精品解析：福建省厦门市音乐学校2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（解析版）-A4

这是一份精品解析：福建省厦门市音乐学校2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（解析版）-A4，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（试卷满分：150分 考试时间：120分钟）
班级______姓名______座号______
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．）
1. 抛物线的顶点坐标是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数的顶点式求出二次函数的顶点坐标即可．
【详解】∵二次函数的解析式为，知二次函数开口向下，
∴当时，，即二次函数的顶点坐标为（-1，2），
故选A．
【点睛】本题考查了求二次函数的顶点坐标，本题直接给出了顶点式，直接求出即可；一般情况下，给出的是二次函数的一般式，需要先用配方法化为顶点式．
2. 下列说法正确的是（ ）
A. 概率很小的事件不可能发生
B. 抛一枚硬币，第一次正面朝上，则正面朝上概率为1
C. 必然事件发生的概率是1
D. 某种彩票中奖的概率是，买1000张这种彩票一定会中奖
【答案】C
【解析】
【分析】根据概率的意义，概率公式，随机事件，必然事件，不可能事件的特点逐一判断即可．
【详解】A．概率很小的事件也可能发生，故A不符合题意；
B．抛一枚硬币，第一次正面朝上，则正面朝上的概率为，故B不符合题意；
C．必然事件发生的概率是1，故C符合题意；
D．某种彩票中奖的概率是，买1000张这种彩票不一定会中奖，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了概率的意义，概率公式，随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
3. 用求根公式法解得某方程两个根互为相反数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据求根公式法求得一元二次方程的两个根，由题意得，可求出．
【详解】方程有两根，
且．
求根公式得到方程的根为，两根互为相反数，
所以，即，
解得．
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元二次方程－公式法，相反数的意义，熟练掌握用公式法解一元二次方程是解题的关键．
4. 在一个布袋中装有红、白两种颜色的小球，它们除颜色外没有任何其他区别．其中红球若干，白球5个，袋中的球已搅匀．若从袋中随机取出1个球，取出红球的可能性大，则红球的个数是（ ）
A. 4个B. 5个C. 不足4个D. 6个或6个以上
【答案】D
【解析】
【分析】由取出红球的可能性大知红球的个数比白球个数多，据此可得答案．
【详解】解：∵袋子中白球有5个，且从袋中随机取出1个球，取出红球的可能性大，
∴红球的个数比白球个数多，
∴红球个数满足6个或6个以上，
故选D．
【点睛】本题主要考查可能性大小，只要在总情况数目相同的情况下，比较其包含的情况总数即可．
5. 如图，在中，是直径，连接，若于点，则的长是（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】根据垂径定理求出，根据勾股定理列式求出，根据三角形中位线定理求出结果即可．
【详解】解：，为的半径，，
，
在中，，
，即，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
6. 如图，在等腰中，，将绕点逆时针旋转得到，当点的对应点落在上时，连接，则的度数是（ ）
A. 30°B. 45°C. 55°D. 75°
【答案】B
【解析】
【分析】由等腰三角形的性质和三角形内角和定理，得，根据旋转的性质，得，，再由等腰三角形和三角形内角和定理得，即可求得．
【详解】解：，，
，
由旋转得，，，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
7. 如图，为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形是( )
A. 正六边形B. 正七边形C. 正八边形D. 正九边形
【答案】A
【解析】
【分析】根据圆周角定理可得正多边形的边所对的圆心角，再根据正多边形的一条边所对的圆心角的度数与边数之间的关系可得答案．
【详解】如图，设正多边形的外接圆为，连接，，
，
，
而，
这个正多边形为正六边形，
故选：A．
【点睛】本题考查正多边形与圆，圆周角，掌握圆周角定理是解决问题的关键，理解正多边形的边数与相应的圆心角之间的关系是解决问题的前提．
8. 为做好疫情常态化防拉工作，某校2020年投入疫情防控专项资金28万元，预计到2022年底三年累计共投入140万元．设每年投入的专项资金的年平均增长率为，则下列方程中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设每年投入每年投入的专项资金的年平均增长百分率为，根据题意可得，2020年投入专项资金年投入专项资金增长率）年投入专项资金增长率）亿元，据此列方程．
【详解】解：设每年投入的专项资金的年平均增长百分率为，
由题意得， ．
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
9. 平面直角坐标系中，已知点P（m﹣1，n2），Q（m，n﹣1），其中m＜0，则下列函数的图象可能同时经过P，Q两点的是（ ）
A. y＝2x+bB. y＝﹣x2+2x+c
C. y＝ax+2 （a＞0）D. y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）
【答案】D
【解析】
【分析】先判断n2与n﹣1和m﹣1与m的大小，由点P（m﹣1，n2），Q（m，n﹣1）的坐标判断出函数的增减关系，再依次判断即可．
【详解】解：∵n2﹣（n﹣1）＝（n﹣）2+＞0，
∴n2＞n﹣1，
∵m﹣1＜m，
∴当m＜0时，y随x的增大而减小，
A、y＝2x+b中，y随x增大而增大，故A不可能；
B、y＝﹣x2+2x+c中，开口向下，对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大，故B不可能；
C、y＝ax+2 中，a＞0，y随x的增大而增大，故C不可能；
D、y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）中，开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴当x＜0时，y随x的增大而减小，故D有可能，
故选：D．
【点睛】本题是对函数知识的综合考查，熟练掌握一次函数，二次函数知识是解决本题的关键．
10. 二次函数部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③若方程的两根为和，且，则；④，其中正确的结论有（ ）

