人教A版高中数学(必修第一册)期末复习 指数函数、对数函数的综合应用+提升训练（2份，原卷版+教师版）

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(1)求函数在上的解析式，并判断在上的单调性（不需证明）；
(2)若不等式在区间上有解，求实数m的范围．
【解题思路】（1）根据奇函数的性质即可求解；
（2）根据奇函数的单调性，将问题转化为在区间上有解，求最值即可.
【解答过程】（1）解：∵是定义域为R的奇函数，∴，得，
设，则，，
∵在上递增，在上递增，∴在上为增函数；
（2）∵，∴，
∵是上的增函数，∴．
由于，∴，由于在上递增，∴，得.
2.已知函数，.
(1)判断的奇偶性并证明；
(2)若函数，，是否存在，使得的最小值为0.若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【解题思路】(1)根据偶函数的定义判断；(2)将转化为二次函数，分类讨论求函数的最值.
【解答过程】（1）证明：定义域为，
，
所以为偶函数；
（2），
当时，，令，则，，
当时，即，在上单调递增，
所以时，，解得;
当时即，时，，解得不成立；
当时，即，在上单调递减，
所以时，.解得不成立.
故存在满足条件的.
3.已知函数（其中，为常数，且，）的图象经过点，．
(1)求的值；
(2)当时，函数的图象恒在函数图象的上方，求实数t的取值范围．
【解题思路】（1）将点代入函数，即可求出的值，则可求出答案；
（2）当时，函数的图象恒在函数图象的上方可等价于当时，不等式恒成立，利用参变分离可得当时，，易知函数在上单调递减，由此即可求出答案.
【解答过程】（1）∵函数（其中，为常数，且，）的图象经过点，，
∴∴，∴（舍）或，，∴；
（2）由（1）得当时，函数的图象恒在函数图象的上方，
即当时，不等式恒成立，亦即当时，．
设，
∵在上单调递减，在上单调递减，
∴在上单调递减，∴，∴．
4.已知函数，.
(1)判断函数的奇偶性，并给出证明；
(2)求不等式的解集.（结果用m，n表示）
【解题思路】（1）先求出函数的定义域，然后根据函数奇偶性的定义判断即可，
（2）原不等式化为，则得，令，则转化为且，解出的范围，从而可求出不等式的解集.
【解答过程】（1）为偶函数，理由如下：
依题意，函数的定义域为，则定义域关于原点对称，
而，故，
故函数为偶函数；
（2）依题意，，则，
令，则，从而（*）式可化为，
所以且所以且.故且，
即不等式的解集为.
5.已知指数函数（且）的图像过点．
(1)设函数，求的定义域；
(2)已知二次函数的图像经过点，，求函数的单调递增区间．
【解题思路】（1）根据条件求出解析式，再列出不等式即可求得定义域.
（2）由待定系数法求得解析式，再根据复合函数的单调性即可得到结果.
【解答过程】（1）由题意知，解得，所以，，
令，解得．所以的定义域为．
（2）设，则，
，由，
得，解得，则，
又，所以，所以在上单调递减，
又在上是减函数，所以函数的单调递增区间为．
6.已知函数（为常数，，且）的图象经过点，．
(1)试确定函数的解析式；
(2)若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围．
【解题思路】（1）根据题意，得到方程组，求得的值，即可求解；
（2）根据题意转化为函数在区间上的最小值不小于，结合函数的单调性求得最小值，即可求解.
【解答过程】（1）解：因为函数的图象经过点和，
可得，结合，且，解得，所以函数的解析式为．
（2）解：要使在区间上恒成立，只需保证函数在区间上的最小值不小于即可，因为函数在区间上单调递减，
所以当时，取得最小值，最小值为，
所以只需即可，即实数的取值范围为．
7.已知函数的图象过点．
(1)求函数和的解析式；
(2)设，若对于任意，都有，求m的取值范围．
【解题思路】（1）根据题意结合指对数运算求解；（2）先根据区间的定义求的取值范围，结合二次函数及作差法求，根据恒成立问题可得，再利用单调性解不等式.
