安徽省铜陵市第三中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷（Word版附解析）

铜陵市第三中学高二级部10月份月考数学试题（卷面值：150分 考试时间：120分钟 命题： ）注 意 事 项：1.本试卷共4页.答题前，请考生务必将自己的学校、姓名、座位号写在答卷的密封区内.2.作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答卷的指定位置上，作答选择题必须将答案写在答卷的相应题号框内.请保持试卷卷面清洁，不折叠、不破损. 3.考试结束后，请将答卷和答题卡交回. 第一卷（选择+填空=73分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知空间向量，，若，则（ ）A. 1 B. C. D. 3【答案】B【解析】【分析】由空间向量垂直的坐标表示即可求解.【详解】因为，，且，所以，解得，故选：B.2. 已知空间向量，，若，则实数（ ）A. 0 B. 2 C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据空间向量平行的性质求解即可.【详解】由，可设，则，所以，故选：D3. 已知的三个顶点分别为，，，则BC边上的高等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用向量运算以及向量的夹角公式进行求解.【详解】由题意，，，可得，，，即角B为锐角，所以，所以边上的高.故选：B4. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ）A. B. 向量在向量上的投影向量是C. D. 与向量方向相同的单位向量是【答案】D【解析】【分析】利用向量平行的坐标表示判断A；根据投影向量定义求向量在向量上的投影向量判断B；应用向量数量积运算律求判断C；由单位向量定义求与向量方向相同的单位向量判断D.【详解】A：由，故不成立，错；B：由，错；C：，则，错；D：与向量方向相同的单位向量是，对.故选：D5. 已知角的对边分别为满足，则角的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理及基本不等式求解即得.【详解】在中，由正弦定理及，得，即，由余弦定理得，当且仅当时取等号，而，则，所以角最大值为.故选：A6. 在三棱锥中，是的重心，是上的一点，且，若，则（ ） A. B. C. D. 1【答案】B【解析】【分析】如图，取BC的中点E，连接AE，利用三角形法则和三角形重心的性质以及中线的性质即可求解.【详解】如图，取BC的中点E，连接AE，由，得，所以.故选：B. 7. 堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.如图，在堑堵中，，若，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可得到结果.【详解】由题意得，平面以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系如图所示，则，，所以.设异面直线与所成的角为，则.故选：A.8. 在空间直角坐标系中，四面体SABC各顶点坐标分别为，，，，则该四面体外接球的表面积是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意，四面体的外接球就是棱长为4的正方体的外接球，直径为正方体的对角线，即可求出四面体的外接球的体积.【详解】由题意计算可得，，，.，，，所以平面ABC，故四面体SABC是底面ABC为等腰直角三角形，侧棱SC垂直底面ABC的几何体，所以四面体的外接球就是棱长为4的正方体的外接球，其直径为正方体的对角线的长，半径为.所以该四面体外接球的表面积.故选：D【点睛】本题考查了多面体的外接球问题以及球的表面积，考查了向量的数量积在几何中的应用，解决此题还需熟记球的表面积公式，属于中档题.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9. 空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（ ）.A. B. 若，则C. 点关于平面对称的点的坐标为D. 【答案】AB【解析】【分析】由向量的坐标运算可判断A，由数量积的坐标运算可判断B，由关于平面对称的点的坐标特点可判断C，由向量模的坐标运算可判断D.【详解】对A，，故A正确；对B，，所以，故B正确；对C，点关于平面对称的点的坐标为，故C错误；对D，，故D错误.故选：AB.10. 如图，在正方体中，，点，分别在棱和上运动（不含端点），若，则下列命题正确的是（ ） A. B. 平面C. 线段长度的最大值为1 D. 三棱锥体积不变【答案】AD【解析】【分析】首先建立空间直角坐标系，利用坐标表示条件中的垂直关系，即可判断选项ABC；利用等体积转化，即可判断D.【详解】如图，建立空间直角坐标系，，，设，，且，，，，得，，所以，故，故A正确；，，，所以与不垂直，则不垂直与平面，故B错误；，，，所以时，的最大值为，故C错误；，故D正确. 故选：AD11. 已知向量的数量积（又称向量的点积或内积）：，其中表示向量的夹角；定义向量的向量积（又称向量的叉积或外积）：，其中表示向量的夹角，则下列说法正确的是（ ）A. 若为非零向量，且，则B. 若四边形为平行四边形，则它的面积等于C. 已知点为坐标原点，则D. 若，则的最小值为【答案】BCD【解析】【分析】对于A，由题意可得，进一步即可判断；对于B，由三角形面积公式即可判断；对于C，由向量的夹角公式、模的计算公式直接验算即可；对于D，由条件等式得，结合数量积的运算律以及基本不等式即可求解.【详解】对于A中，因为是非零向量，由，可得，即，可得，且，解得或，所以A错误；对于B中，由，所以B正确；对于C中，因为，可知，则，且，可得，所以，故C正确；对于D中，因为，即，可得，可知，可得，则，所以，当且仅当时，等号成立，所以D正确，故选：BCD.