点，
∴，
∵点G、F分别为、的中点．
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形；
（2）∵四边形为平行四边形，
∴，
∵
∴，
∵，
∴．
总结：此题考查了中位线定理、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，证明四边形为平行四边形和利用勾股定理计算是解题的关键．
8．(1)见详解
(2)见详解
(3)，理由见详解
分析：（1）按要求作图即可；
（2）根据平移的性质可求，再求，即可得证；
（3）连接、，可证，从而可得，，再证，从而可得，，从而可证，即可得证．
详解：（1）解：如图

（2）证明：由平移得：
，，
，
，
，
，
，
，
．
（3）解：．
理由：如图，连接、，
，
，
在和中
，
()，
，；
，
，
；
由平移得：；
在和中
，
()，
，，
，
，
，
，
．
总结：本题考查了平移的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，掌握相关的判定方法及性质，并会根据题意作出辅助线是解题的关键．
9．(1)20天
(2)方案③施工费用最少
分析：本题考查分式方程的应用、有理数的四则混合运算的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．
（1）设这项工程为单位1，规定的工期为x天，根据题意列出方程求解即可；
（2）先求得方案①③所需费用，再比较可得结论．
详解：（1）解：设这项工程为单位1，规定的工期为x天，
根据题意，得，
解得，
经检验，是所列方程的解，
答：规定的工期为20天；
（2）解：由题意和（1）知，甲队单独完成这项工程需20天，乙队单独完成这项工程需25天，故①③方案能够保证工程如期完工，
方案①所需施工费用为（万元），
方案③所需施工费用为（万元），
∵，
∴方案③的施工费用最少．
10．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
分析：（1）先证明，进而根据证明；
（2）以为边作等边三角形，连接，则，证明，得出，进而证明，即可得证；
（3）过点作于点，延长交于点，证明是等腰直角三角形，得出，，进而根据含度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，根据，得出，即可求解．
详解：（1）证明：∵，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）证明：如图所示，以为边作等边三角形，连接，则，
∵，，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，即，
在中，
∴
∴
∴
在中，
∴
∴．
（3）解：如图所示，过点作于点，延长交于点，
∵
∴
∵，
∴
又∵
∴
∴
∴，则是等腰直角三角形，
∴，，
在中，，，
∴，，，
∴，
在中，，，
∴，
∵，
∴．
总结：本题考查了全等三角形的性质与判判定，等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的性质与判定，勾股定理，含度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
11．(1)汽车行驶中每千米用电费用是0.08元
(2)至少需要用电行驶50千米
分析：本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出分式方程和不等式是解此题的关键．
（1）设汽车行驶中每千米用电费用是元，则每千米用油费用为元，根据题意列出分式方程，解方程即可得出答案；
（2）设汽车用电行驶，根据“行驶总费用不超过29元”列出不等式，解不等式即可得出答案．
详解：（1）解：设汽车行驶中每千米用电费用是元，则每千米用油费用为元，
根据题意，得，
解得：，
经检验是原方程的解，
答：汽车行驶中每千米用电费用是元；
（2）解：由（1）得：甲、乙两地的距离是千米，
汽车行驶中每千米用油费用为元，
设汽车用电行驶，
根据题意，得：，
解得：，
所以至少需要用电行驶50千米．
12．(1)见解析
(2)
分析：（1）由角平分线的定义得，由平行线的性质得，，等量代换可证结论成立；
（2）由等角对等边得，根据证明得，进而可求出的长．
详解：（1）是的角平分线，
．
，
，
；
（2），
．
，
．
，
．
在和中，
，
，
，
．
总结：本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，以及全等三角形的判定与性质，证明是解答本题的关键．
13．(1)6
(2)，证明见解析
(3)不变化，，证明见解析
分析：（1）由题意得，则 ，，由，可求，进而可求的长；
（2）证明，进而可得；
（3）由题意知，，，证明是等边三角形，则，，由，可得，则，证明，则．
详解：（1）解：∵，，是的角平分线，，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，，
∴，
∴的长为6；
（2）解：，证明如下；
∵，
∴，
∴；
（3）解：不变化，，证明如下；
由题意知，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
总结：本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，含的直角三角形，等边三角形的判定与性质等知识．熟练掌握角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，含的直角三角形，等边三角形的判定与性质是解题的关键．
14．(1)见解析
(2)
分析：本题主要考查全等三角形的性质与判定；
（1）由题意易得，然后问题可求证；