【解答过程】（1）因为函数的图象过点，
所以，解得，所以．
（2）因为且，所以且，
因为在上单调递减，在上单调递增，所以的最大值是或．
因为．
所以，若，只需，
即，则，设，
任取且，
则，
因为，所以，，即，所以，
所以，即，所以在区间上单调递增，且，
所以，即，
所以，所以m的取值范围是．
8.已知定义在上的函数满足，且，.
(1)求的值；若函数的定义域为，求的值域.
(2)设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围.
【解题思路】（1）利用可求得；根据复合函数定义域的求法可求得的定义域，结合的解析式可求得值域；
（2）根据单调性的性质可确定在上单调递增，由此可得在上的最小值为，根据能成立的思想，结合，分离变量可将问题转化为，由此可求得的取值范围.
【解答过程】（1），
，解得：，；
若定义域为，则由得：，即的定义域为；
，，
当时，，值域为.
（2）由（1）得：；
在上单调递增，在上单调递增，
又在上单调递增，在上单调递增；
当时，；
对任意的，存在，使得，
存在，，即，
在上单调递增，，
，解得：，即实数的取值范围为.
9.设函数，函数的图像与的图像关于对称.
(1)求的解析式
(2)是否存在实数，使得对，不等式恒成立，若存在求出，若不存在，说明理由.
【解题思路】（1）根据反函数的定义及性质可知与互为反函数，即可求出的解析式；
（2）由（1）可得不等式即为恒成立，令 ，则问题转化为关于的不等式在上恒成立，结合一次函数的性质计算可得.
【解答过程】（1）解：因为函数的图像与的图像关于对称，
所以与互为反函数，因为，所以；
（2）解：不等式恒成立，即恒成立，
令 ，则关于的不等式，即在上恒成立，
令，，
因为，所以在上单调递增，依题意只需，解得，所以；
10.已知函数，且）．
(1)若函数的图象与函数的图象关于直线对称，且点在函数的图象上，求实数的值；
(2)已知函数，．若的最大值为8，求实数的值．
【解题思路】（1）由题意可知，然后将点代入可求出的值，
（2）由（1）得，令，则，然后分和两种情况结合二次函数的性质求解即可.
【解答过程】（1）因为函数，且）的图象与函数的图象关于直线对称，
所以（，且），
因为点在函数的图象上，所以，解得，或（舍去），
（2） ．
令．①当时，由，有，
二次函数的对称轴为，
可得最大值为，解得或（舍去）；
②当时，由，有，
二次函数的对称轴为，
可得最大值为，解得或（舍去），
综上，实数的值为或2．
11.已知函数，函数．
(1)求不等式的解集；
(2)若，使得，求实数m的取值范围．
【解题思路】（1）由对数函数的性质可得，然后通过换元法及指数函数的性质即得；
（2）由题可得，然后根据指数函数，对数函数的性质及二次函数的性质求函数最值即得.
【解答过程】（1）
由，可知的定义域为，
由，得,
令，则，解得，
由，得，所以不等式的解集为；
（2）由题意，，有，所以，
因为，有，所以，
又，使得，只要即可，
因为函数，的图象开口向上，且它的对称轴方程为，
①当时，，即所以；
②当时，，解得，所以；
综上所述，m的取值范围为．
12.已知函数是偶函数．
(1)求的值；
(2)若函数，且在区间上为增函数，求m的取值范围．
【解题思路】（1）根据偶函数的定义列出等式结合对数的运算即可求解；
（2）根据指数函数的单调性，利用复合函数的单调性法则，利用换元方法转化为二次函数的单调性问题，进而根据二次函数的单调性即可求解.
【解答过程】（1）由是偶函数可得， ．
则，即 ,所以恒成立，
故.
（2）由（1）得，所以，
令，则 ．为使为单调增函数，则
①时显然满足题意； ②；③.
综上：m 的范围为.
13.若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“函数”．
(1)判断定义在区间上的函数是否为“函数”，并说明理由；
(2)若函数在定义域上是“函数”，求的取值范围．
【解题思路】（1）根据函数定义可得，再判断对任意，对应的范围，结合“函数”定义判断；
（2）由题设可得，根据“函数”定义有，由值域的包含关系得且，代入结合二次函数性质求范围.
