江苏无锡市湖滨中学2024-2025学年高一（上）数学第14周阶段性训练模拟练习【含答案】

这是一份江苏无锡市湖滨中学2024-2025学年高一（上）数学第14周阶段性训练模拟练习【含答案】，共14页。试卷主要包含了已知定义在R上的偶函数f，设a为实数，则关于x的不等式，若a＞b＞1，0＜c＜1，则，已知f，若a＜b＜0，c∈R，则等内容，欢迎下载使用。
1．已知定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（﹣∞，0），（x1≠x2），都有且f（﹣1）＝0，则不等式xf（x）＜0的解集为（ ）
A．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
C．（﹣1，0）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
2．设a为实数，则关于x的不等式（ax﹣2）（2x﹣4）＜0的解集不可能是（ ）
A．B．（﹣∞，2）∪
C．（2，+∞）D．
3．已知a＝lg0.32，b＝lg0.33，c＝lg32，则下列结论正确的是（ ）
A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．c＜a＜bD．b＜a＜c
4．在等式ab＝N中，如果只给定a，b，N三个数中的一个数，那么ab＝N就成为另两个数之间的“函数关系”．如果N为常数10，将a视为自变量x（x＞0且x≠1），则b为x的函数，记为y，那么xy＝10，现将y关于x的函数记为y＝f（x）．若f（m2）＞f（2m），则实数m的取值范围是（ ）
A．（0，2）B．（1，2）
C．（0，1）∪（1，2）D．∪（1，2）
5．若a＞b＞1，0＜c＜1，则（ ）
A．lgac＞lgbcB．lgca＞lgcb
C．ac＜bcD．ca＞cb
二．多选题（共3小题）
（多选）6．已知f（x）为定义在R上的偶函数，当x≥0时，有f（x+1）＝﹣f（x），且当x∈[0，1）时，f（x）＝lg2（x+1）．下列命题正确的是（ ）
A．f（2023）+f（﹣2024）＝0
B．f（x）是周期为2的周期函数
C．直线y＝x与f（x）的图象有且仅有2个交点
D．f（x）的值域为（﹣1，1）
（多选）7．若a＜b＜0，c∈R，则（ ）
A．a+c＜b+cB．ab＜b2C．D．
（多选）8．已知函数，则下列命题中，正确的有（ ）
A．函数f（x）的值域为（0，+∞）
B．函数f（x）的单调增区间为[1，+∞）
C．方程f（x）＝4有两个不同的实数解
D．函数f（x）的图象关于直线x＝1对称
三．填空题（共6小题）
9．若a，b，c均为正数，且a+b+c＝3，则的最小值是 ．
10．设a为实数，若实数x0是关于x的方程ex+（1﹣a）x＝lna+lnx的解，则＝ ．
11．已知定义在实数集R上的偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数，若f（lgx）＜f（1），则实数x的取值范围是 ．
12．已知函数的零点为x1．若x1∈（k，k+1）（k∈Z），则k的值是 ；若函数g（x）＝3x+x﹣2的零点为x2，则x1+x2的值是 ．
13．若3x＝4y＝t（x，y＞0），且，则实数t的值为 ．
14．函数f（x）＝x2+|lgx|﹣4有 个零点．
四．解答题（共6小题）
15．已知函数f（x）＝x|x|，函数g（x）＝x2﹣2x﹣m．
（1）求不等式f（x3﹣2）＞﹣1的解集；
（2）如果对于任意x2∈[﹣1，2]，都存在x1∈[﹣2，1]，使得g（x2）＝f（x1），求实数m的取值范围．
16．已知函数是偶函数．
（1）求实数a的值；
（2）若函数g（x）＝22x+2﹣2x+m•2f（x）的最小值为﹣4求实数m的值．
17．已知函数．
（1）若函数f（x）为奇函数，求a的值；