（2）由（1）可得，然后问题可求解．
详解：（1）证明：∵CFAB，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴．
15．(1)每辆型汽车进价是万元，每辆型汽车进价是万元；
(2)该公司出售完此批汽车后总利润是万元．
分析：本题考查了分式方程的应用，有理数的混合运算的应用；
（1）设每辆B型汽车进价是万元，则每辆型汽车进价是万元，利用数量总价单价，结合用万元购进型汽车的数量比万元购进型汽车的数量少辆，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；
（2）根据题意列出算式，求出两种汽车利润之和即可．
详解：（1）解：设每辆型汽车进价是万元，则每辆型汽车进价是万元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
∴，
答：每辆型汽车进价是10万元，则每辆型汽车进价是15万元；
（2）(万元)，
答：该公司出售完此批汽车后总利润是万元．
16．(1)见解析
(2)见解析
(3)
分析：本题考查复杂作图、角平分线的定义，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解为简单作图是关键．
（1）作的垂直平分线，交于，连接即可；
（2）利用基本作图法作出角平分线即可；
（3）根据角平分线的定义得到，再由三角形的外角定理即可求出．
详解：（1）如图，线段即为所求，
（2）如图，线段即为所求作的线段，
（3）平分，
，
．
17．(1)7
(2)①；②14
分析：本题考查了正方形的性质，割补法求不规则图形面积，整式混合运算；
（1）分别由正方形的面积直接可以求出边长，即可求解；
（2）①，②由①可得，即可求解；
掌握割补法，能根据已知等式化简整式的形式用整体代换的思想求解是解题的关键．
详解：（1）解：由题意得
，
，
；
故答案：．
（2）解：①
；
②由①知
，
当，时，
．
18．(1)；；
(2)或或；
(3)6cm．
分析：（1）结合题意“点沿射线运动，点沿折线运动，且它们的速度都为1”，即可获得答案；
（2）分三种情形讨论：当时，当时和当时，分别求解即可；
（3）设与交于点，过点作，交于点，证明，由全等三角形的性质可得，即与中点重合，易知中点的运动轨迹在边上，且点经过的路径长为边的一半，即可获得答案．
详解：（1）解：根据题意，当点在线段上运动时，
，．
故答案为：；；
（2）解：∵是边长为的等边三角形，
，，
如图1中，当时，
图1
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得；
如图2中，当时，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得；
如图3中，当时，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得．
综上所述，或或；
（3）解：根据题意，当点从点运动到点的过程中，
，
如下图，设与交于点，过点作，交于点，
则，，，
∴为等边三角形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即与中点重合，
∴中点的运动轨迹在边上，
当与点重合时，与点重合，此时中点位于中点，
当与点重合时，此时，
∴，
∴，即此时中点与点重合，
∴中点经过的路径长．
总结：本题主要考查了等边三角形的判定与性质、列代数式、一元一次方程的应用、含30度角的直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，理解题意，运用分类讨论的思想思考问题是解题关键．
19．（1）详见解析；（2）详见解析.
分析：(1) 可得两组角想等, 由点为的中点得出ED=EC,从而可证全等.
(2)利用三线合一的性质可以得出AB=BF,将BF分成BC和CF, 再根据(1)中全等所得条件CD=CF即可转换成所证.
详解：(1)解：∵
∴，
∵点为的中点
∴
∴
（2）由（1）可得，
∵
∴
∵，
∴
总结：本题考查三角形全等的性质与判定,关键在于掌握基础知识.
20．(1)；
(2)88．
分析：本题考查的是多项式的乘法与几何图形面积的关系，完全平方公式的几何意义以及灵活应用，熟练的利用面积法得到代数恒等式是解本题的关键．
（1）由图2的面积可表示为：或，再利用面积的不变性可得等式；
（2）把，代入，从而可得答案．
详解：（1）解：由图（2）的面积可表示为：或；
∴可得等式为：；
（2）解：∵，，，
∴，
∴．
21．(1)足球单价为元，篮球单价为元；
(2)获利超过元，篮球最少要卖个．
分析：（）利用分式方程即可求出篮球和足球的单价；
（）设购买篮球个，则购买足球个，根据题意列不等式即可；
本题考查了分式方程以及一元一次不等式的应用，解题的关键是弄清题意找准等量关系和不等量关系，正确列出方程和不等式．
详解：（1）解：设足球单价为元，则篮球单价为元，
由题意得：，
解得，
经检验：是原分式方程的解，
则，
答：足球单价为元，篮球单价为元；
（2）解：设购买篮球个，则购买足球个，
由题意得：，
解得，
∵为整数，
∴篮球最少要卖个，
答：获利超过元，篮球最少要卖个．
22．（1）；（2）的长度不发生改变，是定值为3．
分析：此题是三角形综合题，主要考查了勾股定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的证明是解本题的关键．
（1）作，易证，根据全等三角形对应边相等的性质即可解题；
（2）作轴，易证和，可得和，即可求得，即可解题．
详解：解：（1）如图1，作于D．

∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴B点坐标，
故答案为：；
（2）PB的长度不发生改变，是定值为3．
