湖北省荆州市荆州中学2024-2025学年高一上学期12月初测试数学试题(Word版附解析)
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一、单选题
1. 已知集合,下列选项中均为的元素的是( )
(1) (2) (3) (4)0
A. (1)(2)B. (1)(3)C. (2)(3)D. (3)(4)
【答案】D
【解析】
【分析】根据元素和集合的关系即可求解.
【详解】由于,故和0是中元素.
故选:D
2. 若关于x的不等式的解集为,则关于x的不等式的解集为( )
A. 或x>1B.
C. 或x>2D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意得到,故原不等式等价于,求解即可.
【详解】因为不等式的解集为,所以,
所以不等式等价于,
即,解得或.
所以关于x的不等式的解集为或x>2.
故选:C
3. 下列函数中,不能用二分法求零点的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用二分法定义,在零点两侧附近函数值异号进行逐一判定.
【详解】对于A,函数在上单调递增,有唯一零点,
函数值在零点两侧异号,所以可用二分法求零点,故A错误;
对于B,函数,
函数有唯一零点,且函数值在零点两侧同号,
所以不能用二分法求零点,故B正确;
对于C,当时,,
当且仅当时,等号成立,无零点;
当时,,当且仅当时,等号成立,
在上单调递减,在上单调递增,
当时,,
即此时有两个零点,且函数值在零点两侧异号,所以可用二分法求零点,故C错误;
对于D,函数在上单调递增,有唯一零点,
函数值在零点两侧异号,所以可用二分法求零点,故D错误.
故选:B.
4. 若函数的部分图象如图所示,则的解析式可能为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性可排除A,根据可排除B,根据函数图象的“直曲”排除C.
【详解】由图可知:为偶函数,且,
对于A,,为奇函数,不符合,舍去,
对于B,,不符合,舍去,
对于C,,为偶函数,且,
与图象不符,故C错误;
对于D,,为偶函数,且,满足图象特点,故D正确.
故选:D
5. 已知,则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据函数的奇偶性得出不等式,再结合单调性列不等式,最后解绝对值不等式即可.
【详解】由题意知函数定义域为,关于原点对称,
因为,所以为偶函数,
因为,所以,
当,单调递增,
所以,所以或,解得或.
所以不等式的解集是.
故选:A.
6. 已知,,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用对数与指数的互化求出,再利用对数的运算法则求解即可.
【详解】因为,,所以,,
所以,
所以,
故选:A
7. “学如逆水行舟,不进则退:心似平原跑马,易放难收”(明:《增广贤文》)是勉励人们专心学习的.假设初始值为1,如果每天的“进步率”都是,那么一年后是;如果每天的“退步率”都是,那么一年后是一年后“进步者”是“退步者”的倍.照此计算,大约经过( )天“进步者”是“退步者”的2倍(参考数据:,,)
A. 35B. 37C. 38D. 39
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意列出不等式,利用指数和对数的运算性质求解即可.
【详解】假设经过天,“进步者”是“退步者”的2倍,
列方程得,
解得,
即经过约35天,“进步者”是“退步者”的2倍.
故选:A.
8. 若是奇函数,则a和b的值分别为( )
A. ,B. ,C. ,D. ,
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数定义域及奇偶性的性质求解即可.
【详解】函数的定义域需满足,即,
又函数为奇函数,其定义域关于坐标原点对称,
即,解得,
所以,定义域为,
所以,即,
经检验,,满足题意.
故选:B.
二、多选题
9. (多选)下列说法正确的是( )
A. 已知方程的解在内,则
B. 函数的零点是
C. 函数的图象关于对称
D. 用二分法求方程在内的近似解的过程中得到,则方程的根落在区间上
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据函数,利用零点存在性定理判断A;利用零点的定义判断B;利用指数对数函数图象关系判断C;利用二分法求出近似解的方法判断D.
【详解】对于A,令,函数在R上递增,,
因此函数的零点,即方程的解在内,A正确;
对于B,函数的零点是,B错误;
对于C,函数互为反函数,它们的图象关于对称,C正确;
对于D,函数在R上递增,由,
得函数的零点在区间上,D正确.
故选:ACD
10. 已知奇函数与偶函数满足:(其中e为自然对数的底数),则下列结论中正确的是( )
A.
B.
C
D. 当,时,恒有成立
【答案】BCD
【解析】
【分析】由得,利用函数为奇函数,为偶函数,求出和,经过验证可知A不正确;B、C正确;当,时,将不等式化为,(),构造函数,利用导数可证不等式,()恒成立.
【详解】因为为奇函数,所以,
因为为偶函数,所以,
由得,则,
解得,.
对于选项A,
,故A不正确;
对于选项B,,故B正确;
对于选项C,,故C正确;
对于选项D:等价于,(),等价于,(),
又∵,∴,
∴只需要,即可,
令,
则,令,
则,因为,所以,
所以在上为增函数,
所以,即,
所以在上为增函数,所以,
所以,,
所以当,时,恒有成立,故D正确.
故选:BCD
【点睛】关键点点睛:构造等式,利用函数的奇偶性求出和的解析式是解题关键.
11. 已知函数,则下列说法正确的是( )
A. 的对称中心为
B. 的值域为
C. 在区间上单调递增
D. 的值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】选项A,利用函数的对称性定义验证即可;选项B,计算值域即可;选项C,根据函数的单调性判断即可;选项D,找到,计算即可.
【详解】由题可知,
对于A,因为,
所以,
所以的对称中心为−1,1,故A正确;
对于B,因为,显然,
所以的值域为,故B错误;
对于C,当时,单调递减,所以单调递增,
所以单调递增,故C正确;
对于D,,所以,
所以
,故D正确.