（2）当a＝3时，用函数单调性的定义证明：函数在R上单调递增；
（3）若函数y＝f（x）﹣2x有两个不同的零点，求a的取值范围．
18．若存在实数对（a，b），使等式f（x）•f（2a﹣x）＝b对定义域中每一个实数x都成立，则称函数f（x）为（a，b）型函数．
（1）若函数f（x）＝2x是（a，1）型函数，求a的值；
（2）若函数是（a，b）型函数，求a和b的值；
（3）已知函数h（x）定义在[﹣2，4]上，h（x）恒大于0，且为（1，4）型函数，当x∈（1，4]时，．若h（x）≥1在[﹣2，4]恒成立，求实数m的取值范围．
19．已知正数x，y满足x+2y＝1．
（1）当x，y取何值时，xy有最大值？
（2）若恒成立，求实数a的取值范围．
20．若增函数f（x）对任意x，y∈R，都有f（x+y）＝f（x）•f（y），且f（1）＝2，f（x）＞0恒成立．
（1）求f（0），，f（﹣1）；
（2）求方程的解集；
（3）求不等式f（x2）•f（x+1）＜8的解集．
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．【解答】解：定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（﹣∞，0），（x1≠x2），都有，
∴当x＜0时，函数f（x）为减函数，当x＞0时，f（x）为增函数，
∵f（﹣1）＝0，∴f（1）＝f（﹣1）＝0，
作出函数f（x）的图象如图：
xf（x）＜0等价为或，
即0＜x＜1或x＜﹣1，
即不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1），
故选：D．
2．【解答】解：当a＝0时，不等式可化为﹣2（2x﹣4）＜0，即x＞2，C符合；
当a＜0时，不等式可为（x﹣）（x﹣2）＞0，解得x＞2或x＜，
当a＞0时，不等式可化为（x﹣）（x﹣2）＜0，
若a＞1，解得，A符合；
当a＝1时，解集为∅；
当0＜a＜1时，解集为2＜x＜，D符合．
故选：B．
3．【解答】解：∵lg0.33＜lg0.32＜lg0.31＝0，
∴b＜a＜0，
∵lg32＞lg31＝0，
∴c＞0，
∴b＜a＜c．
故选：D．
4．【解答】解：因为xy＝10，（x＞0且x≠1），所以lgxy＝lg10＝1，即ylgx＝1，
所以y＝f（x）＝，所以函数f（x）在（0，1），（1，+∞）上单调递减，
若f（m2）＞f（2m），
则0＜m2＜2m＜1，或1＜m2＜2m，解得0＜m＜或1＜m＜2．
故选：D．
5．【解答】解：∵0＜c＜1，∴函数y＝lgcx在（0，+∞）上单调递减，
又∵a＞b＞1，∴lgca＜lgcb＜lgc1＝0，可得．
由得lgac＞lgbc，所以选项A正确，选项B错误，
∵幂函数y＝xc在（0，+∞）上单调递增，且a＞b＞1，∴ac＞bc，所以选项C错误，
∵指数函数y＝cx在R上单调递减，且a＞b＞1，∴ca＜cb，所以选项D错误．
故选：A．
二．多选题（共3小题）
6．【解答】解：根据题意，f（x）为定义在R上的偶函数，
且当x≥0时，有f（x+1）＝﹣f（x），则有f（x+2）＝﹣f（x+1）＝f（x），
同时，当x∈[0，1）时，f（x）＝lg2（x+1），
故函数f（x）的图象如下图所示：
由此分析选项：
对于A，f（x）为偶函数，则f（2023）+f（﹣2024）＝f（2023）+f（2024）＝0，故A正确；
对于B，由函数的草图可得：f（x）在定义域上不是周期函数，故B错误；
对于C，直线y＝x与函数f（x）的图象有1个交点，故C错误；
对于D，函数f（x）的值域为（﹣1，1），故D正确．
故选：AD．
7．【解答】解：对于A，由a＜b，两边都加上c，可得a+c＜b+c，故A正确；
对于B，a＜b＜0，两边都乘以b，可得ab＞b2，故B不正确；
