精品解析：福建省福州市闽侯第二中学教育集团2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（解析版）-A4

这是一份精品解析：福建省福州市闽侯第二中学教育集团2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（解析版）-A4，共23页。
1．全卷共4页，有三大题，25小题；满分150分；考试时间120分钟．
2．答案一律填涂或书写在答题卡的相应位置，在试卷上作答无效．
3．答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其它试题用黑色字迹中性（签字）笔作答．
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1. 地铁标志作为城市地铁的形象和符号，是城市文化的缩影，下列图案分别为北京，上海，深圳，福州四个城市的地铁标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】绕着一点旋转180°后能够与原图形重合的图形即为中心对称图形，由此判断即可．
【详解】解：根据中心对称图形的定义，C选项符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义是解题关键．
2. 一元二次方程根的情况是（ ）
A. 有一个实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 没有实数根
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可．
【详解】解：一元二次方程，
∵，
∴，
∴原方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程：，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根；是解本题的关键．
3. 如图，下列选项中不能判定△ACD∽△ABC的是（ ）
A. ＝B. ＝C. ∠ACD＝∠BD. ∠ADC＝∠ACB
【答案】B
【解析】
【分析】根据相似三角形判定定理依次判断．
【详解】解：∵∠CAD=∠BAC，
∴当＝时，能判定△ACD∽△ABC，故选项A不符合题意；
当=时，不能判定△ACD∽△ABC，故选项B符合题意；
当∠ACD＝∠B时，能判定△ACD∽△ABC，故选项C不符合题意；
当∠ADC＝∠ACB时，能判定△ACD∽△ABC，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了添加条件证明三角形相似，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．
4. 下列图形中，正多边形内接于半径相等的圆，其中正多边形周长最小的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据圆的内接正多边形边数越多，越接近圆的周长，正多边形周长越长．
【详解】解：圆的内接正多边形边数越多，越接近圆的周长，正多边形周长越长，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，解题的关键是掌握“圆的内接正多边形边数越多，越接近圆的周长，正多边形周长越长”．
5. 点在函数图像上，下列说法中错误的是( )
A. 它的图象分布在二、四象限B. 当时，的值随的增大而增大
C. 当时，的值随的增大而减小D. 它的图象过点
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了反比例函数的图象性质，先把点代入，求得，根据反比例函数的性质：当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大，图象既是轴对称图形又是中心对称图形进行判断即可．
【详解】解：把点代入，得
，
解得：，
∴，
A、∵，∴的图象分布在二、四象限，原说法正确，故此选项不符合题意；
B、∵，∴当时，的值随的增大而增大，原说法正确，故此选项不符合题意；
C、∵，∴当时，的值随的增大而增大，原说法错误，故此选项符合题意；
D、∵把代入，得，∴它的图象过点，原说法正确，故此选项不符合题意；
故选：C．
6. 如图，是半圆的直径，点，在半圆上．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意易得∠ACB=90°，则有∠A=40°，然后根据圆内接四边形的性质可求解．
【详解】解：∵是半圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∵，
∴∠A=40°，
∵四边形ABDC是圆内接四边形，
∴，
∴；
故选D．
【点睛】本题主要考查圆周角及圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角及圆内接四边形的性质是解题的关键．
7. 把抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了抛物线的平移，按照“左加右减，上加下减”的规律进行解答即可，掌握抛物线“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．
【详解】解：把抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是，
故选：．
8. 我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．”意思是：长方形的面积是864平方步，宽比长少12步，问宽和长各是几步．设宽为x步，根据题意列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设宽为x步，则长为步，根据题意列方程即可．
【详解】解：设宽为x步，则长为步，
由题意得：，
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，正确理解题意是关键．
9. 已知关于x的一元二次方程（a≠0），若，则该方程必有一个根是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了方程根的定义，根据定义，代入计算比较左右两边的值，相等即可．
【详解】时，左边，右边，
∵，
∴左边=右边，
故是方程的一个根；
当时，左边，右边，
∵，
∴左边≠右边，
故不是方程一个根；
当时，左边，右边，
∵，
∴左边≠右边，
故不是方程的一个根；
当时，左边，右边，
∵，
∴左边≠右边，
故不是方程的一个根；
故选A．
10. 已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①②；③若，，是抛物线上三点，则；④；⑤；其中正确的结论有（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质及巧妙利用数形结合的思想是解题的关键．根据所给函数图象可得出a、b、c的正负，再结合抛物线的对称性及增减性即可解决问题．
【详解】解：∵抛物线开口方向向下，
∴，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴，
∵对称轴在y轴右侧，
∴，
∴，
∴，故①错误；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，故②错误；
∵抛物线的对称轴为直线，且开口向下，
而，，，且，
∴，故③错误；
由函数图象可知，当时，函数值小于零，
则，
又∵，
∴，故④错误；
由函数图象可知，当时，函数取得最大值，
∴当时的函数值小于时的函数值，
即，
∴，故⑤正确；
综上可知，正确的结论有⑤，共1个，
故选A．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 点关于原点对称的点的坐标是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了直角坐标系中关于原点对称的点的坐标的特征，利用关于原点对称的点的坐标的特征，即可求解．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．
12. 若，则_______．
【答案】##
【解析】
【分析】此题考查了比例的性质，根据已知条件设，则，代入计算即可求解．
【详解】解：∵
∴设，则，
∴
故答案为：．
13. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的概率是_____．
【答案】
【解析】
【分析】用列表法与树状图法求解即可.
【详解】解:用列表法列举出总共4种情况，分别为：正正、正反、反正、反反，
其中一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的情况为：正反、反正
所以概率是，
故答案是.
【点睛】本题考查了求随机事件的概率, 用到的知识点为: 概率=所求情况数与总情况数之比. 得到所求的情况数是解决本题的关键.
14. 如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴的一个交点为，抛物线和与x轴的另一个交点为__________．

