2023-2024学年安徽省马鞍山中加双语学校高二（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年安徽省马鞍山中加双语学校高二（上）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A1=“第一枚硬币正面朝上”，事件A2=“第二枚硬币反面朝上”，则下列结论中正确的为( )
A. A1与A2互为对立事件B. A1与A2互斥
C. A1与A2相等D. P(A1)=P(A2)
2.过点(−2,1)的直线中，被圆x2+y2−2x+4y=0截得的弦最长的直线的方程是( )
A. x+y+1=0B. x+y−1=0C. x−y+1=0D. x−y−1=0
3.已知椭圆C1：x2a12+y2b12=1(a1>b1>0)与双曲线C2：x2a22−y2b22=1(a2>0,b2>0)有相同的焦点F1、F2，椭圆C1的离心率为e1，双曲线C2的离心率为e2，点P为椭圆C1与双曲线C2的交点，且∠F1PF2=π3，则当1e1+ 3e2取最大值时e1+e2的值为( )
A. 3B. 4 33C. 2 2D. 2+ 62
4.命题“∀x>1，x2−2>0”的否定是( )
A. ∀x>1，x2−2≤0B. ∀x0
C. ∃x≤1，x2−2≤0D. ∃x>1，x2−2≤0
5.执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是( )
A. 45
B. 56
C. 67
D. 78
6.已知向量a=(1,1,k)，b=(−1,0,−1)，c=(0,2,1)，且向量a−2b与c互相垂直，则k的值是( )
A. 1B. −2C. −3D. −4
7.直线x−y+1=0被椭圆x23+y2=1所截得的弦长|AB|等于( )
A. 3 22B. 2C. 2 2D. 3 2
8.在xOy平面上有一系列点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，⋯，Pn(xn,yn)，⋯，对每个正整数n，点Pn位于函数y=x2(x≥0)的图象上，以点Pn为圆心的⊙Pn与x轴都相切，且⊙Pn与⊙Pn+1彼此外切．若x1=1，且xn+10” “二元一次不等式x+ay−1≥0表示直线x+ay−1=0的右上方区域(包含边界)” 真
17.解：(1)设F(c,0)，因为直线AF的斜率为2 33，A(0,−2)
所以2c=2 33，c= 3．
又ca= 32,b2=a2−c2，解得a=2，b=1，
所以椭圆E的方程为x24+y2=1．
(2)当l⊥x轴时，不合题意，由题意可设直线l的方程为：y=kx−2，P(x1,y1)，Q(x2,y2)
联立x24+y2=1,y=kx−2,消去y得(1+4k2)x2−16kx+12=0，
当△=16(4k2−3)>0，所以k2>34，即k 32时x1+x2=16k1+4k2 , x1x2=121+4k2．
所以|PQ|= 1+k2 (x1+x2)2−4x1x2= 1+k2 (16k1+4k2)2−481+4k2=4 1+k2 4k2−31+4k2，
点O到直线l的距离d=2 k2+1，
所以S△OPQ=12d|PQ|=4 4k2−31+4k2，
设 4k2−3=t>0，则4k2=t2+3，S△OPQ=4tt2+4=45，解得t=1或t=4，即k=±1, ± 192，
所以存在这样的直线l：y=± 192x−2或y=±x−2．
18.(Ⅰ)证明：∵矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直，AD⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF=AB，AD⊂平面ABCD，
∴AD⊥平面ABEF，
∵AG⊂平面ABEF，∴AD⊥AG，
∵菱形ABEF中，∠ABE=60°，则△ABE为等边三角形，G为BE的中点．
∴AG⊥BE，又AF/​/BE，得AG⊥AF．
∵AD∩AF=A，AD⊂平面ADF,AF⊂平面ADF，
∴AG⊥平面ADF；
(Ⅱ)解：由(Ⅰ)可知AD，AF，AG两两垂直，
如图所示以A为坐标原点，AG为x轴，AF为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系，
设AB= 3BC= 3，则BC=1,AG=32，
故A(0,0,0)，C(32,− 32,1)，D(0,0,1)，G(32,0,0)，
则AC=(32,− 32,1)，AD=(0,0,1)，AG=(32,0,0)，
设平面ACD的一个法向量为n1=(x1,y1,z1)，
由n1⋅AC=32x1− 32y1+z1=0n1⋅AD=z1=0，取y1= 3，得n1=(1, 3,0)，
设平面ACG的法向量n2=(x2,y2,z2)，
由n2⋅AC=32x2− 32y2+z2=0n2⋅AG=32x2=0，取y2=2，得n2=(0,2, 3)，
设二面角D−CA−G的平面角为θ，由图可知θ为钝角，
则csθ=−n1⋅n2|n1|⋅|n2|=2 32× 7=− 217，
∴二面角D−CA−G的余弦值为− 217．
19.解：(1)由题意可知：0.005+b=2×0.025(0.005+0.025+b+a+0.005)×10=1，
解得a=0.020，b=0.045；
(2)因为高分的频率约为(a2+0.005)×10=(0.0202+0.005)×10=0.15，
所以估算高分(大于等于80分)人数为600×0.15=90；
(3)估计这600名学生化学成绩的平均值等于50×0.005×10+60×0.025×10+70×0.045×10+80×0.02×10+90×0.005×10=69.5，
设中位数为x0，则0.005×10+0.025×10+0.045×(x0−65)=0.5，解得x0≈69.4，
故估计这600名学生化学成绩的中位数为69.4．
20.解：(1)事件A“选派的三人中恰有2人会法语的概率为P(A)=C52C21C73=47；
(2)ξ的取值为0、1、2、3，
则P(ξ=0)=C43C73=435，P(ξ=1)=C42C31C73=1835，P(ξ=2)=C41C32C73=1235，P(ξ=3)=C33C73=135；
分布列为：
Eξ=0×435+1×1835+2×1235+3×135=4535=97．
21.解：(1)根据题意，设等差数列{an}的公差为d，
又由S4=0，则4(a1+a4)2=0，则有a1+a4=0，即2a1+3d=0，
又由a1=−3，则d=2，
故an=a1+(n−1)d=2n−5；
(2)根据题意，由(1)的结论，an=2n−5，
则Sn=(a1+an)×n2=(−3+2n−5)×n2=n2−4n，
又由Sn=n2−4n=(n−2)2−4，故当n=2时，Sn取得最小值−4． ξ
0
1
2
3
P
435
1835
1235
135