A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】利用二次函数的对称轴，即可判断①结论；根据二次函数的性质可知，二次函数与轴的交点为和，代入二次函数解析式，求得，即可判断②结论；根据函数图象，得出，解得或，即可判断③结论；利用①结论，即可判断④结论．
【详解】解：二次函数的对称轴为直线，
，
，①结论正确；
二次函数的图象过点，对称轴为直线，
二次函数与轴的另一个交点为，
，解得：，
，
二次函数的图象开口向下，
，
，
，②结论正确；
，
，
，
，
，
或，
方程的两根为和，且，
，③结论正确；
由①结论可知，，
，
，④结论错误，
正确的结论有①②③，共3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与轴的交点问题，二次函数与系数的关系，利用数形结合的思想，熟练掌握二次函数的性质是解题关键，属于中考常考题型．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 点关于原点对称的点的坐标是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点：点关于原点对称的点的坐标为．根据坐标规律即可得到点关于原点对称的点的坐标．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是．
故答案为：．
12. 在一个不透明的袋子里，装有6枚白色球和若干枚黑色球，这些球除颜色外都相同．将袋子里的球摇匀，随机摸出一枚球，记下它的颜色后再放回袋子里．不断重复这一过程，统计发现，摸到白色球的频率稳定在0.2，由此估计袋子里黑色球的个数为______．
【答案】
【解析】
【分析】由摸到白色球的频率稳定在0.2，得到摸到白色球的概率为0.2，再利用概率公式列方程即可.
【详解】解： 摸到白色球的频率稳定在0.2，
摸到白色球的概率为0.2，
设袋子里黑色球有个，

解得： 经检验符合题意；
所以估计袋子里黑色球的个数为.
故答案为：
【点睛】本题考查的是利用频率估计概率，利用概率公式列方程，掌握“利用频率估计概率得到摸到白色球的概率为0.2”是解本题的关键.
13. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是___________________．
【答案】且
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式列不等式组求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴且，
解得且．
故答案为：且．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式等知识点，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根是解答本题的关键．
14. 如图，内接于，且，连接并延长交于点，交于点，连接，若，则的大小为______．