对于C，a＜b＜0，则，可知，故C不正确；
对于D，a＜b＜0，则，可得，故D正确．
故选：AD．
8．【解答】解：A选项，因为g（x）＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1≥﹣1，
所以，
故函数f（x）的值域为，A错误；
B选项，因为y＝2u在R上单调递增，
故g（x）＝x2﹣2x的单调递增区间为的单调递增区间，
因为g（x）＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1的单调递增区间为[1，+∞），
所以函数f（x）的单调增区间为[1，+∞），B正确；
C选项，令，即x2﹣2x＝2，
所以x2﹣2x﹣2＝0，解得，
故方程f（x）＝4有两个不同的实数解，C正确；
D选项，g（x）＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1关于x＝1对称，
故的图象关于x＝1对称，D正确．
故选：BCD．
三．填空题（共6小题）
9．【解答】解：a，b，c均为正数，且a+b+c＝3，即（2a+1）+（b+c）＝3+＝，
所以＝（）•[（2a+1）+（b+c）]＝•（+2++）
≥（+2）＝×＝，
当且仅当b+c＝2a+1时取等号，
所以的最小值为．
故答案为：．
10．【解答】解：由题意知ex+（1﹣a）x＝lna+lnx，得ex+x＝ax+lnax，
即ex+x＝elnax+lnax，
设f（x）＝ex+x，x∈R，则f（x）＝ex+x在R上单调递增，
则由ex+x＝elnax+lnax可得x＝lnax⇒ex＝ax，
而实数x0是关于x的方程ex+（1﹣a）x＝lna+lnx的解，即，
故．
故答案为：．
11．【解答】解：∵f（x）定义在实数集R上的偶函数，在区间[0，+∞）上是单调增函数
∴f（x）中（﹣∞，0）上是减函数
又f（lgx）＜f（1）
∴﹣1＜lgx＜1
∴
故答案为：
12．【解答】解：函数是增函数，f（1）＝﹣0，f（2）＝lg92＞0，
满足f（1）f（2）＜0，所以函数的零点x1∈（1，2），所以k的值为1．
函数＝（lg3x+x﹣2），函数的零点是y＝lg3x与y＝2﹣x两个函数的图象的交点的横坐标x1，
函数g（x）＝3x+x﹣2的零点为x2，是函数y＝3x与y＝2﹣x图象交点的横坐标，
由于y＝lg3x与y＝3x是反函数，关于y＝x对称，并且y＝2﹣x与y＝x垂直，交点坐标（1，1），
所以x1+x2的值是2．
故答案为：1；2．
13．【解答】解：因为3x＝4y＝t（x，y＞0），所以t＞1，x＝lg3t，y＝lg4t，
故，
则，
所以lgt36＝4，解得．
故答案为：．
14．【解答】解：函数f（x）＝x2+|lgx|﹣4的零点个数，就是方程x2+|lgx|﹣4＝0的根的个数，
即函数y＝|lgx|和y＝﹣x2+4的图象交点个数，
函数y＝|lgx|和y＝﹣x2+4的图象如下图所示，
由图象可知，两函数图象有2个交点，
所以函数f（x）＝x2+|lgx|﹣4有2个零点．
故答案为：2．
四．解答题（共6小题）
15．【解答】解：（1）f（x）＝x|x|＝，其大致图象如图所示：
结合图象可知，函数在R上单调递增，且f（﹣1）＝﹣1，
不等式式f（x3﹣2）＞﹣1＝f（﹣1）可转化为x3﹣2＞﹣1，
解得x＞1，
即原不等式的解集为{x|x＞1}；
（2）由（1）知，f（x）在[﹣2，1]上单调递增，f（﹣2）＝﹣4，f（1）＝1，
故﹣4≤f（x1）≤1，设A＝[﹣4，1]，
当﹣1≤x≤2时，g（x）＝（x﹣1）2﹣1﹣m先减后增，
当x＝1时，g（x）取得最小值g（1）＝﹣1﹣m，当x＝﹣1时，函数取得最大值g（﹣1）＝3﹣m，
即﹣1﹣m≤g（x）≤3﹣m，设B＝[﹣1﹣m，3﹣m]，
对于任意x2∈[﹣1，2]，都存在x1∈[﹣2，1]，使得g（x2）＝f（x1），
