2023-2024学年江苏省南通市启东市八年级上学期期末数学试题及答案

这是一份2023-2024学年江苏省南通市启东市八年级上学期期末数学试题及答案，共23页。
1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置．
3．答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效．
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题纸上．
1. 下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（）
A. 3，4，8B. 8，7，15
C. 5，5，11D. 13，12，20
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了三角形三边之间的关系，根据两边之和大于第三边判断即可．
【详解】∵，与两边之和大于第三边矛盾，
∴A不符合题意；
∵，不能构成三角形，
∴B不符合题意；
∵，不能构成三角形，
∴C不符合题意；
∵，能构成三角形，
∴D符合题意；
故选D．
2. 下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”，“芒种”，“白露”，“大雪”，其中是轴对称图形的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形，根据定义解题即可．
【详解】A、不是轴对称图形，本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，本选项符合题意．
故选：D．
3. 下列计算错误是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据合并同类二次根式、二次根式的加减运算法则、乘除运算法则逐项判断即可解答．
【详解】解：A、，该选项正确，不符合题意；
B、，该选项正确，不符合题意；
C、，该选项错误，符合题意；
D、，该选项正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次根式运算、二次根式加、减、乘、除运算法则，熟练掌握相关运算法则计算是解决问题的关键．
4. 如图，在等腰中，，分别以点点为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点和点，连接，直线与交于点，连接，则的度数是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据等边对等角求出，由作图方法可知，是线段的垂直平分线，则，可得，由此即可得到．
【详解】解：∵在等腰中，，，
∴，
由作图方法可知，是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的尺规作图，三角形内角和定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
5. 下列说法正确的是（）
A. 代数式是分式B. 分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变
C. 分式的值为0，则x的值为D. 分式是最简分式
【答案】D
【解析】
【分析】根据分式的定义，一般地，如果、（不等于零）表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式，其中称为分子，称为分母，分式的性质，分式的值为0的条件，最简分式的定义，一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时 (即分子与分母互素)叫最简分式，逐项分析判断即可
【详解】A. 代数式不是分式，故该选项不正确，不符合题意；
B. 分式中x，y都扩大3倍，分式的值扩大3倍，故该选项不正确，不符合题意；
C. 分式的值为0，则x的值为，故该选项不正确，不符合题意；
D. 分式是最简分式，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的定义，分式的性质，分式的值为0的条件，最简分式的定义，掌握以上知识是解题的关键．
6. 如图，∠CBD、∠EDA为△ABD的两个外角，，，则∠A的度数是（ ）
A. 20°B. 30°C. 40°D. 50°
【答案】C
【解析】
【分析】先根据求出的度数，再根据三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】解：，
，
是的外角，
．
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形外角的性质，熟知“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解答此题的关键．
7. 如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（）
A1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【详解】要使△ABP与△ABC全等，
必须使点P到AB的距离等于点C到AB的距离，
即3个单位长度，
所以点P的位置可以是P1，P3，P4三个，
故选C．
8. 已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项系数皆为正整数，若甲与乙相乘得，乙与丙相乘得，则甲、丙之积与乙的差是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平方差公式因式分解可知，根据十字相乘法因式分解可知，对以上两个式子进行分析即可得到甲、乙、丙，进而进行计算即可．
【详解】A
∵，
∵，
又∵甲与乙相乘得：，乙与丙相乘得：，
∴甲为，乙为，丙为，
∴甲、丙之积与乙的差是：
，
，
，
故选：A
【点睛】本题主要考查整式的运算、因式分解，解答本题的关键是熟练掌握运用整式运算和因式分解的方法．
9. 如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当最小时，则的度数为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查轴对称-最短问题、三角形的内角和定理.三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则最小，可得，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论.
