北师大版2024-2025学年六年级上册数学培优拓展讲义第2讲分数混合运算(单元讲义)(学生版+解析)

这是一份北师大版2024-2025学年六年级上册数学培优拓展讲义第2讲分数混合运算(单元讲义)(学生版+解析)，共61页。学案主要包含了精练题01，精练题02，精练题03，思路点拨，规范解答，考点评析等内容，欢迎下载使用。
（导图+知识精讲+高频易错点六大考点讲练+难度分层练）
教学目标：
梳理本单元知识点，整理有关分数混合运算顺序，运算定律以及分数在日常实际应用中的问题，帮助学生建立完整的知识体系。
通过不同形式的练习，分层次检验学生知识掌握情况，在练习中巩固强化，查漏补缺。
在解题过程中培养学生读题能力，提高学生分析、解决问题的能力。
教学重点：分数混合运算
教学难点：分数在日常实际应用中的问题，帮助学生建立完整的知识体系
TOC \t "标题 2,1" \h \u \l "_Tc19250" 考点一：分数乘除混合运算 PAGEREF _Tc19250 \h 6
\l "_Tc17849" 考点二：分数的四则混合运算 PAGEREF _Tc17849 \h 9
\l "_Tc12702" 考点三：分数的简便计算（运算定律的分数应用） PAGEREF _Tc12702 \h 11
\l "_Tc7921" 考点四：分数四则复合应用题 PAGEREF _Tc7921 \h 16
\l "_Tc14600" 考点五：四则混合运算中的巧算（拓展题） PAGEREF _Tc14600 \h 19
\l "_Tc8312" 考点六：工程问题（拓展题—典型应用题） PAGEREF _Tc8312 \h 24
\l "_Tc24033" 中档题真题专练 PAGEREF _Tc24033 \h 29
\l "_Tc24904" 培优题真题专练 PAGEREF _Tc24904 \h 36
第一部分
知识点01：分数的乘除法的混合运算
运算顺序：与整数混合运算的运算顺序相同，都是先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里的。
转换方法：当遇到分数乘除混合运算时，要先把除法转换成乘法（即除以一个数等于乘上这个数的倒数）。
约分与计算：在转换成乘法后，可以根据需要进行约分，再进行计算。
知识点02：分数的连乘运算
运算顺序：从左到右依次计算。
约分：如果是分数连乘，可先进行约分（交叉约分），再进行计算。
知识点03：连续求一个数的几分之几是多少的问题
解题思路：首先确定单位“1”的量，然后根据题目描述，确定需要求解的未知数是单位“1”的几分之几。
解题方法：
方法一：先求出多或少的具体量，再用单位“1”的量加或减去多或少的部分，求出要求的问题。
方法二：用单位“1”加或减去多或少的几分之几，求出未知数占单位“1”的几分之几，再用单位“1”的量乘这个分数。
知识点04：分数的连除运算
转换方法：分数连除可以转化为乘法运算，即除以一个数等于乘上这个数的倒数。
计算方法：
方法一：可以先分步转化为乘法，再约分计算。
方法二：可以一次都转化成乘法，再约分计算。
第二部分
知识点01：求比一个数多或少几分之几的数是多少
这个知识点主要考察的是对分数增减运算的理解。假设我们有一个数A，要求比A多或少几分之几（例如）的数，我们可以按照以下步骤进行计算：
确定基数A。确定增减的分数（例如）。
如果要求比A多的数，则计算 A + A ÷；如果要求比A少的数，则计算 A - A ÷。
知识点02：整数乘法运算定律推广到分数乘法
:整数乘法的运算定律（如交换律、结合律、分配律）在分数乘法中同样适用。这些定律的推广使得分数乘法的计算更加简便和灵活。
交换律：a ÷ b = b ÷ a（其中a和b都是分数）。
结合律：(a ÷ b) ÷ c = a ÷ (b ÷ c)（其中a、b、c都是分数）。
分配律：a ÷ (b + c) = a ÷ b + a ÷ c（其中a、b、c都是分数）。
知识点03：分数除法相关的简便计算
分数除法的简便计算主要依赖于将除法转换为乘法的逆运算。即，除以一个数等于乘以这个数的倒数。例如，a ÷ b = a ÷（其中a和b都是分数，且b不为0）。
此外，当遇到多个分数连续相除时，可以一次性地将所有除数转换为它们的倒数，然后进行乘法运算。例如，a ÷ b ÷ c = a ÷ ÷ 。
知识点04：已知总量及一部分分率，求另一部分量
:这个知识点主要考察的是对分数应用题的理解。假设我们知道总量为T，其中一部分的分率为p（以分数形式表示），那么这一部分的量就是 T ÷ p。要求另一部分的量，我们可以用总量T减去已知部分的量，即 T - T ÷ p。
第三部分
知识点01：已知比一个数多或少几分之几是多少，求这个数
这个知识点主要考察的是对分数增减运算的逆向应用。题目通常会给出某个数比另一个数多或少几分之几，然后给出具体的结果，要求求出原来的数。
解题步骤：
理解题意：明确题目中给出的“多几分之几”或“少几分之几”以及具体的结果。
设立未知数：设原来的数为x。
建立方程：根据题目描述，建立包含x的方程。
解方程：解出x的值。
知识点02：已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量
这个知识点主要考察的是对分数比例的应用。题目会给出总量中的一部分量所占的比例以及另一部分量的具体数值，要求求出总量。
解题步骤：
理解题意：明确题目中给出的比例和具体数值。
设立未知数：设总量为x。
建立方程：根据题目描述，利用比例关系建立包含x的方程。
解方程：解出x的值。
知识点03：运用转化法或倒推法解决稍复杂的分数应用题
在解决稍复杂的分数应用题时，转化法和倒推法是非常有效的解题技巧。
转化法：
转化法是将题目中的复杂条件或问题转化为简单、易于理解的形式。例如，可以将分数转化为小数，或将复杂的比例关系转化为简单的等式。
倒推法：
倒推法是从问题的结果出发，逆向推导出问题的初始条件或已知条件。这种方法在解决逆向思维问题时特别有效。
易错知识点01：分数的乘除法的混合运算
运算顺序的混淆：学生可能会忘记先乘除后加减的原则，或者在有括号的情况下，没有先计算括号内的内容。
易错提示：确保遵循运算的优先级，即先乘除后加减，有括号先算括号内的内容。
分数除法的转换：学生可能忘记将分数除法转换为分数乘法，即除以一个数等于乘以这个数的倒数。
易错提示：在进行分数除法运算时，始终记得将除法转换为乘法。
约分与计算的混淆：学生可能在乘除运算过程中忘记约分，或者在约分后忘记继续完成计算。
易错提示：在乘除运算中，先进行约分，然后再进行计算。
易错知识点02：分数的连乘运算
运算顺序的错误：学生可能会从左到右依次计算时出错，或者忘记乘法的结合律和交换律。
易错提示：从左到右依次计算，并充分利用乘法的结合律和交换律进行简化。
约分的错误：在连乘运算中，学生可能会忘记约分，或者约分错误。
易错提示：在连乘运算中，注意寻找公共因子进行约分。
易错知识点03：连续求一个数的几分之几是多少的问题
单位“1”的确定：学生可能会在确定单位“1”的量时出错，导致后续计算错误。
易错提示：仔细理解题目，确定正确的单位“1”的量。
计算方法的错误：学生可能会在计算过程中出错，如忘记先求多或少的部分，或者忘记用单位“1”的量乘上对应的分数。
易错提示：按照题目要求，先求出多或少的部分，再用单位“1”的量乘上对应的分数。
易错知识点04：分数的连除运算
转换方法的错误：学生可能会忘记将连除运算转换为连乘运算，即将除法转换为乘法。
易错提示：在连除运算中，始终记得将除法转换为乘法。
计算方法的错误：在连除运算转换为连乘运算后，学生可能会在计算过程中出错。
易错提示：确保在转换为连乘运算后，按照乘法运算的规则进行计算。
易错知识点05：求比一个数多或少几分之几的数是多少
理解错误：学生可能不理解“多几分之几”或“少几分之几”的含义，导致计算方向错误。
计算错误：在计算增加或减少的部分时，学生可能会忘记乘以基数，或者计算错误。