则B⊆A，
所以，解得，2≤m≤3，
所以m的范围为[2，3]．
16．【解答】解：（1）函数的定义域为R，
因为函数f（x）是偶函数，所以f（﹣x）＝f（x），
又，，
所以，
所以﹣2x＝2ax⇒a＝﹣1；
（2）由（1）知，，
所以，
所以g（x）＝22x+2﹣2x+m•2f（x）＝22x+2﹣2x+m（2x+2﹣x）＝（2x+2﹣x）2+m（2x+2﹣x）﹣2＝，
令，
当且仅当2x＝2﹣x，即x＝0时等号成立，
设函数，
其图像是开口向上，对称轴方程为的抛物线，
当时，即m＞﹣4时，＝﹣4，解得m＝﹣3，
当时，即m≤﹣4时，，
解得m＝±2（舍去），
综上可知，m＝﹣3．
17．【解答】解：（1）由 f（0）＝0，得a＝1，
此时．
因为，
所以f（x）为奇函数，
故a＝1．
证明：（2）当a＝3时，．
任取x1，x2∈R，且x1＜x2，
则＝，
因为x1＜x2，所以，，，
所以＜0，
即f（x1）＜f（x2），
所以函数在R上单调递增．
解：（3）y＝f（x）﹣2x 有两个不同的零点，等价于（2x）2+（1﹣a）2x+1＝0有两个不同的实数解．
令t＝2x（t＞0），则t2+（1﹣a）t+1＝0在（0，+∞）有两个不同的实数解，
所以，
解得a＞3．
所以a的取值范围为（3，+∞）．
18．【解答】解：（1）由f（x）＝2x是（a，1）型函数，得f（x）•f（2a﹣x）＝2x•22a﹣x＝1，即22a＝1，所以a＝0．
（2）由是（a，b）型函数，得，则，因此x2lnb﹣2axlnb+2a＝0对定义域{x|x≠0}内任意x恒成立，于是，解得a＝0，b＝1，所以a＝0，b＝1．
（3）由h（x）是（1，4）型函数，得h（x）•h（2﹣x）＝4，
（1）当x＝1时，h（1）•h（1）＝4，而h（x）＞0，则h（1）＝2，满足h（x）≥1；
（2）当x∈（1，4]时，恒成立，
令lg2x＝t，则当t∈（0，2]时，﹣t2+mt+2≥1恒成立，于是恒成立，而函数在（0，2]单调递增，则，当且仅当t＝2时取等号，因此；
（3）当x∈[﹣2，1）时，2﹣x∈（1，4]，则，由h（x）≥1，得，
令lg2（2﹣x）＝u，则当u∈（0，2]时，0＜﹣u2+mu+2≤4，
由（2）知﹣u2+mu+2≥1，则只需u∈（0，2]时，﹣u2+mu+2≤4恒成立，即恒成立，又，当且仅当时取等号，因此，
所以实数m的取值范围是：[，2]．
19．【解答】解：（1）因为正数x，y满足x+2y＝1，
由基本不等式得，解得，
当且仅当x＝2y，即时，等号成立，
故xy的最大值为；
（2）要想恒成立，只需，
正数x，y满足x+2y＝1，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故9≥3a，解得a≤2，
所以实数a的取值范围是（﹣∞，2]．
20．【解答】解：（1）令x＝0，y＝1，
则f（0+1）＝f（0）•f（1），
得f（0）＝1，
令，
则，
所以，
因为f（x）＞0，
所以，
令x＝﹣1，y＝1，
则f（﹣1+1）＝f（﹣1）•f（1），
所以1＝2f（﹣1），
得；
（2）由题意可知lgx≠0，
得x≠1，
因为，
所以，
所以，
所以，
因为f（x）为R上的增函数，
所以，
所以lg2x﹣3lgx+2＝0，
即（lgx﹣1）（lgx﹣2）＝0，
所以lgx＝1或lgx＝2，
所以x＝10或x＝100，
所以方程的解集为{10，100}；
（3）因为f（1）＝2，
所以f（2）＝f（1+1）＝f（1）f（1）＝4，
所以f（3）＝f（2+1）＝f（2）f（1）＝8，
所以由f（x2）•f（x+1）＜8，
得f（x2+x+1）＜f（3），
因为f（x）为R上的增函数，
所以x2+x+1＜3，
所以x2+x﹣2＜0，
即（x﹣1）（x+2）＜0，
解得﹣2＜x＜1，
所以不等式的解集为（﹣2，1）．