【答案】
【解析】
【分析】根据抛物线的对称性进行求解即可．
【详解】解：∵抛物线关于对称轴对称，对称轴为直线，
∴关于对称的点为；
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数图象的对称性．熟练掌握抛物线关于对称轴对称，是解题的关键．
15. 已知关于x的一元二次方程（a≠0）的一个根为，则＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】由题意知，a＝1，b＝2，c＝﹣4，再代入计算即可．
【详解】解：由题意知，a＝1，b＝2，c＝﹣4，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的求根公式的理解，掌握“求根公式：”是解本题的关键．
16. 如图，在中，直径，延长至，使，点在上运动，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则线段的最大为_______．

【答案】
【解析】
【分析】过点作的垂线，在垂线上截取，连接，从而可证，进而得到，将求线段的最大值转化为求的最大值，然后结合点与圆的位置关系求出最大值即可．
【详解】解：如图，过点作的垂线，在垂线上截取，连接，

∴，
∴，
∵绕点顺时针旋转得到，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
连接，并延长交圆于点，即为最大值，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，点与圆的位置关系，解决本题的关键是构造全等三角形，将转化为其他线段进而求最大值．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，先移项，然后提取公因式得到，则或，据此求解即可．
【详解】解：∵
∴
∴
∴，
∴或，
解得．
18. 如图所示，一次函数与反比例函数相交于点A和点．

（1）求m的值和反比例函数解析式；
（2）当时，求x的取值范围．
【答案】（1），
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据一次函数的图象与反比例函数的图象交于、B两点可得的值，进而可求反比例函数的表达式；
（2）观察函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．
【小问1详解】
将点代入得：
解得：
将代入得：
∴
【小问2详解】
由得：，解得
所以坐标分别为
由图形可得：当或时，
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解决本题的关键是掌握反比例函数与一次函数的性质．
19. 如图，中，点E在边上，，将线段绕A点旋转到的位置，使得，连接，与交于点G．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．
(1)利用边角边原理证明即可 ．
(2)利用三角形全等的性质计算即可 ．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∴，
∵线段绕A点旋转到的位置，
∴.
在和中，
,
∴．
∴.
【小问2详解】
∵，，
∴.
∴.
∴
∵，
∴.
∴．
20. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，的顶点均在小正方形的格点上．
（1）将绕点顺时针旋转得到，画出；
（2）在（1）的运动过程中请计算出扫过的面积．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转作图，勾股定理逆定理，勾股定理以及扇形面积计算．
（1）先作出点A、B绕点顺时针旋转90度的对应点，，然后顺次连接即可；
（2）先根据小正方形的特点用勾股定理求出各个边长，根据各个边长用勾股逆定理证明为等腰直角三角形，进而求出的面积，再用旋转的性质知道，再求出扇形的面积，最后的面积加上扇形的面积即为所求．
【小问1详解】
解：作出点A、B绕点C顺时针旋转的对应点，，顺次连接，则即为所求，如图所示：
【小问2详解】
根据题意，在（1）的运动过程中请计算出扫过的面积如下：
∵，，，
∴，
∵，
∴
∴为等腰直角三角形，
∴，
根据旋转可知，，
∴，
∴在旋转过程中扫过的面积为∶．
21. 随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图．请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次活动共调查了 人；
（2）在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为 ；
（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”“支付宝”“银行卡”三种方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
【答案】（1）200 （2）81°
（3）
【解析】
【分析】（1）用银行卡的人数除以其百分比即可得到总人数；
（2）先求出微信支付的人数，得到支付宝支付的人数，再利用公式计算；
（3）将微信记为A，支付宝记为B，银行卡记为C，列表利用公式求概率．
【小问1详解】
解：这次活动共调查了（人），
故答案为：200；
【小问2详解】
解：微信支付的人数为（人），
支付宝支付的人数为200-60-30-50-15=45（人），
表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为，
故答案：81°；
【小问3详解】
解：将微信记为A，支付宝记为B，银行卡记为C，列表格如下：
共有9种等可能性的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的结果有3种，
则P（两人恰好选择同一种支付方式）＝．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22. 已知是的直径，点是延长线上一点，，是的弦，．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，垂足为，的半径为，求的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）连结，由圆周角定理可求得，，则，可证明直线是的切线；
（2）若于点，根据垂径定理可证明，在中，，，则，已知的半径，则，根据勾股定理可以求出的长，进而求出的长；
本题考查了圆的切线的判定，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，掌握这些定理是解题的关键．
【小问1详解】
证明：如图，连结，
，
，，
，
，
，
，
是的半径，
直线是的切线；
【小问2详解】
解：是的直径，且于点，
，，
，，
，
，
，
．
23. 在“新冠”疫情期间，全国人民众志成城，同心抗疫，某商家决定将一个月内获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知该商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种销售方式进行销售．调查发现，线下的月销量y（单位：件）与线下的售价x（单位：元/件，）满足函数关系式．
（1）当x为何值时，线下利润为4800元？
（2）若线上每件的售价始终比线下便宜2元，且线上的月销量固定为400件．试问：当x为多少时，线上和线下的月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润．
【答案】（1）当，线下利润为4800元
（2）当x为17时，线下和线上的月利润总和达到最大，最大利润为6900元
【解析】
【分析】本题考查二次函数、一元二次方程的应用等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
（1）根据利润公式，利润=（售价-成本）×销售量，列方程解题；
（2）根据题意，分别列出线上、线下的利润，再求和，结合配方法，求二次函数的最值即可．
【小问1详解】
解：由题意得，，
，
，
解得：，
，
当时，线下利润为4800元；
【小问2详解】
解：设线上和线下的月利润总和为w元，则
，
时，w随x增大而增大
当时，w有最大值6900元，
答：当元/件时，线上和线下的月利润总和达到最大值6900元．
24. 完成下列各题：