易错知识点06：整数乘法运算定律推广到分数乘法
定律混淆：学生可能会混淆交换律、结合律和分配律，导致计算错误。
分数乘法计算错误：在进行分数乘法时，学生可能会忘记约分，或者计算错误。
易错知识点07：分数除法相关的简便计算
忘记转换为乘法：学生可能会忘记将分数除法转换为乘法进行计算。
计算错误：在转换为乘法后，学生可能会忘记乘以除数的倒数，或者计算错误。
易错知识点08：已知总量及一部分分率，求另一部分量
理解错误：学生可能不理解题目中的“总量”和“一部分分率”的含义，导致计算方向错误。
计算错误：在计算已知部分或未知部分时，学生可能会忘记乘以总量或分率，或者计算错误。
易错知识点09：已知比一个数多或少几分之几是多少，求这个数
易错点：
理解题意不清：学生可能没有正确理解题目中的“多几分之几”或“少几分之几”的含义，导致解题方向错误。
设立方程错误：在设立未知数时，学生可能会将未知数设立在错误的位置，导致方程建立不正确。
计算错误：在解方程的过程中，学生可能会出现计算错误，导致最终答案不正确。
解题策略：
仔细审题，明确题目中的“多几分之几”或“少几分之几”是指哪个数与哪个数之间的关系。
设立未知数，通常设要求的数为未知数。
根据题目描述，建立包含未知数的方程。
解方程，得出未知数的值。
易错知识点10：已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量求总量
易错点：
比例关系理解不清：学生可能没有正确理解题目中给出的比例关系，导致解题方向错误。
计算错误：在根据比例关系计算总量时，学生可能会出现计算错误。
解题策略：
仔细审题，明确题目中给出的比例关系以及另一部分量的具体数值。
设立未知数，通常设总量为未知数。
根据比例关系，建立包含未知数的方程。
解方程，得出未知数的值，即总量。
易错知识点11：运用转化法或倒推法解决稍复杂的分数应用题
易错点：
转化方法不当：学生可能没有找到合适的转化方法，导致问题复杂化。
倒推步骤错误：在使用倒推法时，学生可能会出现步骤错误，导致最终答案不正确。
解题策略：
转化法：
仔细审题，找出题目中的关键信息。
尝试将题目中的复杂条件或问题转化为简单、易于理解的形式。
转化后，按照常规方法解题。
倒推法：
从问题的结果出发，逆向推导出问题的初始条件或已知条件。
逐步倒推，每一步都要确保正确无误。
得出最终答案后，检查是否符合题目要求。
考点一：分数乘除混合运算
【精讲题】（2023秋•徐州期末）一块长方形地，长20米，宽是长的，求这块地的面积，算式正确的是
A．B．C．D．
【精练题01】（2023秋•凉州区期末）直接写出得数。
【精练题02】（2022秋•连云区期末）用你喜欢的方法计算。
【精练题03】（2023秋•宛城区期中）看图列式计算：
【精讲题】（2024•禅城区模拟）列式并计算“加的和乘2.4”是
A．B．
C．D．
【精练题01】（2023秋•太子河区期末）言言在计算时，错算成了，计算结果与正确得数相比
A．大了B．小了C．一样D．无法判断
【精练题02】（2024•沾化区模拟）直接写出得数。
【精练题03】（2024•新城区模拟）脱式计算。
考点三：分数的简便计算（运算定律的分数应用）
【精讲题】（2024•新宁县校级模拟）脱式计算，能简算的要简算。
【精练题01】（2024•天门模拟）怎样简便怎样算。
（1） （2）
（3） （4）
【精练题02】（2023秋•太子河区期末）脱式计算。（能简算的要简算）

【精练题03】（2023秋•咸宁期末）计算下面各题，怎样简便就怎样计算。
考点四：分数四则复合应用题
【精讲题】（2024•南京模拟）自然界中有许多动物都需要冬眠。蛇的冬眠时间约是180天，熊的冬眠时间约是蛇的，又是青蛙冬眠时间的。青蛙的冬眠时间约是 天。
A．96B．216C．180
【精练题01】（2024•雨城区校级模拟）某少年夏令营的学生来自四个直辖市，其中有的学生来自上海，有24名同学来自天津，来自北京的人数是来自上海和天津的人数之和的倍，有的学生来自重庆，夏令营的学生一共有 人。
【精练题02】（2024春•中原区期末）周末，聪聪和爸爸一起去登山，登山路线如图所示。从山脚出发到山顶，他们全程一共游览了2个景点，景点位于全程的处，景点位于全程的处。
（1）景点到景点的路程占全程的几分之几？
（2）他们从山脚出发，攀登了全程的后停下休息，然后又继续向山顶方向攀登了全程的。这时他们登山的位置大致在哪里？写出你的判断方法，并用“▲”在上图中标出大致位置。
【精练题03】（2024•卫辉市）只列算式，不计算。
（1）4月23日是世界读书日，小红读一本书，第一天读了这本书的，第二天读了这本书的，第二天比第一天少读8页，这本书一共多少页？
（2）刘爷爷将90000元存入银行，存期为2年，到期后计划将利息捐给希望工程。刘爷爷能捐多少钱？
考点五：四则混合运算中的巧算（拓展题）
【精讲题】（2023秋•正安县期末）脱式计算。
【精练题01】（2022•锦江区）脱式计算。
【精练题02】（2021•岳麓区）计算
【精练题03】（2021•渝北区）用你喜欢的方法算。
考点六：工程问题（拓展题—典型应用题）
【精讲题】（2024•天门模拟）有两个同样的仓库，搬运完其中一个仓库的货物，甲需要6小时，乙需要7小时，丙需要14小时．甲、乙同时开始各搬运一个仓库的货物，开始时，丙先帮甲搬运，后来又去帮乙搬运，最后两个仓库的货物同时搬完．则丙帮甲 小时，帮乙 小时．
【精练题01】（2024•无锡模拟）有一个蓄水池，装有甲乙两根管子，其中甲为进水管，乙为出水管。单独开甲管需要12分钟注满空水池，单独开乙管需要18分钟把满池的水排完。现在池内的水占水池容积的，同时打开两根水管，多少分钟才能注满水池？
【精练题02】（2023•渝中区）加工一批零件，甲、乙合作24天可以完成。现在由甲先做16天，然后由乙再做12天，正好完成这批零件的。已知甲每天比乙多加工5个零件。则这批零件一共有 个。
【精练题03】（2023•东兰县）甲、乙两人共同做一批零件12小时可以完成，若甲一人独做完成所需时间为乙一人独做所需时间的，则甲独做需要 小时才能完成．
中档题真题专练
1．（2024六上·英山期末）水结成冰后体积增加了，冰再化成水后，体积减少了（ ）。
A．B．C．D．
2．（2024六上·凉州期末）王华家5月份用水20立方米，比4月份节约了，求4月份用水多少立方米的正确列式是（ ）。
A．B．C．D．
3．（2023六上·钱塘期末）要运送一吨货物，甲车每次能运10吨，占总货物的；乙车每次能运20吨，占总货物的。如果两辆车一起运送，多少次运完这批货物？下列选项中，解决这个问题用不到的信息是（ ）。
A．10吨、20吨、B．10吨、20吨、
C．10吨、20吨D．、
4．（2023六上·柯城期中）下面说法正确的是（ ）
A．我国古代数学家祖冲之采用“割圆术”得出了较精确的圆周率的值。
B．甲数比乙数少，则甲数是乙数的
C．如果a>0，那么a÷定小于a
D．一个三角形的面积是与它等底等高的平行四边形面积的50%。
5．（2024六上·萧山月考）小雪过后是大雪，俗话说“小雪腌菜，大雪腌肉”。小明家也要腌肉，若让爸爸一个人干需要4小时完成，若妈妈一个人干需要3小时，爸爸、妈妈工作效率的最简整数比是 ： 。两人合作，需要 小时就能完成。
6．（2024六上·康巴什期末）铺一段铁轨，甲、乙两工程队合作需要15天完成，甲工程队单独做需要20天完成，乙工程队单独做需要 天完成。
7．（2023六上·惠州期末）周末，琪琪、楚楚和贝贝三人一共包了124个饺子，琪球包的正好是其他两人包的饺子总数的，琪琪包了 个饺子。楚楚和贝贝包的饺子的个数比是4：3，楚楚包了 个饺子。
8．（2024六上·义乌期末）直接写出得数。
9．（2024六上·金东期末）递等式计算。（能简算的要简算）
1÷（-）

（2024六上·平湖期末）小亮小时步行了千米。照这样计算，他走1千米需要多少时间?