故选:ACD.
三、填空题
12. 用二分法求函数在区间上的零点,若要求精确度为0.001,则至少进行______次二分.
【答案】11
【解析】
【分析】二分法每一次操作都会让区间缩小一半长度,按此规律求解.
【详解】根据题意,原来区间的长度等于2,
每经过一次二分法操作,区间长度变为原来的一半,
则经过次操作后,区间长度为,
令,又,解得.
故答案为:11.
13. 已知函数是上的增函数,则实数的取值范围是_____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据分段函数定义,利用一次函数和指数函数单调性,限定端点处的取值列出不等式组即可解出的取值范围.
【详解】函数是上的增函数,
所以,
解得.
故答案为:
14. 定义为,的最大值,函数的最小值为.函数,如果函数有三个零点,则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意画出函数的图象可得的值,再将函数的零点个数转化为两个函数图象的交点个数,根据单调性和图象可得范围.
【详解】由题意,在同一坐标系下画出,的图象,
由图可知,fx=−x,x≤02x−1,x>0,所以,
则,
由函数有三个零点得方程有三个解,
所以函数y=gx和函数图象有三个交点,
作出的图象如图所示:
当时,在上单调递减,在−1,0上单调递增,
所以时,有最小值,且,
当时,在0,+∞上单调递增,
因此当时,函数y=gx和函数图象有三个交点.
故答案为:.
四、解答题
15. (1)若关于x的不等式的解集是,求不等式的解集;
(2)已知两个正实数x,满足,并且恒成立,求实数a的取值范围.
【答案】(1)或(2)
【解析】
【分析】(1)根据不等式的解集以及韦达定理即可求得,再解不等式即可.
(2)利用基本不等式求的最小值,再解不等式即可.
【详解】(1)不等式的解集是,
,是方程的两个根,
由韦达定理得:,,
即,
解不等式可得:或,
故的解集为或
(2)恒成立,,
,
当且仅当,即时等号成立,
解得,
则实数a的范围是:.
16. 求下列函数的值域:
(1);
(2)
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)根据二次函数的性质可得,即可根据对数函数的单调性求解,
(2)根据对数的运算性质可得,即可利用换元法,结合二次函数的性质求解.
【小问1详解】
由于的定义域满足,故,
进而可得,,
故
【小问2详解】
,
由于,令,则,
故,
故当时,取得最小值,
当时,取得最大值,
故值域为.
17. 近来,国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”,以满足不同层次的多元消费,并拉动就业、带动创业,进而提升区域经济发展活力,某夜市的一位工艺品售卖者,通过对每天销售情况的调查发现:该工艺品在过去的一个月内(以30天计),每件的销售价格(单位:元)与时间(单位:天)的函数关系近似满足.且销售量(单位:件)与时间(单位:天)的部分数据如下表所示
(1)给出以下四个函数模型:①;②;③;④.请你根据上表中的数据,从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系,并求出该函数的解析式及定义域
(2)设该工艺品的日销售收入为(单位:元),求的最小值.
【答案】(1)选择模型②,
(2)441元.
【解析】
【分析】(1)根据表格中数据的增减性,结合函数的单调性,可得答案;
(2)根据分段函数的性质,结合基本不等式,可得答案.
【小问1详解】
由表格数据知,当时间变换时,先增后减,而①③④都是单调函数
所以选择模型②,
由,可得,解得
由,解得
所以日销售量与时间的变化的关系式为.
【小问2详解】
由(1)知:
所以
即
当时,
由基本不等式,可得,
当且仅当时,即时等号成立,
当时,减函数,
所以函数的最小值为,
综上,当时,函数取得最小值441元.
18. 已知函数.
(1)判断并证明的奇偶性;
(2)求函数在区间上的最小值和最大值.
【答案】(1)为奇函数,证明见详解
(2),
【解析】
【分析】(1)利用函数奇偶性的定义证明即可;
(2)设,可知函数为增函数,由,可得出,且有,将问题转化为二次函数在上的最值问题,利用二次函数的基本性质求解即可.
【小问1详解】
函数的定义域为R,关于原点对称,
,
因此,函数为奇函数.
【小问2详解】
设,由于函数为增函数,函数为减函数,
所以函数为增函数,当时,则,
且,则,
令,.
所以,,.
19. 已知函数(,)
(1)求的定义域;
(2)判断的奇偶性并给予证明;
(3)求关于的不等式的解集.
【答案】(1)
(2)奇函数,证明见解析
(3)时,解集为;时,解集为
【解析】
【分析】(1)根据对数的真数大于0求解即可;
(2)根据奇偶性的定义即可判断;
(3)分类讨论,时的单调性,列不等式组即可.
【小问1详解】
根据题意,函数,
所以1+3x>01−3x>0,解可得,
所以函数的定义域为;
【小问2详解】
由(1)得函数的定义域为,关于原点对称,
因为函数,
所以,
所以函数为奇函数;
【小问3详解】
根据题意,,即,
当时,有1+3x>01−3x>01+3x01−3x>01+3x>1−3x,解得,此时不等式的解集为.
所以当时,不等式的解集为;当时,不等式的解集为.
10
15
20
25
30
50
55
60
55
50