【解答过程】（1）不是，理由如下：因为，，所以，
对任意，，，所以定义在上的不是“函数”．
（2）在定义域上是“函数”，
由于在定义域上单调递增，则．
对任意，，都存在，使，
则，
所以，即，则，即，
所以，即．
因为，所以，所以，
所以，即的取值范围为．
14.已知函数为偶函数.
(1)求实数的值;
(2)解关于的不等式;
(3)设，若函数与图象有个公共点，求实数的取值范围.
【解题思路】（1）根据偶函数的定义及性质直接化简求值；
（2）判断时函数的单调性，根据奇偶性可得函数在各区间内的单调性，解不等式即可；
（3）由函数与图象有个公共点，可得有两个实数根，再利用换元法转化为二次方程有两个根，利用判别式求参数范围.
【解答过程】（1）函数的定义或为，
函数为偶函数.，即 ，
，；
（2），
当时，，单调递增，在上单调递增，
又函数为偶函数，所以函数在上单调递增，在上单调递减；
，，解得或，
所以所求不等式的解集为 ；
（3）函数与图象有个公共点，，
即，，设，则，即，
又在上单调递增，所以方程有两个不等的正根；
，
解得，即的取值范围为.
15.已知定义在R上的函数满足且，．
(1)求的解析式；
(2)若不等式恒成立，求实数a取值范围；
(3)设，若对任意的，存在，使得，求实数m取值范围．
【解题思路】（1）根据，代入计算可得；
（2）根据单调性得，分离参数求最值即可.
（3）因为对任意的，存在，使得，等价于，先求的最小值，再分类讨论对称轴与区间的位置关系，使的最小值满足小于等于1的条件，求解即可.
【解答过程】（1）由题意知，，
即，所以，故.
（2）由（1）知，，所以在R上单调递增，
所以不等式恒成立等价于， 即恒成立.
设，则，，当且仅当，即时取等号，所以，
故实数a的取值范围是.
（3）因为对任意的，存在，使得，
所以在上的最小值不小于在上的最小值，
因为在上单调递增，所以当时，，
又的对称轴为，，
当时，在上单调递增，，解得，所以；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
，解得，所以；
当时，在上单调递减，，解得，所以，
综上可知，实数m的取值范围是.
16.已知常数，函数，设该函数的图像为.
(1)若图像经过点，求的值.
(2)对于（1）中求得的，解方程;
(3)是否存在整数，使得有最大值且该最大值也是整数?如果存在，求出的值;如果不存在，请说明理由.
【解题思路】（1）根据题意得到，再解对数方程即可.
（2）根据题意得到，再解对数方程即可.
（3）首先令得，设，要使有最大值，需有最大值，再分类讨论求出的最大值即可得到答案.
【解答过程】（1）由题知：，解得.
（2）当时，
即，
整理得：，解得或.
当时，，，符合题意，
当时，，舍去. 故.
（3），令得，.
令，解得，因为，所以.
设，要使有最大值，需有最大值.
，开口向下，对称轴为.
当时，即时，在区间为减函数，此时无最大值，舍去.
当时，在区间为增函数，在区间为减函数，
所以.即.
因为，所以，令，且，，则，.
解得，当且仅当取等号.此时，，
所以存在使得有最大值.
17.已知定义在R上的函数满足，且，.
(1)求的解析式；
(2)若不等式恒成立，求实数a的取值范围；
(3)设，若对任意的，存在，使得，求实数m的取值范围.
【解题思路】（1）根据计算可得；
（2）根据单调性得，分离参数求最值即可.
（3）因为对任意的，存在，使得，
等价于，分别求的最小值和的最小值即可.
【解答过程】(1)由题意知，，
即，所以，故.
(2)由（1）知，，所以在R上单调递增.
所以不等式恒成立等价于， 即恒成立.
设，则，，当且仅当，即时取等号，
所以.故实数a的取值范围是，
(3)因为对任意的，存在，使得，
所以在上的最小值不小于在上的最小值
因为在上单调递增，
所以当时，. 的对称轴为，，
当时，在上单调递增，，解得，
所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增，
，解得，所以；
当时，在上单调递减，，解得，
所以. 综上可知，实数m的取值范围是.