11．（2024六上·黔江期末） 根据1月6日网上消息显示，2023年华为手机出货量为9000万台，原计划出货量是3700万台，华为手机实际出货量比原计划出货量多几分之几？
12．（2024六上·沐川期末）为美化校园环境，学校准备全面粉刷外墙，甲、乙、丙三个工程队报送单独完成粉刷任务所需天数（如图），若粉刷任务由甲、乙两队合作，几天能完成这项工程的？
（2024六上·淮滨月考）实验小学足球社团有54人，是舞蹈社团人数的，比合唱社团的人数少，舞蹈社团和合唱社团各有多少人？
培优题真题专练
14．一个水池，甲、乙两管同时开，5小时灌满，乙、丙两管同时开，4小时灌满。现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同时开2小时才能灌满。乙单独开（ ）小时可以灌满。
A．24B．20C．18D．30
15．（2022六上·杭州期中）某小学有男生270人，女生是男生的倍，男生比女生少（ ）
A．B．C．D．
16．（2022六上·深圳期中）妈妈给妙想制作生日蛋糕，现在要完成最后的裱花工序，她3分完成了裱花工序的，再过1分，就能完成裱花工序的（ ）。
A．B．C．D．
17．（2023六上·玉环期中）一本书，已读了总数的 还多15页，已读的页数与未读的页数比是2：3，全书共 页．
18．（2023六上·临漳月考）一项工程，甲队单独做17天完成这项工程的，乙队单独做17天完成这项工程的，甲乙两队1天一共可以完成这项工程的 。如果两队合作， 天就能完成任务。
19．（·北新巴蜀）搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时。有同样的仓库A和B，甲和丙在A仓库，乙在B仓库同时搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运，最后同时搬完两个仓库的货物，丙帮助乙搬运了 小时。
20．计算，能简算的要简算。
① ②
③ ④
⑤ ⑥
21．（2023六上·玉环期末）只列式，不计算。
（1）学校购进一批图书，已知购进科技书105本，购进文艺书是科技书的，这两种书是购进总数的，学校共购进图书多少本?
（2）服装店购进一匹布，单独做围巾能做20条，单独做手套能做30副，围巾手套共能做几套?（一条围巾，一副手套为一套）
（3）疫情期间水果店中梨的价格持续上涨，每天都上涨20%，两天后梨的价格上涨了百分之几?
22．（2024六上·天台期末）实验小学开展拓展课程，原来合唱班是书法班人数的，后来，8名合唱班的同学转入书法班，这时，合唱班人数是书法班人数的，原来参加合唱班和书法班的一共有多少人?
23．（2023六上·杭州期末）一段路，如果一队单独修，需要10天；如果二队单独修，平均每天可修290米。一、二两队合作，6天正好修完。这段路长多少米？
24．（2023六上·榆林月考）某工程队修一段路，第一天修的比全长的多5米，第二天修的是剩下部分的，还剩920米没有修，这段路全长多少米？
25．（2023六上·期末）甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向开往对方出发地。已知甲车和乙车速度的比是2∶3。
（1）经过2.5小时两车相遇，相遇时甲车还剩全程的几分之几？
（2）两车在相遇后继续前行，当乙车行到全程的时，甲车距离B地还有210千米。AB两地相距多少千米？
24．（2023六上·杭州期末）周末，李叔叔早上8点开车从甲城出发前往乙城，到上午11点时，已行的路程和剩下的路程比是3：5，继续前行120千米后，已行的路程是剩下路程的，甲乙两城相距多少千米？
（1）
（2）
（3）
（4）
（1）
（2）
（3）
（4）

①
②
③
④
⑤
定期存款利率：
一年期
二年期
三年期
（1）
（2）
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
2.5÷10%=
1-11%=
80÷50%=
6÷3.14=
15.07-5.7=
42÷42%=
2024-2025学年六年级上册数学举一反三变式拓展（北师大版）
第二讲 分数混合运算
（导图+知识精讲+高频易错点六大考点讲练+难度分层练）
教学目标：
梳理本单元知识点，整理有关分数混合运算顺序，运算定律以及分数在日常实际应用中的问题，帮助学生建立完整的知识体系。
通过不同形式的练习，分层次检验学生知识掌握情况，在练习中巩固强化，查漏补缺。
在解题过程中培养学生读题能力，提高学生分析、解决问题的能力。
教学重点：分数混合运算
教学难点：分数在日常实际应用中的问题，帮助学生建立完整的知识体系
TOC \t "标题 2,1" \h \u \l "_Tc19250" 考点一：分数乘除混合运算 PAGEREF _Tc19250 \h 6
\l "_Tc17849" 考点二：分数的四则混合运算 PAGEREF _Tc17849 \h 9
\l "_Tc12702" 考点三：分数的简便计算（运算定律的分数应用） PAGEREF _Tc12702 \h 11
\l "_Tc7921" 考点四：分数四则复合应用题 PAGEREF _Tc7921 \h 16
\l "_Tc14600" 考点五：四则混合运算中的巧算（拓展题） PAGEREF _Tc14600 \h 19
\l "_Tc8312" 考点六：工程问题（拓展题—典型应用题） PAGEREF _Tc8312 \h 24
\l "_Tc24033" 中档题真题专练 PAGEREF _Tc24033 \h 29
\l "_Tc24904" 培优题真题专练 PAGEREF _Tc24904 \h 36
第一部分
知识点01：分数的乘除法的混合运算
运算顺序：与整数混合运算的运算顺序相同，都是先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里的。
转换方法：当遇到分数乘除混合运算时，要先把除法转换成乘法（即除以一个数等于乘上这个数的倒数）。
约分与计算：在转换成乘法后，可以根据需要进行约分，再进行计算。
知识点02：分数的连乘运算
运算顺序：从左到右依次计算。
约分：如果是分数连乘，可先进行约分（交叉约分），再进行计算。
知识点03：连续求一个数的几分之几是多少的问题
解题思路：首先确定单位“1”的量，然后根据题目描述，确定需要求解的未知数是单位“1”的几分之几。
解题方法：
方法一：先求出多或少的具体量，再用单位“1”的量加或减去多或少的部分，求出要求的问题。
方法二：用单位“1”加或减去多或少的几分之几，求出未知数占单位“1”的几分之几，再用单位“1”的量乘这个分数。
知识点04：分数的连除运算
转换方法：分数连除可以转化为乘法运算，即除以一个数等于乘上这个数的倒数。
计算方法：
方法一：可以先分步转化为乘法，再约分计算。
方法二：可以一次都转化成乘法，再约分计算。
第二部分
知识点01：求比一个数多或少几分之几的数是多少
这个知识点主要考察的是对分数增减运算的理解。假设我们有一个数A，要求比A多或少几分之几（例如）的数，我们可以按照以下步骤进行计算：
确定基数A。确定增减的分数（例如）。
如果要求比A多的数，则计算 A + A ÷；如果要求比A少的数，则计算 A - A ÷。
知识点02：整数乘法运算定律推广到分数乘法
:整数乘法的运算定律（如交换律、结合律、分配律）在分数乘法中同样适用。这些定律的推广使得分数乘法的计算更加简便和灵活。
交换律：a ÷ b = b ÷ a（其中a和b都是分数）。
结合律：(a ÷ b) ÷ c = a ÷ (b ÷ c)（其中a、b、c都是分数）。