【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；（3）将已知条件代入新定义的要素中；（4）结合数学知识进行解答.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知，，且，则向量与的夹角为__________【答案】【解析】【分析】根据向量数量积的坐标运算求出，再利用夹角公式求夹角.【详解】因为，，，所以，解得；，因为，所以.故答案为：.13. 如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为________. 【答案】【解析】【分析】解法1：先根据得到，从而可得，再根据三点共线定理，即可得到的值.解法2：根据图形和向量的转化用同一组基底去表示，根据图形可得：，设，通过向量线性运算可得：，从而根据平面向量基本定理列方程组，解方程组得的值.【详解】解法1：因为，所以，又，所以因为点三点共线，所以，解得：.解法2：因为，设，所以，因为，所以，又， 所以，所以，又，所以 解得： ，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算、三点共线定理，平面向量基本定理的运用，属于基础题.14. 点是棱长为的正四面体表面上的动点，是该四面体内切球的一条直径，则的最大值是_______________.【答案】【解析】【分析】作出图形，计算出正四面体内切球的半径，由此可求得，由空间向量数量积的运算性质得出，进而可知当点为正四面体的顶点时，取得最大值，即可得解.【详解】如下图所示：正四面体棱长为，其内切球球心为点，连接并延长交底面于点，则为正的中心，且平面，连接并延长交于点，则为的中点，且，，，平面，平面，，则，的面积为，正四面体的体积为，设球的半径为，则，，，，，，当点位于正四面体的顶点时，取最大值，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查空间向量数量积的最值的计算，同时也考查了正四面体内切球半径的计算，考查计算能力，属于较难题.第二卷（解答题77分）四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 已知，，且．（1）若，求的值；（2）求与夹角的余弦值．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据向量垂直，列方程，解方程即可；（2）根据向量夹角公式直接计算即可.【小问1详解】由已知，则，解得；【小问2详解】由已知，且，所以.16. 设ΔABC的内角所对的边分别为，已知．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，边上的中线，求ΔABC的面积．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）由正弦定理化简得到答案.（Ⅱ），平方，代入公式利用余弦定理得到答案.【详解】（Ⅰ）因为，由正弦定理得，即，所以，因为，所以，又因为，所以． （Ⅱ）由M是中点，得，即，所以，①又根据余弦定理，有，②联立①②，得．所以ΔABC的面积．【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，向量加减，综合性强，意在考查学生综合应用能力.17. 如图，在平行六面体中，，，，，，是的中点，设，，.（1）用，，表示；（2）求的长.【答案】（1） （2）.【解析】【分析】（1）由向量的首尾相连原则及图形可得答案；（2）由（1）及计算模公式可得答案.【小问1详解】由图形及向量相加的首尾相连原则，；【小问2详解】由题可得，.则，则，即的长为.18. 如图，四棱锥的底面为正方形，，平面，分别是线段的中点，是线段上的一点. （1）求证：平面平面；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，且点不是线段的中点，求三棱锥体积.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】分析】（1）由线面垂直判定可证得平面，由中位线性质知，从而得到平面，由面面垂直判定可得结论；（2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设，，由线面角的向量求法可构造方程求得，结合垂直关系可得平面的距离为，利用棱锥体积公式可求得结果.【小问1详解】连接，分别是线段的中点，，底面四边形为正方形，，平面，平面，，又，平面，平面，，平面，又平面，平面平面.【小问2详解】以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，设，，则，，，设平面的一个法向量为，则，令，解得：，，；设直线与平面所成角为，，解得：或（舍），，平面，平面，；，，平面，平面，到平面的距离为，. 19. 如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，M，N分别是，的中点，点在线段上，且.（1）证明：；（2）当取何值时，直线与平面所成角最小?（3）是否存在点，使得平面与平面所成二面角的正弦值为，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在，点为上靠近的四等分点【解析】【分析】（1）建系标点，利用空间向量证明线线垂直；（2）求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角，结合二次函数分析求解；（3）假设存在，利用空间向量处理面面夹角，列式求解即可.【小问1详解】因为，，则，即，如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系，则，可得，，即，，又因为，可得，所以无论取何值，.【小问2详解】由（1）可知：，设平面的一个法向量为，则，取，则，可得，可得，令，则，所以当，即时，取得最小值，此时.【小问3详解】假设存在，易知平面的一个法向量为因为，，设是平面的一个法向量，则，令，可得，可得，则，化简得，解得或，因为，可得，所以存在点使平面与平面所成二面角正弦值为，点为上靠近的四等分点.