理由：如图2，作轴于G，则．

∵为等腰直角三角形，
∴，，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴，．
∵为等腰直角三角形，
∴，，
∴，．
又∵，
∴，
∴．
23．(1)
(2)125件
分析：（1）根据“更新设备后生产效率比更新前提高了”列代数式即可；
（2）根据题意列分式方程，解方程即可．
详解：（1）解：更新设备前每天生产x件产品，更新设备后生产效率比更新前提高了，
更新设备后每天生产产品数量为：（件），
故答案为：；
（2）解：由题意知：，
去分母，得，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
（件），
因此更新设备后每天生产125件产品．
总结：本题考查分式方程的实际应用，解题的关键是根据所给数量关系正确列出方程．
24．（1）①；②；（2）①，②；（3）①；②．
分析：本题考查了多项式乘以多项式的计算，因式分解以及规律性问题．
（1）①根据多项式乘以多项式的方法进行计算；
②根据多项式乘以多项式的方法进行计算；
（2）根据（1）中的计算结果求解即可；
（3）根据（2）中得到的公式求解即可．
详解：（1）①
；
②
；
（2）①，
②；
（3）①；
②．
25．（1）见解析；（2）∠DEC =60°＋α；（3）2
分析：（1）证明△BAD≌△CAE（SAS），可得结论．
（2）证明∠ECD＝60°，∠CDE＝∠CAE＝60°−α，可得结论．
（3）证明BC＝CD，AF＝DF，可得结论．
详解：（1）证明：如图1中，
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：如图2中，设AE交CD于O．
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠ABD＝180°−∠ABC＝120°，
∴∠ACE＝120°，
∴∠DCE＝∠ACE−∠ACB＝60°，
∵∠AOC＝∠DOE，∠ACO＝∠DEO＝60°，
∴∠EDC＝∠CAO＝60°−α，
∴∠DEC＝180°−∠EDC−∠ECD＝180°−（60°−α）−60°＝60°＋α；
（3）解：如图3中，
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴∠ACB＝∠B＝∠ADE＝60°，AC＝BC，
∵ED⊥BD，
∴∠EDB＝90°，
∴∠ADB＝90°−60°＝30°，
∴∠BAD＝180°−∠B−∠ADB＝90°，
∵∠ACB＝∠CAD＋∠CDA＝60°，
∴∠CDA＝∠CAD＝30°，
∴CA＝CD，
∴CB＝CD，
∴S△ACD＝S△ABC＝4，
∵EA＝ED，CA＝CD，
∴CE垂直平分线段AD，
∴AF＝DF，
∴S△ACF＝S△ACD＝2．
总结：本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，线段的垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
26．(1)见解析
(2)
分析：本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键.
（1）由“”可证，可得；
（2）由全等三角形的性质可得可得，由三角形的面积公式可求解.
详解：（1）证明: 中，，点为中点，
∴,，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；
（2）∵，

∴ ,
∵,
∴,
∴四边形的面积．
27．(1)证明见解析；
(2)．
分析：本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
（）由平行线四边形的性质可以得出，，再利用线段和差证明，即可得出结论；
（）由（）得：，，再由平行线的性质得，然后证，则可由求解．
详解：（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，即，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵平分，
∴，
由（）得：四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴．
28．(1)第一次每盒乒乓球的进价是4元；
(2)每盒乒乓球的售价至少是6元．
分析：（1）设第一次每盒乒乓球的进价是x元，根据“第二次购进数量比第一次少了30盒”列方程，求出x的值即可．
（2）设每盒乒乓球的售价为y元，根据“这两次购进的乒乓球按同一价格全部销售完后获利不低于420元”列不等式，求出y的范围即可．
详解：（1）设第一次每盒乒乓球的进价是x元，
由题意得，
解得，
经检验是原分式方程的解，且符合题意 ．
答：第一次每盒乒乓球的进价是4元；
（2）设每盒乒乓球的售价为y元，第一次每盒乒乓球的进价为4元，
则第二次每盒乒乓球的进价为（元）．
由题意得，
解得．
答：每盒乒乓球的售价至少是6元．
总结：本题主要考查了列分式方程解应用题，和列一元一次不等式解应用题，解题的关键是找等量关系和不等量关系，正确的列出方程和不等式．
29．(1)
(2)是等边三角形，理由见解析
分析：（1）先把前三项利用完全平方公式得到，再利用平方差公式即可分解；
（2）先将等式变形为，进而求出，且，，即可得到是等边三角形．
详解：（1）解：；
（2）解：是等边三角形，
理由：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，且，
∴，且，
∴，
∴是等边三角形．
总结：本题考查了因式分解，等边三角形的定义等知识，理解题意中的“分组分解”，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题关键．