分配律：a ÷ (b + c) = a ÷ b + a ÷ c（其中a、b、c都是分数）。
知识点03：分数除法相关的简便计算
分数除法的简便计算主要依赖于将除法转换为乘法的逆运算。即，除以一个数等于乘以这个数的倒数。例如，a ÷ b = a ÷（其中a和b都是分数，且b不为0）。
此外，当遇到多个分数连续相除时，可以一次性地将所有除数转换为它们的倒数，然后进行乘法运算。例如，a ÷ b ÷ c = a ÷ ÷ 。
知识点04：已知总量及一部分分率，求另一部分量
:这个知识点主要考察的是对分数应用题的理解。假设我们知道总量为T，其中一部分的分率为p（以分数形式表示），那么这一部分的量就是 T ÷ p。要求另一部分的量，我们可以用总量T减去已知部分的量，即 T - T ÷ p。
第三部分
知识点01：已知比一个数多或少几分之几是多少，求这个数
这个知识点主要考察的是对分数增减运算的逆向应用。题目通常会给出某个数比另一个数多或少几分之几，然后给出具体的结果，要求求出原来的数。
解题步骤：
理解题意：明确题目中给出的“多几分之几”或“少几分之几”以及具体的结果。
设立未知数：设原来的数为x。
建立方程：根据题目描述，建立包含x的方程。
解方程：解出x的值。
知识点02：已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量
这个知识点主要考察的是对分数比例的应用。题目会给出总量中的一部分量所占的比例以及另一部分量的具体数值，要求求出总量。
解题步骤：
理解题意：明确题目中给出的比例和具体数值。
设立未知数：设总量为x。
建立方程：根据题目描述，利用比例关系建立包含x的方程。
解方程：解出x的值。
知识点03：运用转化法或倒推法解决稍复杂的分数应用题
在解决稍复杂的分数应用题时，转化法和倒推法是非常有效的解题技巧。
转化法：
转化法是将题目中的复杂条件或问题转化为简单、易于理解的形式。例如，可以将分数转化为小数，或将复杂的比例关系转化为简单的等式。
倒推法：
倒推法是从问题的结果出发，逆向推导出问题的初始条件或已知条件。这种方法在解决逆向思维问题时特别有效。
易错知识点01：分数的乘除法的混合运算
运算顺序的混淆：学生可能会忘记先乘除后加减的原则，或者在有括号的情况下，没有先计算括号内的内容。
易错提示：确保遵循运算的优先级，即先乘除后加减，有括号先算括号内的内容。
分数除法的转换：学生可能忘记将分数除法转换为分数乘法，即除以一个数等于乘以这个数的倒数。
易错提示：在进行分数除法运算时，始终记得将除法转换为乘法。
约分与计算的混淆：学生可能在乘除运算过程中忘记约分，或者在约分后忘记继续完成计算。
易错提示：在乘除运算中，先进行约分，然后再进行计算。
易错知识点02：分数的连乘运算
运算顺序的错误：学生可能会从左到右依次计算时出错，或者忘记乘法的结合律和交换律。
易错提示：从左到右依次计算，并充分利用乘法的结合律和交换律进行简化。
约分的错误：在连乘运算中，学生可能会忘记约分，或者约分错误。
易错提示：在连乘运算中，注意寻找公共因子进行约分。
易错知识点03：连续求一个数的几分之几是多少的问题
单位“1”的确定：学生可能会在确定单位“1”的量时出错，导致后续计算错误。
易错提示：仔细理解题目，确定正确的单位“1”的量。
计算方法的错误：学生可能会在计算过程中出错，如忘记先求多或少的部分，或者忘记用单位“1”的量乘上对应的分数。
易错提示：按照题目要求，先求出多或少的部分，再用单位“1”的量乘上对应的分数。
易错知识点04：分数的连除运算
转换方法的错误：学生可能会忘记将连除运算转换为连乘运算，即将除法转换为乘法。
易错提示：在连除运算中，始终记得将除法转换为乘法。
计算方法的错误：在连除运算转换为连乘运算后，学生可能会在计算过程中出错。
易错提示：确保在转换为连乘运算后，按照乘法运算的规则进行计算。
易错知识点05：求比一个数多或少几分之几的数是多少
理解错误：学生可能不理解“多几分之几”或“少几分之几”的含义，导致计算方向错误。
计算错误：在计算增加或减少的部分时，学生可能会忘记乘以基数，或者计算错误。
易错知识点06：整数乘法运算定律推广到分数乘法
定律混淆：学生可能会混淆交换律、结合律和分配律，导致计算错误。
分数乘法计算错误：在进行分数乘法时，学生可能会忘记约分，或者计算错误。
易错知识点07：分数除法相关的简便计算
忘记转换为乘法：学生可能会忘记将分数除法转换为乘法进行计算。
计算错误：在转换为乘法后，学生可能会忘记乘以除数的倒数，或者计算错误。
易错知识点08：已知总量及一部分分率，求另一部分量
理解错误：学生可能不理解题目中的“总量”和“一部分分率”的含义，导致计算方向错误。
计算错误：在计算已知部分或未知部分时，学生可能会忘记乘以总量或分率，或者计算错误。
易错知识点09：已知比一个数多或少几分之几是多少，求这个数
易错点：
理解题意不清：学生可能没有正确理解题目中的“多几分之几”或“少几分之几”的含义，导致解题方向错误。
设立方程错误：在设立未知数时，学生可能会将未知数设立在错误的位置，导致方程建立不正确。
计算错误：在解方程的过程中，学生可能会出现计算错误，导致最终答案不正确。
解题策略：
仔细审题，明确题目中的“多几分之几”或“少几分之几”是指哪个数与哪个数之间的关系。
设立未知数，通常设要求的数为未知数。
根据题目描述，建立包含未知数的方程。
解方程，得出未知数的值。
易错知识点10：已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量求总量
易错点：
比例关系理解不清：学生可能没有正确理解题目中给出的比例关系，导致解题方向错误。
计算错误：在根据比例关系计算总量时，学生可能会出现计算错误。
解题策略：
仔细审题，明确题目中给出的比例关系以及另一部分量的具体数值。
设立未知数，通常设总量为未知数。
根据比例关系，建立包含未知数的方程。
解方程，得出未知数的值，即总量。
易错知识点11：运用转化法或倒推法解决稍复杂的分数应用题
易错点：
转化方法不当：学生可能没有找到合适的转化方法，导致问题复杂化。
倒推步骤错误：在使用倒推法时，学生可能会出现步骤错误，导致最终答案不正确。
解题策略：
转化法：
仔细审题，找出题目中的关键信息。
尝试将题目中的复杂条件或问题转化为简单、易于理解的形式。
转化后，按照常规方法解题。
倒推法：
从问题的结果出发，逆向推导出问题的初始条件或已知条件。
逐步倒推，每一步都要确保正确无误。
得出最终答案后，检查是否符合题目要求。
考点一：分数乘除混合运算
【精讲题】（2023秋•徐州期末）一块长方形地，长20米，宽是长的，求这块地的面积，算式正确的是
A．B．C．D．
【思路点拨】先用20乘，求出长方形的宽；再根据长方形的面积长宽计算出面积即可。
【规范解答】解：
（平方米）
答：这块地的面积是300平方米。
故选：。
【考点评析】解答本题需明确求一个数的几分之几是多少的计算方法，熟练掌握长方形的面积公式。
【精练题01】（2023秋•凉州区期末）直接写出得数。
【思路点拨】根据分数四则运算的运算法则计算即可，有百分数的先把百分数化成小数或分数，对于，根据乘法交换律简算，对于，根据乘法分配律简算。
【规范解答】解：
【考点评析】本题主要考查分数四则运算的运算法则以及运算律的灵活应用。
【精练题02】（2022秋•连云区期末）用你喜欢的方法计算。
【思路点拨】（1）将除法化成乘法计算。
（2）利用乘法分配律计算。
（3）利用乘法分配律计算。
（4）先算括号里的乘法，再算括号里的减法，最后算括号外的除法。
【规范解答】解：（1）
（2）
（3）
（4）