【详解】如图，作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，
则最小，
，，
，
，
，
故选:C
10. 如图，，点，，…在射线上，点，，…在射线上，，，…均为等边三角形，依此类推，若，则的边长为（）
A. 2024B. 4042C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是等边三角形的性质、三角形的外角性质，等腰三角形的判定及其性质，总结出规律是解题的关键．根据等边三角形的性质得到，根据三角形的外角性质求出，得到，根据等腰三角形的判定定理得到，然后找到规律即可得解．
【详解】解：∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可得，，
∴的边长为．
故选：D．
二、填空题（本题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分）不需写出解答过程，把最后结果填在答题纸对应的位置上．
11. 一个多边形的各个外角都等于，则这个多边形是______．
【答案】五边形
【解析】
【分析】本题考查了多边形的外角和；
根据多边形外角和为求出边数即可．
【详解】解：∵一个多边形的各个外角都等于，
∴这个多边形的边数为：，
故答案为：五边形．
12. 我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于0.0000003，将0.0000003用科学记数法可以表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.0000003用科学记数法表示为．
故答案为：．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
13. 在平面直角坐标系中，点与点关于y轴对称，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形变化轴对称．理解关于y轴对称的点的坐标规律是解题关键．两点关于y轴对称，则两点的纵坐标相等，横坐标互为相反数，依此作出判断即可．
【详解】解：∵点与点关于y轴对称
∴，，
则．
故答案为：．
14. 一个多项式，把它因式分解后有一个因式为，请你写出一个符合条件的多项式：___________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据平方差公式或完全平方公式等知识解答即可．
【详解】解：∵，因式分解后有一个因式为，
∴这个多项式可以是（答案不唯一）；
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解此题的关键．
15. 如图，在等边中，平分交于点，过点作于点，且，则的长为______．
【答案】12
【解析】
【分析】本题考查等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，关键是由含30度角的直角三角形的性质得到，．
【详解】解：是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，平分，
，，
，
，
．
故答案为：12．
16. 设有边长分别为a和b（）的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片，若要拼一个长为，宽为的矩形，则需要C类纸片的张数为______张．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查完全平方式等，将多项式乘多项式展开成为多项式的形式是解题的关键．利用矩形的面积公式，计算矩形的面积并写成多项的形式，其中项的系数即为答案．
【详解】解：，即，
要拼一个边长为的正方形，需要1张类纸片、1张类纸片和2张类纸片．
，即，
若要拼一个长为，宽为的矩形，则需要类纸片的张数为8张，
故答案为：8
17. 我们规定运算符号“△”的意义是：当a＞b时，a△b＝a＋b；当a≤b时，a△b＝a－b，其它运算符号的意义不变，计算：(△)－(2△3)＝__________.
【答案】－＋4
【解析】
【分析】根据题意，先比较出＞，2＜3，再代入相应的运算法则进行计算，再根据二次根式的混合运算进行化简.
【详解】∵当a＞b时，a△b＝a＋b；当a≤b时，a△b＝a－b，＞，2＜3，
∴(△)－(2△3)
＝＋－(2－3)
＝－＋4
【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是根据题意进行运算化简，再利用二次根式的运算法则进行计算.
18. 如图，等边三角形的边长为，动点P从点A出发以的速度沿向点B匀速运动，过点P作，交边于点Q，以为边作等边三角形，使点A，D在异侧，当点D落在边上时，点P需移动___________s．
【答案】1
【解析】
【分析】当点D落在上时，如图，，根据等边三角形，是等边三角形，证明，进而可得x的值．
【详解】解：设点P的运动时间为，由题意得，
，
∵，
∴，
∵和是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用等边三角形的性质是解题的关键．
三、解答题（本题共8小题，共90分）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题纸对应的位置和区域内解答．
19. 已知：如图，，，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据平行线的性质得出，然后证明，证明，根据全等三角形的性质即可得证．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴
即
在与中
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
20. 如图，在中，为的角平分线．以点圆心，长为半径画弧，与分别交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】（1）根据角平分线的定义得出，由作图可得，即可证明；
（2）根据角平分线的定义得出，由作图得出，则根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出，，进而即可求解．
【小问1详解】
证明：∵为的角平分线，
∴，
由作图可得，
在和中，
，
∴；
小问2详解】
