北京市首都师范大学附属育新学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

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学校:___________班级：___________姓名：___________学号：___________
一、单选题（每小题4分，共40分）
1．已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ）
A．若α//β，l⊂α，m⊂β，则l//mB．若α⊥β，l⊂α，则l⊥β
C．若l⊥α，α⊥β，则l//βD．若l∥α，m⊥α，则l⊥m
2．下列可使非零向量a,b,c构成空间的一组基底的条件是（ ）
A．a,b,c两两垂直B．b=λc
C．a=mb+ncD．a+b+c=0
3．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，则点B到直线AC1的距离为（ ）
A．23
B．33
C．63
D．223
4．已知直线l的方向向量为v=1,2,-4，平面α的法向量为n=x,1,-2，若直线l与平面α垂直，则实数x的值为（ ）
A．-10B．10C．-12D．12
5．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵ABC-A1B1C1中，M，N分别是A1C1,BB1的中点，G是MN的中点，若AG=xAB+yAA1+zAC，则x+y+z=（ ）
A．1
B．12
C．32
D．34
6．已知直线l1:3x-4y+7=0与直线l2:6x-m+1y+1-m=0平行，则l1与l2之间的距离为（ ）
A．2B．3C．4D．5
7. 若直线y=kx与圆x-22+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称，则k，b的直线分别为（ ）
A．k=-12，b=4B．k=12，b=-4
C．k=-12，b=-4D．k=12，b=4
8．已知圆C：x-32+y-42=9，直线l过点P(2,3)，则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（ ）
A．27B．10C．22D．6
9．已知圆C的方程为x2+(y-2)2=a，则“a>2”是“函数y=x的图象与圆C有四个公共点”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
10．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A、B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点所形成的图形是圆，后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，A(-2,0)，B(4,0).点P满足|PA||PB|=12，设点P所构成的曲线为C，下列结论不正确的是（ ）
A．C的方程为(x+4)2+y2=16
B．在C上存在点D，使得D到点(1,1)的距离为3
C．在C上存在点M，使得|MO|=2|MA|
D．C上的点到直线3x-4y-13=0的最小距离为1
二、填空题（每小题5分，共25分）
11．已知圆锥的母线与底面所成角为45∘，高为1.则该圆锥的体积为 .
12．已知平面α的一个法向量为n=(2,3,5)，点A(-1,-3,0)是平面α上的一点，则点P(-3,-4,1)到平面α的距离为 .
13．过两条直线l1:x-y+3=0与l2:2x+y=0的交点，倾斜角为π3的直线方程为 .
14．已知某隧道内设双行线公路，车辆只能在道路中心线一侧行驶，隧道截面是半径为4米的半圆，若行驶车辆的宽度为52米， 则车辆的最大高度为 米．
15．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M在线段BC1（不含端点）上运动，则下列结论正确的是 .
①ABCD-A1B1C1D1的外接球表面积为48π；
②异面直线A1M与AD1所成角的取值范围是π3,π2；
③直线A1M//平面ACD1；
④三棱锥D1-AMC的体积随着点M的运动而变化.
三、解答题（共85分）
16．（本题13分）已知△ABC顶点A1,2、B-3,-1、C3,-3．
(1)求线段BC的中点及其所在直线的斜率；
(2)求线段BC的垂直平分线l1的方程；
(2)若直线l2过点A，且l2的纵截距是横截距的2倍，求直线l2的方程．
17．（本题14分）在平面直角坐标系xOy中，圆C经过点A1,0和点B-1,2，且圆心在直线2x-y+2=0上.
(1)求圆C的标准方程；
(2)若直线x=ay+3被圆C截得弦长为23，求实数a的值.
18．（本题15分）已知圆C:x2+y2-6x-8y+21=0，直线l过点A(1,0).
(1)求圆C的圆心坐标及半径长；
(2)若直线l与圆C相切，求直线l的方程；
(3)设直线l与圆C相切于点B，求|AB|.
19．（本题14分）如图所示，在几何体ABCDEFG中，四边形ABCD和ABFE均为边长为2的正方形，AD//EG，AE⊥底面ABCD，M、N分别为DG、EF的中点，EG=1.