【考点评析】本题考查了分数的四则混合运算，需熟练使用法则，灵活使用运算律。
【精练题03】（2023秋•宛城区期中）看图列式计算：
【思路点拨】根据题意，把雪松的棵数看作单位“1”，刺柏的棵数是雪松的，那么这两种树的棵数和是270棵，是雪松棵数的，再用270除以，求出雪松的棵数，再乘即可。
【规范解答】解：
（棵
答：刺柏有120棵。
【考点评析】本题关键弄清图意，找准数量关系，然后再列式解答。
考点二：分数的四则混合运算
【精讲题】（2024•禅城区模拟）列式并计算“加的和乘2.4”是
A．B．
C．D．
【思路点拨】先算加的和，再用所得的和乘2.4即可。
【规范解答】解：
故选：。
【考点评析】根据题意，先弄清运算顺序，然后再列式进行解答。
【精练题01】（2023秋•太子河区期末）言言在计算时，错算成了，计算结果与正确得数相比
A．大了B．小了C．一样D．无法判断
【思路点拨】分别计算这两个算式的结果，再对比即可。
【规范解答】解：
因为，所以，即
答：言言在计算时，错算成了，计算结果与正确得数相比大了。
故选：。
【考点评析】本题考查了分数的四则混合运算顺序在分数中同样适用。
【精练题02】（2024•沾化区模拟）直接写出得数。
【思路点拨】根据分数、小数的乘除法和加减法的计算法则计算即可。
【规范解答】解：
【考点评析】解答此题要运用分数、小数的乘除法和加减法的计算法则。
【精练题03】（2024•新城区模拟）脱式计算。
【思路点拨】（1）根据加法交换律、结合律和连减的性质计算。
（2）把分数化成小数0.008，再通过积不变的规律，进行变式得到有相同因数的算式，再根据乘法分配律计算。
（3）根据乘法分配律计算。
（4）把小数0.360变成分数，先算后面小括号里面的算式，再算前面的小括号里面的算式，最后算乘法。
【规范解答】解：（1）
（2）
（3）
（4）
【考点评析】本题考查了混合运算的运算顺序和利用运算定律进行简便运算的能力。
考点三：分数的简便计算（运算定律的分数应用）
【精讲题】（2024•新宁县校级模拟）脱式计算，能简算的要简算。
【思路点拨】（1）根据乘法结合律和乘法分配律进行计算；
（2）（3）（6）根据乘法分配律进行计算；
（4）根据分数的拆项公式进行计算；
（5）根据乘法交换律和结合律进行计算。
【规范解答】解：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【考点评析】考查了运算定律与简便运算，四则混合运算。注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律进行简便计算。
【精练题01】（2024•天门模拟）怎样简便怎样算。
（1）
（2）
（3）
（4）
【思路点拨】（1）根据乘法交换律和结合律进行计算；
（2）根据乘法分配律进行计算；
（3）先算除法，再根据减法的性质进行计算；
（4）先算小括号里面的加法，再算中括号里面的减法，最后算中括号外面的除法。
【规范解答】解：（1）
（2）
（3）
（4）
【考点评析】考查了运算定律与简便运算，四则混合运算。注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律进行简便计算。
【精练题02】（2023秋•太子河区期末）脱式计算。（能简算的要简算）
【思路点拨】（1）根据乘法分配律逆运算进行简算；
（2）先把化成，然后根据乘法分配律逆运算进行简算；
（3）根据乘法分配律进行简算。
【规范解答】解：
【考点评析】本题考查了整数简便运算方法在分数四则混合运算中的应用，结合题意分析解答即可。
【精练题03】（2023秋•咸宁期末）计算下面各题，怎样简便就怎样计算。
【思路点拨】①先做除法，再做加法；
②运用乘法分配律解答；
③运用乘法分配律解答；
④先做乘法，再做除法；
⑤先做小括号里的减法，再做中括号里的除法，最后做乘法。
【规范解答】解：①
②
③
④
⑤
【考点评析】掌握运算定律和简算方法是解题关键。
考点四：分数四则复合应用题
【精讲题】（2024•南京模拟）自然界中有许多动物都需要冬眠。蛇的冬眠时间约是180天，熊的冬眠时间约是蛇的，又是青蛙冬眠时间的。青蛙的冬眠时间约是 天。
A．96B．216C．180
【思路点拨】把蛇的冬眠时间看作单位“1”，根据分数乘法的意义，用蛇的冬眠时间天）乘就是熊的冬眠时间；再把熊的冬眠时间看作单位“1”，根据分数除法的意义，用熊的冬眠时间除以就是青蛙的冬眠时间。
【规范解答】解：
（天
（天
答：青蛙的冬眠时间约是180天。
故选：。
【考点评析】此题是考查分数乘、除法的意义及应用。求一个数的几分之几是多少，用这个数乘分率；已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用已知数除以它所对应的分率。
【精练题01】（2024•雨城区校级模拟）某少年夏令营的学生来自四个直辖市，其中有的学生来自上海，有24名同学来自天津，来自北京的人数是来自上海和天津的人数之和的倍，有的学生来自重庆，夏令营的学生一共有 180 人。
【思路点拨】把夏令营的学生总人数看作单位“1”，来自上海的占，来自天津的有24人，来自北京的有多人，来自重庆的占。则人占总人数的。根据分数除法的意义，用就是夏令营的学生总人数。
【规范解答】解：
（人
答：夏令营的学生一共有180人。
故答案为：180。
【考点评析】来自北京的人数看作两部分，一部分是总人数的，一部分是24人的。关键是弄清来自天津的24人、来自北京的人之和占总人数的几分之几（也是本题的难点），再根据分数除法的意义解答。
【精练题02】（2024春•中原区期末）周末，聪聪和爸爸一起去登山，登山路线如图所示。从山脚出发到山顶，他们全程一共游览了2个景点，景点位于全程的处，景点位于全程的处。
（1）景点到景点的路程占全程的几分之几？
（2）他们从山脚出发，攀登了全程的后停下休息，然后又继续向山顶方向攀登了全程的。这时他们登山的位置大致在哪里？写出你的判断方法，并用“▲”在上图中标出大致位置。
【思路点拨】（1）景点位于全程的处，景点位于全程的处，所以景点到景点的路程占全程的。
（2）他们从山脚出发，攀登了全程的后停下休息，然后又继续向山顶方向攀登了全程的。一共攀登了全程的，而，据此找出这时他们登山的位置。
【规范解答】解：（1）
答：景点到景点的路程占全程的。
（2）如图：
因为
所以▲在和之间。
【考点评析】本题考查了分数加减法的应用，解决本题的关键是异分母分数加减，要通分。
【精练题03】（2024•卫辉市）只列算式，不计算。
（1）4月23日是世界读书日，小红读一本书，第一天读了这本书的，第二天读了这本书的，第二天比第一天少读8页，这本书一共多少页？
（2）刘爷爷将90000元存入银行，存期为2年，到期后计划将利息捐给希望工程。刘爷爷能捐多少钱？
【思路点拨】（1）小红读一本书，第一天读了这本书的，第二天读了这本书的，第一天比第二天多读了这本书的，第一天比第二天多读8页。所以这本书的页数第一天比第二天多读8页第一天比第二天多读了这本书的几分之几，据此解答。
（2）利息本金利率时间，代入数据计算即可。
【规范解答】解：（1）
（页
答：这本书一共480页。
（2）（元
答：刘爷爷能捐2520元。
【考点评析】本题考查了分数百分数的应用，解决本题的关键是“求单位‘1’的量用除法”。
考点五：四则混合运算中的巧算（拓展题）
【精讲题】（2023秋•正安县期末）脱式计算。
（1）
（2）
（3）
（4）
【思路点拨】（1）（2）（4）用乘法分配律计算，（3）用拆项凑整法计算。
【规范解答】解：（1）
（2）
（3）
（4）