（1）问题背景：如图①，已知，求证：；
（2）尝试应用：如图②，在和中，，，与相交于点F，点D在边上，，求的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）2
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定．
（1）由题意得出，，则，可证得结论；
（2）连接，证明，由（1）知，由相似三角形的性质得出，，可证明，得出，则可求出答案．
【小问1详解】
证明：∵，
，，
，，
；
【小问2详解】
解：如图，连接，

，，
，
由（1）知，
，，
∴，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
25. 如图1，抛物线C：与x轴的正半轴交于点B，与y轴交于点C，，其对称轴为直线．
（1）求抛物线C的解析式；
（2）已知点，点E，F均在抛物线上（点E在点F右侧），若以C，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形，求点E的坐标；
（3）如图2，将抛物线C平移得到抛物线，使的顶点在原点，过点的两条直线，它们与y轴不平行，都与抛物线只有一个公共点分别为点M和点N，求证：直线必过定点．
【答案】（1）
（2）点的坐标为或
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线x=1，可得①，由抛物线C：可得，；把代入中，得②，解方程即可；
（2）需要分情况讨论，①若，由点的平移可知，点E左平移1个单位长度，向下平移5个单位长度得到点F，设，则，将点代入得，，求解得出点E的坐标；②若，由点C和点D的坐标可知，点C和点D的中点坐标为，设，则，将点代入得，，求出x即可求出点E的坐标．
（3）根据题意得，抛物线的解析式为：，设，则直线可设为，直线可设为，因为直线与抛物线只有一个公共点，所以联立与抛物线，得，得，所以，解得，可求出直线的解析式为：，同理可得，直线的解析式为：，联立和的解析式可得，，由点代入可得，所以直线的解析式为：，则直线过定点．
【小问1详解】
解：抛物线的对称轴为直线，
，即①，
抛物线与x轴的正半轴交于点B，与y轴交于点，
，，
，
，，
把代入中，得②，
由①②可知，，，
抛物线C的解析式为：；
小问2详解】
解：①若，
四边形是平行四边形，
∴且，
，，
向左平移1个单位长度，向下平移5个单位长度得到点，
点都在抛物线上，点在点的右侧，
∴点左平移1个单位长度，向下平移5个单位长度得到点，
设，则，
将点代入得，，
解得，
；
②若，
四边形是平行四边形，
∴且，
，，
∴CD的中点坐标为，
设，则，
将点代入得，，
解得或，
点在点的右侧，
，
综上，点的坐标为或；
【小问3详解】
证明：根据题意得，抛物线的解析式为：，
设，，
则直线可设为，
直线可设为
直线与抛物线只有一个公共点，
∴联立与抛物线，得，
∴得，
∴，解得，
∴直线的解析式为：，
同理可得，直线的解析式为：，
联立和的解析式可得，，解得点，
，
，
设直线的解析式为：，
将，代入可得，
∴直线的解析式为：，
∴直线过定点．
【点睛】本题属于二次函数的综合题，主要考查待定系数法求解析式，平行四边形存在性等内容熟练掌握直线与二次函数的交点求法，本题的关键是可以通过直线与抛物线的图象只有一个交点得出直线和直线的k与m和n的关系．
A
B
C
A
（A，A）
（A，B）
（A，C）
B
（B，A）
（B，B）
（B，C）
C
（C，A）
（C，B）
（C，C）