18.已知函数．
(1)若在区间为单调增函数，求的取值范围；
(2)设函数在区间上的最小值为，求的表达式；
(3)设函数，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解题思路】(1)若在区间为单调增函数,则，解得a的取值范围；
(2)分类讨论给定区间与对称轴的关系，分析出各种情况下的表达式，综合讨论结果，可得答案；
(3)不等式恒成立，即，分类讨论各种情况下实数a的
取值，综合讨论结果可得答案.
【解答过程】（1）因为的图象开口向上，对称轴方程为，
所以在区间为单调增函数需满足，解得.
（2）①当，即时，在区间为单调增函数，此时.
②当，即时，在区间上是减函数，在区间上为增函数，此时.
③当即时，在区间上为减函数，此时，
综上所述，
（3）对任意，不等式恒成立，即，由（2）知，，
因为，所以在上为单调递减函数，
所以
①当时，由得解得（舍去）
②当时，由得，即
，解得或，所以.
③当时，由得，解得，所以.
综上，实数的取值范围.
指数函数、对数函数的综合应用 随堂检测
1.已知函数．
(1)若，求的取值范围；
(2)当时， 求函数的值域．
【解题思路】（1）设，将不等式转化为二次不等式，解不等式，结合对数函数的单调性及对数函数的定义域解不等式即可；
（2）设，可得，该函数可转化为关于的二次函数，根据二次函数的性质求值域.
【解答过程】（1）设，，，
所以，即，解得，
所以，解得，即；
（2）由（1）得，当，，所以函数可转化为，，
当时，取最小值为，当或时，取最大值为，
即当时，取最小值为，当或时，取最大值为，即函数的值域为.
2.已知函数，其中．
(1)判断函数的奇偶性并证明；
(2)求函数的值域．
【解题思路】（1）由对数的运算得出，再由定义证明即可；
（2）根据基本不等式结合对数函数的单调性得出函数的值域．
【解答过程】(1)是偶函数，的定义域为R
∵，
∴，∴是偶函数．
(2)∵，当且仅当时取等号，
∴
∴的值域为．
3.已知函数是偶函数．
(1)求 ；
(2)解不等式
【解题思路】（1）结合偶函数性质以及对数运算法则即可解出；
（2）结合对数运算法则，将原函数化成对数形式，则不等式等价为，求解即可
【解答过程】（1）是偶函数，，即对任意恒成立，，．
（2）∵，
则不等式等价于，由解得；
由得，得，即，
综上，不等式的解为.
4.已知函数是偶函数．
(1)求a的值及的最小值；
(2)求不等式的解集．
【解题思路】（1）由偶函数的定义列式子可求出a的值，对函数化简后，利用基本不等式可求出其最小值，
（2）先判断出在上是增函数，然后根据其单调性和奇偶性解不等式
【解答过程】（1）由题意得，即，
所以，解得．
所以，
因为，当且仅当，即时取等号，在定义域内为增函数，
所以的最小值为．
（2）对于，任取，且，
则 ，
因为，且，所以，，，
所以，即，所以在上是增函数，
因为在定义域内为增函数，所以在上是增函数，所以是偶函数，
所以由，得，
即，解得．
5.已知函数（，且）.
(1)当时，求的单调性.
(2)是否存在实数，使得在上取得最大值2?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【解题思路】（1）先求出函数的定义域，再利用换元法求解函数的单调区间，
（2）令，则由，得的值域为，然后分，求函数的最大值，使其等于2，列方程可求出的值.
【解答过程】（1）由题意可得解得，即的定义域为.
当时，.
令（），则，对称轴为，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
因为在定义域内递增，所以在上单调递增，上单调递减.
（2），令，
因为，所以的值域为.
当时，在上的最大值是，则，即，解得；
当时，在上的最大值是，则，即，解得.
综上，的值为或.
6.已知函数是偶函数，且.
(1)求的解析式：
(2)若不等式对恒成立，求m的取值范围.
【解题思路】（1）根据已知条件，以及偶函数的性质.
（2）利用分离参数法处理恒成立问题，再利用对数的运算性质对式子化简变形，求函数的最值.
【解答过程】(1)因为，所以，解得.
因为是偶函数，所以，即，
所以，解得.故.
(2)因为不等式对恒成立，即不等式对恒成立，所以对恒成立.
设.
因为，所以，所以，则.
故，即m的取值范围为.