【考点评析】此题重点考查了乘法分配律和拆项凑整法的灵活应用。
【精练题01】（2022•锦江区）脱式计算。
【思路点拨】第1题，中括号内的减数部分可以使用乘法分配律进行简算，其余按四则混合运算顺序进行计算即可；
第2题，将中括号内的除以改写成乘，再灵活运用乘法分配律、加法结合律、乘法结合律等进行简算；
第3题，按运算顺序进行计算，注意相同的数相减差是0，0与任何数的积为0，一个数加上0，和就是本身，相同的数除外）相除商是1；
第4题，先把除以2.5改写为乘，0.4改写为，2除以5写出分数商，再运用乘法分配律进行简算；
第5题，按四则混合运算顺序进行计算即可；
第6题，各加数的分母分别是2与3的积、3与4的积、4与5的积、5与6的积与50的积、50与51的积，共49个加数，每个加数的分子比分母小1，据此先把每个分数改写为1减一个分子为1的真分数，再用49个1的和减，因为分子为1，分母为相邻两个正整数的积的分数等于这两个正整数的倒数的差，所以。
【规范解答】解：
【考点评析】解答分数四则混合运算，首先要掌握分数四则计算的方法，并能细心计算，其次要掌握四则混合运算的顺序，第三要能灵活运用运算定律和性质进行简便运算，使计算快捷、准确。
【精练题02】（2021•岳麓区）计算
【思路点拨】（1）将除法写成乘法，然后运用乘法分配律；
（2）将除法写成乘法，然后运用乘法分配律；
（3）带分数的整数部分一起计算，分数部分一起计算，分数部分每个分数的分母写成连续整数的乘积，然后裂项计算。
【规范解答】解：（1）
（2）
（3）
【考点评析】本题主要考查了分数的巧算，合理运用运算定律以及分数的裂项是本题解题的关键。
【精练题03】（2021•渝北区）用你喜欢的方法算。
【思路点拨】（1）把除法化成乘法，再运用乘法分配律进行简算；
（2）先算小括号里的减法，再算中括号里的除法，最后算乘法；
（3）先算乘法，再运用减法性质进行简算；
（4）运用乘法分配律、结合律进行简算；
（5）先算小括号里的加法，再算中括号里的乘法，然后再算中括号里的减法；最后算括号外的除法；
（6）原式化成，再运用拆分、抵消的方法进行简算。
【规范解答】解：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【考点评析】考查了运算定律与简便运算，四则混合运算。注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律简便计算。
考点六：工程问题（拓展题—典型应用题）
【精讲题】（2024•天门模拟）有两个同样的仓库，搬运完其中一个仓库的货物，甲需要6小时，乙需要7小时，丙需要14小时．甲、乙同时开始各搬运一个仓库的货物，开始时，丙先帮甲搬运，后来又去帮乙搬运，最后两个仓库的货物同时搬完．则丙帮甲 小时，帮乙 小时．
【思路点拨】把每个仓库的货物看作单位“1”，搬运完一个仓库的货物，甲需6小时，乙需7小时，丙需14小时，由此可知：甲的工作效率为，乙的工作效率为，丙的工作效率为，三个人一共完成了两个仓库的任务，那么因为三人自始至终都在工作，那么用的时间是（小时），在这个时间甲完成了一个仓库的，那么丙完成了这个仓库是，然后根据工作时间工作量工作效率，据此列式解答。
【规范解答】解：三个人搬运完仓库用的时间：
（小时），
甲完成了一个仓库的，
丙完成了这个仓库是，
丙帮甲的时间为：
（小时）
丙帮乙的时间为：（小时）
答：则丙帮甲小时，帮乙小时。
故答案为：；。
【考点评析】将两个仓库的任务看作是由三个人共同完成，然后求出完成任务的时间是解决本题的关键。
【精练题01】（2024•无锡模拟）有一个蓄水池，装有甲乙两根管子，其中甲为进水管，乙为出水管。单独开甲管需要12分钟注满空水池，单独开乙管需要18分钟把满池的水排完。现在池内的水占水池容积的，同时打开两根水管，多少分钟才能注满水池？
【思路点拨】把蓄水池的容积看作单位“1”，那么甲管每分钟注水，乙管每分钟排水，两根水管同时打开，每分钟进水；现在注水的总量是，因此用除法即可求解。
【规范解答】解：
（分钟）
答：同时打开两根水管，27分钟才能注满水池。
【考点评析】本题主要考查了简单的工程问题，关键是得出两管同时打开每分钟的进水量。
【精练题02】（2023•渝中区）加工一批零件，甲、乙合作24天可以完成。现在由甲先做16天，然后由乙再做12天，正好完成这批零件的。已知甲每天比乙多加工5个零件。则这批零件一共有 900 个。
【思路点拨】把这批零件看作单位“1”，甲乙合作24天可以完成。那么甲乙两人每天的工作效率和就是，现在有甲先做16天，然后再有乙做12天，正好完成这批零件的。相当于甲乙合作12天后再有甲单独做（天即可完成这批零件，由此可以求出甲单独做多少天可以完成这批零件，那么乙单独做这批零件需要的天数即可求解，又知甲每天比乙多加工5个零件，据此可以求出5个占这批零件的几分之几，然后根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法解决。
【规范解答】解：
甲1天完成这批零件的：
乙1天完成这批零件的：
这批零件共有：
（个
答：这批零件一共有900个。
故答案为：900。
【考点评析】解答此题的关键是，把先由甲做16天，然后再由乙做12天，正好完成这批零件的，转化为甲乙合作12天，甲单独做天，完成这批零件的。在此基础上可以求出甲乙的工作效率，进而求出甲每天比乙多加工5个占这批零件的几分之几。
【精练题03】（2023•东兰县）甲、乙两人共同做一批零件12小时可以完成，若甲一人独做完成所需时间为乙一人独做所需时间的，则甲独做需要 21 小时才能完成．
【思路点拨】甲一人独做完成所需时间为乙一人独做所需时间的，甲乙的工作时间比是，由此可知甲乙的工作效率的比就是，两人的工作效率和是，那么甲占他们的工作效率和的，甲的工作效率就是，然后再把工作总量看作单位“1”，用1除以甲的工作效率即可求出工作时间．
【规范解答】解：甲乙的工作时间比是，由此可知甲乙的工作效率的比就是；
（小时）
答：甲独做需要21小时才能完成．
故答案为：21．
【考点评析】本题是一道稍复杂的工效问题，利用工作时间的比得出工作效率的比是解题的关键
中档题真题专练
1．（2024六上·英山期末）水结成冰后体积增加了，冰再化成水后，体积减少了（ ）。
A．B．C．D．
【答案】A
【规范解答】解：设水的体积为“1”，则冰的体积为1+=，
（-1）÷
=÷
=
。
【思路点拨】此题主要考查了分数除法的应用，解题的关键是找准单位“1”，设水的体积为“1”，则冰的体积为1+=，要求冰化成水，体积减少了几分之几，（冰的体积-水的体积）÷冰的体积=减少的分率。
2．（2024六上·凉州期末）王华家5月份用水20立方米，比4月份节约了，求4月份用水多少立方米的正确列式是（ ）。
A．B．C．D．
【答案】A
【规范解答】解：列式正确的是：20÷（1-）。
。
【思路点拨】4月份的用水量=5月份的用水量÷（1-5月份比4月份结果几分之几），据此列式作答即可。
3．（2023六上·钱塘期末）要运送一吨货物，甲车每次能运10吨，占总货物的；乙车每次能运20吨，占总货物的。如果两辆车一起运送，多少次运完这批货物？下列选项中，解决这个问题用不到的信息是（ ）。
A．10吨、20吨、B．10吨、20吨、
C．10吨、20吨D．、
【答案】A
【规范解答】解：如果两辆车一起运送，运完这批货物需要的次数列式为：1÷（-）
所以用不到的信息是10吨、20吨。
。
【思路点拨】如果两辆车一起运送这批货物，运完需要的次数=工作总量÷工作效率的和。
4．（2023六上·柯城期中）下面说法正确的是（ ）
