备战2025年高考数学二轮复习课件数学思想方法第3讲分类讨论思想

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【思想概述】分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时,需对研究的对象按某个标准进行分类,然后对每一类分别研究,给出每一类的结论,最终综合各类结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论就是“化整为零,各个击破,再集零为整”的数学思想.
应用一 由概念、公式、法则、计算性质引起的分类讨论
例1(2023天津,15)若函数f(x)=ax2-2x-|x2-ax+1|有且仅有两个零点,则a的取值范围为　　　　 　. 
(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞)
解析 令g(x)=x2-ax+1,方程g(x)=0的判别式Δ=a2-4.①当Δ≤0,即-2≤a≤2时,x2-ax+1≥0恒成立,所以f(x)=ax2-2x-x2+ax-1=(a-1)x2+(a-2)x-1=[(a-1)x-1](x+1).若a=0或a=1,则f(x)仅有一个零点-1;若a≠0且a≠1,则f(x)有两个零点-1, ②当Δ>0,即a>2或a2,则此时点Q的轨迹为以O,A为焦点的双曲线;
当点A在圆内(非原点)时,如图(3)所示,此时|QA|+|QO|=|QO|+|QP|=2,又0