(1)求证：MN//平面CFG；
(2)求直线AN与平面CFG所成角的正弦值．
20．（本题15分）如图，已知等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=AD=12BC=2，E是BC的中点，AE∩BD=M，将△BAE沿着AE翻折成△B1AE，使B1M⊥平面AECD.
(1)求证：CD⊥平面B1DM；
(2)求平面B1MD与平面B1AD夹角的余弦值；
(3)在线段B1C上是否存在点P，使得MP//平面B1AD，若存在，求出B1PB1C的值；若不存在，说明理由.
21．（本题14分）“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出来的．如图是抽象的城市路网，其中线段AB是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，所以在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用dA,B表示，又称“曼哈顿距离”，即dA,B=AC+CB，因此“曼哈顿两点间距离公式”：若Ax1,y1，Bx2,y2，则dA,B=x2-x1+y2-y1
(1)①点A3,5，B2,-1，求dA,B的值．
②求圆心在原点，半径为1的“曼哈顿单位圆”方程．
(2)已知点B1,0，直线2x-y+2=0，求B点到直线的“曼哈顿距离”最小值；
(3)设三维空间4个点为Ai=xi,yi,zi，i=1,2,3,4，且xi，yi，zi∈0,1．设其中所有两点“曼哈顿距离”的平均值即d，求d最大值，并列举最值成立时的一组坐标．
首师大育新学校2024-2025学年第一学期高二数学期中考试
参考答案
1．D 【详解】对于A，若α//β，l⊂α，m⊂β，则l//m或者l,m异面，故A错误，
对于B，若α⊥β，l⊂α，且l与α，β的交线垂直，才有l⊥β，否则l与β不一定垂直，故B错误，
对于C，若l⊥α，α⊥β，则l//β或者l⊂β，故C错误，
对于D，若l∥α，m⊥α，则l⊥m，D正确，
2．A 【详解】由基底定义可知只有非零向量a,b,c不共面时才能构成空间中的一组基底.
对于A，因为非零向量a,b,c两两垂直，所以非零向量a,b,c不共面，可构成空间的一组基底，故A正确；
对于B，b=λc，则b,c共线，由向量特性可知空间中任意两个向量是共面的，所以a与b,c共面，故B错误；
对于C，由共面定理可知非零向量a,b,c共面，故C错误；
对于D，a+b+c=0即a=-b-c，故由共面定理可知非零向量a,b,c共面，故D错误.
3．C 【详解】连接BC1，由正方体的性质可得BC1=2，AB⊥BC1，故B到AC1的距离为1×21+2=63，
4．D 【详解】直线l与平面α垂直，故v=1,2,-4与n=x,1,-2平行，设v=kn，即kx=1k=2-2k=-4，解得x=12.
5．C 【详解】连接AM,AN，因为G是MN的中点，所以AG=12AM+AN，
因为ABC-A1B1C1底面为直角三角形的直棱柱，
所以四边形AA1B1B,BCC1B1,ACC1A1为长方形，
又因M，N分别是A1C1,BB1的中点，
所以AN=AB+BN=AB+12AA1,AM=AA1+A1M=AA1+12AC，
则AG=12AM+AN=12AB+12AA1+12AA1+12AC=12AB+34AA1+14AC，
6．A 【详解】因为直线l1:3x-4y+7=0与直线l2:6x-m+1y+1-m=0平行，
所以63=-(m+1)-4≠1-m7，解之得m=7.
于是直线l2:6x-8y-6=0，即l2:3x-4y-3=0，
所以l1与l2之间的距离为7-(-3)32+(-4)2=2.
7．B 【详解】因为直线y=kx与圆x-22+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称，故直线y=kx与直线2x+y+b=0垂直，且直线2x+y+b=0过圆心2,0，所以k×-2=-1，2×2+0+b=0，所以k=12，b=-4.
8．A 【详解】直线l恒过定点P2,3，圆C：x-32+y-42=9的圆心为C3,4，半径为r=3，且PC2=2-32+3-42=2a，解得a