【答案】##66度
【解析】
【分析】本题考查了圆周角的性质、直径所对的圆周角等于的性质应用、等腰三角形的性质以及外角的性质．先利用直径所对的圆周角等于和的角度，求出，再利用等腰三角形的性质求出，再求出，再利用从而求出，从而求出答案．
【详解】证明：为直径，，
故答案为：．
15. 公路上行驶的汽车急刹车时的行驶路程s(m)与时间t(s)的函数关系式为s=20t-5t2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行______m才能停下来．
【答案】20．
【解析】
【详解】求停止前滑行多远相当于求s的最大值.
则变形s=-5(t-2)2+20，
所以当t=2时，汽车停下来，滑行了20m.
16. 如图所示，在Rt△ACB中，，，，点O为BC上的点，的半径，点D是AB边上的动点，过点D作的一条切线DE（点E为切点），则线段DE的最小值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】连接DO、OE，则OE⊥DE，由勾股定理知，当OD最小时DE最小，当OD⊥AB时，OD最小，根据直角三角形的性质及勾股定理即可求得OD的长，从而可求得最小值．
【详解】连接DO、OE，如图
∵DE是⊙O的切线
∴OE⊥DE
由勾股定理知，
∵OE=1
∴当OD最小时DE最小
而当OD⊥AB时，OD最小
∵，，
∴，∠B=60°
∴OB=BC−OC=6-1=5
∵OD⊥AB
∴∠BOD=30°
∴
由勾股定理得：
所以
即线段DE的最小值为
故答案为：
【点睛】本题考查了切线的性质，30度角的直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短等知识，关键是转化，由切线最短转化为圆心到AB的距离最短．
三、解答题（本大题共9小题，共86分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解方程
（1）
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，解答关键是熟练掌握一元二次方程的各种解法：直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法等．
（1）利用配方法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【小问1详解】
解：移项，得
配方，得，即
开方，得
∴，；
【小问2详解】
解：移项，得
则，即，
∴或，
∴，．
18. 如图，在中，，，C是中点．的半径为3．求证：是的切线．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查切线的判定、等腰三角形的性质、勾股定理，连接，利用等腰三角形的三线合一证得，再证明利用勾股定理求得为的半径，然后根据切线的判定可得结论．证明为的半径是解答关键．
【详解】解：连接，
∵在中，，C是中点，，
∴，，
∵，
∴，
∴为的半径，
∴是的切线．
19. 先化简，再求值：，其中m=+1．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将m的值代入即可解答本题．
【详解】
=
=
=，
当m=+1时，原式=．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
20. 如图，已知，，是直角坐标系平面上三点．
（1）画出绕点C顺时针旋转后的
（2）求出A点旋转到点所经过的路径长和线段所扫过的图形面积（结果保留根号和）．
【答案】（1）见解析 （2）A点旋转到点所经过的路径长为，线段所扫过的图形面积为
【解析】
【分析】本题主要考查了作图，旋转的变换，坐标两点的距离公式，旋转的性质，扇形的面积公式，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据旋转的性质，得到绕点C顺时针旋转后的即可；
（2）根据坐标两点的距离公式，求得的长即可，由旋转的性质可知，，再利用扇形面积公式，即可求出线段所扫过的图形面积．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求：
【小问2详解】
解：，，
，，
由旋转的性质可知，，
，
A点旋转到点所经过的路径是以为圆心角，以为半径的圆弧，则线段所扫过的图形面积是圆心角为，半径为的扇形，
线段所扫过的图形面积是，A点旋转到点所经过的路径是，
故A点旋转到点所经过的路径长为，线段所扫过的图形面积是．
21. 为了解全校名同学对学校设置的体操、篮球、足球、跑步、舞蹈等课外活动项目的喜爱情况，在全校范围内随机抽取了若干名同学，对他们喜爱的项目（每人选一项）进行了问卷调查，将数据进行了统计，并绘制成了如图所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整），请回答下列问题：
（1）参加问卷调查的同学共_________名，补全条形统计图．
（2）在篮球社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀．现决定从这四人中任选两名参加篮球大赛，用树状图或列表法求恰好选中丙、丁两位同学的概率．
【答案】（1），见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据条形图和扇形图中足球数据即可求出总人数，从而求出跑步的人数，补全条形统计图；
（2）画树状图，结合树状图利用概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：参加问卷调查的同学人数为：
（名）
参加跑步的人数为：（名）
故答案为：，补全条形图如下，
【小问2详解】
解：画树状图如下，
从这四人中任选两名参加篮球大赛，共有种可能；
恰好选中丙、丁两位同学的可能有2种，
则恰好选中丙、丁两位同学的概率为：
．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合应用，还考查了求随机抽样的概率；解题的关键是正确求出总人数及正确画树状图．
22. 如图，在中，，点在上，．

（1）尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法）
①求作，使得圆心在上，经过A，两点；
②在上求作点，使得；
（2）在（1）的条件下，设与的另一个交点为．求证：直线经过点．
【答案】（1）①见解析；②见解析
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）①作线段的垂直平分线，交于一点，该点即为圆心O，以为半径作圆即可；
②以为顶点，为角的一边，在下方作，的另一边与交于一点，该点即为点E；
（2）连接，，，证明，得出，即，证明，得出，证明，得出，求出，即可证明结论．
【小问1详解】
解：①如图，即为所求；

②如图，点E即为所求；

∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：如图，连接，，．

∵，，
∴，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴直线经过点．
【点睛】本题主要考查了作一个角等于已知角，作垂线，三角形相似的判定和性质，平行线的性质和判定，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定，作出辅助线．
23. 根据以下素材，探索完成任务．
【答案】任务一：作图见解析，；任务二：绳子不能顺利甩过所有队员的头顶，理由见解析；任务三：
【解析】
【分析】任务一：以左边摇绳人与地面的交点为原点，地面所在直线为轴，建立直角坐标系，用待定系数法可得抛物线的函数表达式为；
任务二：求出当时，当时的函数值，在和队友的身高比较即可；
任务三：两路并排，，一排5人，求出时，或，即可得到答案．
【详解】解：任务一：
以左边摇绳人与地面的交点为原点，地面所在直线为轴，，建立直角坐标系，如图：