A．我国古代数学家祖冲之采用“割圆术”得出了较精确的圆周率的值。
B．甲数比乙数少，则甲数是乙数的
C．如果a>0，那么a÷定小于a
D．一个三角形的面积是与它等底等高的平行四边形面积的50%。
【答案】C
【规范解答】解：A项：我国魏晋时期杰出数学家刘徽采用“割圆术”得出了较精确的圆周率的值，原题干说法错误；
B项：（1-）÷1=÷1=，原题干说法错误；
C项：a>0，＞1，那么a÷＞a，原题干说法错误；
D项：三角形的面积=底÷高÷2，平行四边形的面积=底÷高，一个三角形的面积是与它等底等高的平行四边形面积的50%，原题干说法正确。
。
【思路点拨】A项：我国魏晋时期杰出数学家刘徽采用“割圆术”得出了较精确的圆周率的值；
B项：把乙数看作单位“1”，甲数=1-=，甲数是乙数的分率=甲数÷乙数；
C项：一个数（0和负数除外）乘小于1的数，所得的积小于原来的数，反之，积小于原来的数；
D项：等底等高的三角形面积是平行四边形面积的一半，即50%。
5．（2024六上·萧山月考）小雪过后是大雪，俗话说“小雪腌菜，大雪腌肉”。小明家也要腌肉，若让爸爸一个人干需要4小时完成，若妈妈一个人干需要3小时，爸爸、妈妈工作效率的最简整数比是 ： 。两人合作，需要 小时就能完成。
【答案】3；4；
【规范解答】解：爸爸、妈妈工作效率的最简整数比是3：4；
1÷（+）
=1÷
=（小时）
故答案为：3：4；。
【思路点拨】工作总量一定，工作效率和工作时间成反比；
把这项工作看成单位“1”，两人合作需要的时间=1÷（爸爸每小时完成几分之几+妈妈每小时完成几分之几）。
6．（2024六上·康巴什期末）铺一段铁轨，甲、乙两工程队合作需要15天完成，甲工程队单独做需要20天完成，乙工程队单独做需要 天完成。
【答案】90
【规范解答】解：1÷（-）
=1÷
=90（天）
故答案为：90。
【思路点拨】把这段工程看作单位“1”，分别表示出两人的工作效率和与甲队的工作效率，用两人的工作效率和减去甲队的工作效率求出乙队的工作效率，用1除以乙队的工作效率即可求出乙队单独完成需要的天数。
7．（2023六上·惠州期末）周末，琪琪、楚楚和贝贝三人一共包了124个饺子，琪球包的正好是其他两人包的饺子总数的，琪琪包了 个饺子。楚楚和贝贝包的饺子的个数比是4：3，楚楚包了 个饺子。
【答案】42；48
【规范解答】解：124÷（1+）
=124÷
=84（个）
84÷=42（个）
84÷（4+3）÷4
=84÷7÷4
=12÷4
=48（个）
故答案为：42；48。
【思路点拨】把楚楚和贝贝包饺子的总数看成单位“1”，那么琪琪包饺子的总数就是，所以楚楚和贝贝一共包饺子的个数=三人一共包饺子的个数÷（1+），那么琪琪包饺子的个数=楚楚和贝贝一共包饺子的个数÷；
楚楚包饺子的个数=楚楚和贝贝一共包饺子的个数÷楚楚和贝贝一共包饺子的个数占的份数和÷楚楚包饺子的个数占的份数。
8．（2024六上·义乌期末）直接写出得数。
【答案】
【思路点拨】含有百分数的计算，把百分数化成分数或小数，然后再计算；一个非0的数除以一个分数，等于这个数乘它的倒数；分数乘分数，能约分的先约分，然后分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。
9．（2024六上·金东期末）递等式计算。（能简算的要简算）
1÷（-）

【答案】解：1÷（-）
=1÷
=20
=+-
=-
=
=÷（12+15）
=÷27
=15
=（+0.360）+（90%+）
=3+2
=5
=0.60÷（3.3+-20%）
=0.60÷4
=3
【思路点拨】观察算式可知，算式中有小括号，先算小括号里面的，再计算小括号外面的；
观察算式可知，先通分，再按从左往右的顺序计算；
观察数据可知，此题应用乘法分配律简算；
观察数据可知，先将与0.360相加，90%与相加，再把它们的和相加，据此计算简便；
观察数据可知，此题应用乘法分配律简算。
10．（2024六上·平湖期末）小亮小时步行了千米。照这样计算，他走1千米需要多少时间?
【答案】解：1÷(÷ )
=1÷
=(小时)
答：他走1千米需要小时。
【思路点拨】速度=路程÷时间，据此先求出他的速度，再根据路程÷速度=时间即可求出他走1千米需要的时间。
11．（2024六上·黔江期末） 根据1月6日网上消息显示，2023年华为手机出货量为9000万台，原计划出货量是3700万台，华为手机实际出货量比原计划出货量多几分之几？
【答案】解：（9000－3700）÷3700
＝300÷3700
＝
答：华为手机实际出货量比原计划出货量多。
【思路点拨】求实际出货量比原计划多几分之几，是把原计划出货量看作单位“1”，用实际比原计划多的量除以原计划的量即可解答。
12．（2024六上·沐川期末）为美化校园环境，学校准备全面粉刷外墙，甲、乙、丙三个工程队报送单独完成粉刷任务所需天数（如图），若粉刷任务由甲、乙两队合作，几天能完成这项工程的？
【答案】解：÷（-）
＝÷
＝5（天）
答：5天能完成这项工程的。
【思路点拨】完成这项工程的需要的天数=÷甲乙两队每天一共完成几分之几，据此代入数值作答即可。
13．（2024六上·淮滨月考）实验小学足球社团有54人，是舞蹈社团人数的，比合唱社团的人数少，舞蹈社团和合唱社团各有多少人？
【答案】解：54÷=45（人）
54÷（1－）
=54÷
=63（人）
答：舞蹈社团有45人，合唱社团63人。
【思路点拨】足球社团人数÷足球社团是舞蹈社团人数的分率=舞蹈社团人数；1－足球社团比合唱社团少的分率=足球社团占合唱社团的分率，足球社团人数÷足球社团占合唱社团的分率=合唱社团人数。
培优题真题专练
14．一个水池，甲、乙两管同时开，5小时灌满，乙、丙两管同时开，4小时灌满。现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同时开2小时才能灌满。乙单独开（ ）小时可以灌满。
A．24B．20C．18D．30
【答案】D
【规范解答】解：1-÷2-÷2
=-
=
÷（6-2-2）
=÷2
=
1÷=20（小时）。
。
【思路点拨】依据“ 现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同时开2小时才能灌满 ”，我们可以把乙管的6小时分成3个2小时，第一个2小时和甲同时开，第二个2小时和丙同时开，第三个2小时乙管单独开，这样就变成了甲、乙同时开2小时，乙、丙同时开2小时，乙单独开2小时，正好灌满一池水。
15．（2022六上·杭州期中）某小学有男生270人，女生是男生的倍，男生比女生少（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【规范解答】解：270÷=300（人）
（300-270）÷300
=30÷300
=。
。
【思路点拨】男生比女生少的分率=（女生人数-男生人数）÷女生人数；其中，女生人数=男生人数÷。
16．（2022六上·深圳期中）妈妈给妙想制作生日蛋糕，现在要完成最后的裱花工序，她3分完成了裱花工序的，再过1分，就能完成裱花工序的（ ）。
A．B．C．D．
【答案】A
【规范解答】解：3÷=12（分钟）
（3-1）÷12
=4÷12
=。
。
【思路点拨】再过1分，就能完成裱花工序的分率=（3分钟-1分钟） ÷总时间；其中，总时间=3分钟÷完成裱花工序的分率。
17．（2023六上·玉环期中）一本书，已读了总数的 还多15页，已读的页数与未读的页数比是2：3，全书共 页．
【答案】225
【规范解答】15÷（-）=225（页）
故答案为：225。
【思路点拨】根据题意先表示出已读页数占这本书的几分之几，然后用减法求出15对应的分率，用除法即可解答。