∵，为的角平分线，
∴
由作图可得，
∴，
∵，为的角平分线，
∴，
∴
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
21. 随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效，某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如下的宣传：
根据该宣传，求新型机器人每天搬运的货物量．
【答案】80
【解析】
【分析】设新型机器人每天搬运的货物量为x吨，则旧型机器人每天搬运的货物量为吨，根据等量关系列出方程即可．
【详解】解：设新型机器人每天搬运的货物量为x吨，则旧型机器人每天搬运的货物量为吨，
根据题意得：，
方程两边同乘，
得，
解得，
经检验，是分式方程的解
答：新型机器人每天搬运的货物量为80吨．
【点睛】本题考查的是解分式方程，解题的关键是找准等量关键正确列出方程．
22. （1）先化简，再求值：，其中；
（2）求代数式的值，其中．
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】本题考查的是分式的化简求值，二次根式的性质，二次根式的除法运算，掌握运算法则与运算顺序是解本题的关键；
（1）先计算括号内的分式的减法，再计算除法运算，最后把代入计算即可；
（2）先化简，再把代入计算即可．
【详解】（1）解：
，
当时，
原式．
（2）解：
当时，
原式．
23. 如图，在中，，点D，E分别在边AB，AC上，，连结CD，BE．
（1）若，求，的度数．
（2）写出与之间的关系，并说明理由．
【答案】（1）；；（2），见解析
【解析】
【分析】（1）利用三角形的内角和定理求出的大小，再利用等腰三角形的性质分别求出，．
（2）利用三角形的内角和定理、三角形外角的性质和等腰三角形的性质，求出用含分别表示，，即可得到两角的关系．
【详解】（1），，
．
在中，，
，
，
，
．
．
（2），的关系：．
理由如下：设，．
在中，，
，
．
，
中，，
．
．
．
．
【点睛】本题主要通过求解角和两角之间的关系，考查三角形的内角和定理、三角形外角的性质和等腰三角形的性质．三角形的内角和等于．三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．等腰三角形等边对等角．
24. 如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“巧数”，如：，，，因此4，12，20这三个数都是“巧数”．
（1）36是“巧数”吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为和（其中取正整数），由这两个连续偶数构造的“巧数”是4的倍数吗？为什么？
（3）求介于50到101之间所有“巧数”之和．
【答案】（1）是，见解析
（2）是，见解析（3）532
【解析】
【分析】（1）根据“巧数”的定义进行判断即可；
（2）列出这两数的平方差，运用平方差公式进行计算，对结果进行分析即可；
（3）介于50到101之间的所有“巧数”中，最小的为：142-122=52，最大的为：262-242=100，将它们全部列出不难求出他们的和．
【小问1详解】
）36是“巧数”，理由如下：
∵，
∴36是“巧数”；
【小问2详解】
∵n为正整数，
∴2n－1一定为正整数，
∴4(2n－1)一定能被4整除，
即由这两个连续偶数构造的“巧数”是4的倍数；
【小问3详解】
介于50到101之间的所有“巧数”之和，
，
，
．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，能根据“巧数”的定义进行计算是解决此题的关键．
25. 已知：如图①，中，，，为边上的中线，过A作，交延长线于点E．
（1）直接写出_______；
（2）如图②，过点C作于F．求证：；
（3）在（2）的条件下，如图③，在的外部作，且满足，连接AG．若，求线段的长．
【答案】（1）45（2）证明见解析
（3）4
【解析】
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得，，再由，，即可得出，由此即可得到答案；
（2）连接，在上截取，连接，证，得，，再证是等腰直角三角形，得，然后证，得，即可得出结论；
（3）连接，取的中点，连接、、，则，证，得，，则，再证，得，则，然后由线段垂直平分线的性质得，进而得出答案．
【小问1详解】
解：，，
，
，
，
又，
，
，
故答案为：45；
【小问2详解】
证明：连接，在上截取，连接，如图2所示：
由（1）知，，
，，
，
，，
，即，
是等腰直角三角形，
，
，
，，，
，
为边上的中线，
，
，，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：连接，取的中点，连接、、，如图3所示：
则，
，，，
，
，，
，
由（2）得：，
，
，
，即，
又，
，
，
，
，
．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
26. 综合与实践
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
（1）发现问题：如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则与的数量关系：______，______；
（2）类比探究：如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，，连接，，且点，，在一条直线上，过点A作，垂足为点．则，，之间的数量关系：______．
【答案】（1），
（2），，见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）证明，则，，根据，计算求解即可；
（2）同理（1）证明求解即可；
（3）同理（2）可证，，则，由等腰直角三角形，，可得，则，然后作答即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：，，理由如下；
∵，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，；
【小问3详解】
解：由题意知，同理（2）可证，，
∴，
∵等腰直角三角形，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键．