由已知可得，，在抛物线上，且抛物线顶点的纵坐标为，
设抛物线解析式为，
∴，
解得，
∴抛物线的函数解析式为；
任务二：
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
名同学，以直线为对称轴，分布在对称轴两侧，男同学站中间，女同学站两边，对称轴左侧的位男同学所在位置横坐标分布是，和，
当时，，
∴绳子能顺利的甩过男队员的头顶，
同理当时，，
∴绳子不能顺利的甩过女队员的头顶；
∴绳子不能顺利的甩过所有队员的头顶；
任务三：
两路并排，一排人，
当时，，
解得或，
但第一位跳绳队员横坐标需不大于（否则第二、三位队员的间距不够米）
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，建立适当的平面直角坐标系，把二次函数同实际生活结合起来．
24. （1）如图1，的外角的平分线与它的外接圆相交于点E，连接，CE．求证：；
（2）如图2，点在上，，于F点，边上的高交于H点，取弧的中点M，连，延长交于点N，求证：．

【答案】（1）见解析
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到，根据角平分线的定义得到，则，于是得到；
（2）如图2中，延长交于点，连接，过点作于点．证明四边形是平行四边形，可得结论．
【详解】（1）证明：如图1中，∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图2中，延长交于点，连接，过点作于点．

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题．
25. 平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为A（2，4），且经过坐标原点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图1，设抛物线与x轴的另一交点为B，点C为抛物线上A，B之间一点，连接OA，OC，若∠AOC＝∠AOy，求点C的坐标；
（3）如图2，若直线y＝kx﹣2k＋5与抛物线交于M，N两点，点N关于抛物线对称轴的对称点为P，当k＜0时，试说明直线MP过一定点Q，并求出点Q的坐标．
【答案】（1）y=-x2+4x；（2）（，）；（3）直线MP过一定点Q（2，3），理由见详解
【解析】
【分析】（1）设二次函数的解析式为：y=a(x-2)2+4，根据待定系数法，即可求解；
（2）过点C作CE∥y轴，交OA的延长线于点E，可得OC=CE，设C（x，-x2+4x），则E（x, 2x），列出方程，即可求解；
（3）联立，得：，从而得，，设直线MP与直线x=2的交点为Q（2，m），由，，得，通过计算，可得，进而即可求解．
【详解】解：（1）∵抛物线顶点为A（2，4），
∴设二次函数的解析式为：y=a(x-2)2+4，
把（0，0）代入上式，可得：0=a(0-2)2+4，解得：a=-1，
∴y=-(x-2)2+4，即：y=-x2+4x；
（2）过点C作CE∥y轴，交OA的延长线于点E，
∴∠OEC=∠AOy，
又∵∠AOC＝∠AOy，
∴∠OEC=∠AOC，
∴OC=CE，
∵A（2，4），
∴直线OA的解析式为：y=2x，
设C（x，-x2+4x），则E（x, 2x），
∴OC=，CE== ，
∴=，解得：x=或x=0（舍去），
∴C坐标为：（，）；
（3）∵直线y＝kx﹣2k＋5，
∴直线恒过点D（2，5），
联立，得：，
设M（x2，y2），N（x1，y1），则，，
设直线MP与直线x=2的交点为Q（2，m），则，，
∴，
∵PG=NG，
∴，
∵HQ=y2-m，QG=m-y1，DH=5-y2，DG=5-y1，
∴，
∴，即：，
∵，
∴，，
∴，即：，
∵k＜0，
∴ m=3，
∴直线MP过一定点Q（2，3）．
【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数综合，相似三角形的判定和性质，掌握两点间距离公式，联立函数解析式，得到关于x的一元二次方程是解题的关键．
如何设计跳长绳方案
素材1
图1是集体跳长绳比赛，比赛时，各队跳绳人，摇绳2人，共计人．图2是绳甩到最高处时的示意图，可以近似的看作一条抛物线，正在甩绳的甲、乙两位队员拿绳的手间距6米，到地面的距离均为1米，绳子最高点距离地面米．

素材2
某队跳绳成员有6名男生和4名女生，男生身高米至米，女生身高米至米．跳长绳比赛时，可以采用一路纵队或两路纵队并排的方式安排队员位置，但为了保证安全，人与人之间距离至少米．
问题解决
任务1
确定长绳形状
在图2中建立合适的直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式．
任务2
探究站队方式
当该队以一路纵队的方式跳绳时，绳子能否顺利的甩过所有队员的头顶？
任务3
拟定位置方案
为了更顺利的完成跳绳，现按中间高两边低的方式居中安排站位．请在你所建立的坐标系中，求出左边第一位跳绳队员横坐标的最大取值范围．