18．（2023六上·临漳月考）一项工程，甲队单独做17天完成这项工程的，乙队单独做17天完成这项工程的，甲乙两队1天一共可以完成这项工程的 。如果两队合作， 天就能完成任务。
【答案】；12
【规范解答】解：甲队1天完成这项工程的分率是：÷17=÷=，
乙队1天完成这项工程的分率是：÷17=÷=，
甲乙两队1天一共可以完成这项工程的分率是：+==，
两队合作完成任务需要的天数是：1÷=12（天）。
故答案为：；12。
【思路点拨】甲队做17天完成这项工程的分率÷17=甲队做1天完成这项工程的分率；乙队做17天完成这项工程的分率÷17=乙队做1天完成这项工程的分率；甲队做1天完成这项工程的分率+乙队做1天完成这项工程的分率=甲乙两队1天一共可以完成这项工程的分率；总工作量÷甲乙两队1天一共可以完成这项工程的分率=两队合作完成任务需要的天数。
19．（·北新巴蜀）搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时。有同样的仓库A和B，甲和丙在A仓库，乙在B仓库同时搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运，最后同时搬完两个仓库的货物，丙帮助乙搬运了 小时。
【答案】5
【规范解答】解：甲、乙丙一共需要的时间=2÷（++）
=2÷（++）
=2÷
=8（小时），
（1-÷8）÷
=÷
=5（小时）
所以丙帮乙搬运了5小时。
故答案为：5。
【思路点拨】根据题意可得两个仓库搬运完一共需要的时间=2÷（甲的工作效率+乙的工作效率+丙的工作效率）；丙帮乙搬运的时间=（1-乙的工作效率÷乙一共搬运的时间）÷丙的工作效率，注意工作效率=工作总量÷工作时间，代入数值计算即可。
20．计算，能简算的要简算。
①
②
③
④
⑤
⑥
【答案】解：①
=÷18
=10
②
=÷
=
③
=
=÷1
=
④
=
=÷
=
⑤
=2÷（）÷（）
=2
⑥
=
=
=5÷2
=2.5
【思路点拨】①先算小括号里面的除法，再算括号外面的乘法；
②同级运算，按从左到右的顺序计算；
③先按乘法分配律去掉中括号里面的小括号，再按运算顺序计算；
④运算顺序：先算乘除，再算加减，如果有括号，就先算括号里面的；
⑤观察算式可以发现，第一个括号里面数的和是第二个括号里面数的和的2倍，运用乘法分配律解答；
⑥两个括号内，分母是一样的，分子一个提取公因数5，一个提取公因数2，约分后是5÷2，据此解答。
21．（2023六上·玉环期末）只列式，不计算。
（1）学校购进一批图书，已知购进科技书105本，购进文艺书是科技书的，这两种书是购进总数的，学校共购进图书多少本?
（2）服装店购进一匹布，单独做围巾能做20条，单独做手套能做30副，围巾手套共能做几套?（一条围巾，一副手套为一套）
（3）疫情期间水果店中梨的价格持续上涨，每天都上涨20%，两天后梨的价格上涨了百分之几?
【答案】（1）解：（105-105÷）÷
（2）解：1÷（）
（3）解：[1÷（1-20%）÷（1-20%）－1]÷1÷200%
【思路点拨】（1）科技书的本数÷=文艺书的本数，科技书的本数-科技书的本数÷=两种书的总本数，（科技书的本数-科技书的本数÷）÷=购进图书的总本数；
（2）把这匹布总长看作单位“1”，1÷20=（一条围巾需要多少布），1÷30=（一副手套需要多少布），布匹总长÷（一条围巾需要的布-一副手套需要的布）=共能做几套；
（3）把梨的原价看作单位“1”，梨的原价÷（1-20%）=第一天涨价后梨的价格，梨的原价÷（1-20%）÷（1-20%）=两天后梨的价格，梨的原价÷（1-20%）÷（1-20%）－梨的原价=两天后涨了多少钱，[梨的原价÷（1-20%）÷（1-20%）－梨的原价]÷梨的原价÷200%=两天后梨的价格上涨的百分比。
22．（2024六上·天台期末）实验小学开展拓展课程，原来合唱班是书法班人数的，后来，8名合唱班的同学转入书法班，这时，合唱班人数是书法班人数的，原来参加合唱班和书法班的一共有多少人?
【答案】解：8÷（-）
=8÷
=50（人）
答： 原来参加合唱班和书法班的一共有50人。
【思路点拨】原来参加合唱班和书法班一共的人数=转走的人数÷（原来合唱班的人数是总人数的几分之几-现在合唱班的人数是总人数的几分之几），据此代入数值作答即可。
23．（2023六上·杭州期末）一段路，如果一队单独修，需要10天；如果二队单独修，平均每天可修290米。一、二两队合作，6天正好修完。这段路长多少米？
【答案】解：1÷(-)
=1÷
=15(天)
15÷290=9200(米)
答：这段路长9200米。
【思路点拨】这段路的长度=二队平均每天可修的长度÷修的天数；其中，二队修的天数=工作总量÷（两队合作的工作效率的和-第一队的工作效率）。
24．（2023六上·榆林月考）某工程队修一段路，第一天修的比全长的多5米，第二天修的是剩下部分的，还剩920米没有修，这段路全长多少米？
【答案】解：920÷（1）
＝920
＝650（米）
（650+5）÷（1）
＝650
＝917（米）
答：这段路全长917米。
【思路点拨】没有修的占第一天修后剩下长度的（1-），根据分数除法的意义求出第一天修后剩下的长度。第一天修后剩下的长度再加上5米就刚好占总长度的（1-），由此根据分数除法的意义，用第一天修后剩下的长度加5米除以（1-）即可求出这段路的总长度。
25．（2023六上·期末）甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向开往对方出发地。已知甲车和乙车速度的比是2∶3。
（1）经过2.5小时两车相遇，相遇时甲车还剩全程的几分之几？
（2）两车在相遇后继续前行，当乙车行到全程的时，甲车距离B地还有210千米。AB两地相距多少千米？
【答案】（1）解：2-3=5
1-=
答：相遇时甲车还剩全程的。
（2）解：210÷（1-÷）
=210÷（1-）
=210÷
=450（千米）
答：AB两地相距450千米。
【思路点拨】（1）相同时间内所行的路程比等于速度比，所以相遇时甲车还剩全程的分率=1-；
（2）乙车行驶到全程的时，则甲车行驶全程的1-÷，AB两地的距离=甲车距离B地还有的路程÷（1-甲车行驶全程的分率） 。
24．（2023六上·杭州期末）周末，李叔叔早上8点开车从甲城出发前往乙城，到上午11点时，已行的路程和剩下的路程比是3：5，继续前行120千米后，已行的路程是剩下路程的，甲乙两城相距多少千米？
【答案】解：已行的路程和剩下的路程比是3：5，据此可知已行的路程是全程的；
继续前行120千米后，已行的路程是剩下路程的，据此可知已行的路程是全程的；
120÷(-)
=120÷
=1608 (千米)
答：甲乙两城相距1608千米。
【思路点拨】根据已行的路程和剩下的路程比可以知道已行路程占全程的分率；还可以求出继续前行120千米后，已行路程占全程的分率。120千米÷两次占全程分率的差=甲乙两城的距离。
（1）
（2）
（3）
（4）
（1）
（2）
（3）
（4）

①
②
③
④
⑤
定期存款利率：
一年期
二年期
三年期
（1）
（2）
（3）
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
2.5÷10%=
1-11%=
80÷50%=
6÷3.14=
15.07-5.7=
42÷42%=
2.5÷10%=25
1-11%=0.89
1.4
80÷50%=44
6÷3.14=18.84
15.07-5.7=9.37
0.6
42÷42%=200
50.24
25