湖北省武汉市江汉区2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题（解析版）-A4

这是一份湖北省武汉市江汉区2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题（解析版）-A4，共29页。
1. 在一元二次方程中，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A. 2，1，B. 2，，1C. 2，1，1D. 2，，
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，熟练掌握一元二次方程的概念是解题的关键．利用一元二次方程的概念直接解答即可．
【详解】解：一元二次方程为，
二次项系数是2，一次项系数是1，常数项是．
故选：A．
2. 下列图标中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形，一个图形绕某点旋转，旋转后的图形能和原图形重合，那么这个图形是中心对称图形，据此判断即可求解，掌握中心对称图形的定义是解题的关键．
【详解】解：、该图形不是中心对称图形，不合题意；
、该图形不是中心对称图形，不合题意；
、该图形是中心对称图形，符合题意；
、该图形不是中心对称图形，不合题意；
故选：．
3. 一元二次方程的根的情况为（ ）
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式判断根的情况：当时，方程有两个相等实数根；当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程无实数根；该一元二次方程，即有两个不相等实数根，可得答案B．
【详解】解： 一元二次方程 ，
∴判别式 ，
方程有两个不相等的实数根．
故选B
【点睛】此题考查一元二次方程根判别式，掌握一元二次方程根的判断方法是解题的关键．
4. 关于抛物线，下列说法正确的是( )
A. 开口向上
B. 对称轴是直线
C. 函数有最小值
D. 可由抛物线向右平移个单位再向下平移个单位而得
【答案】B
【解析】
【分析】考查二次函数图象与几何变换，二次函数的图象与性质，二次函数的最值．由抛物线解析式可求得其开口方向、对称轴、最值及平移的规律，则可判断四个选项，可求得答案．
【详解】解：，，
∴开口向下，故A选项不正确；
对称轴为直线，故B选项正确；
顶点坐标为，开口向下，则有最大值，故C选项错误，
由抛物线向右平移个单位再向下平移个单位而得，故D选项错误；
故选：B．
5. 如图，内接于，连，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，圆周角定理的应用，先求解，，利用，从而可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C
6. 如图，将绕点逆时针旋转，点的对应点为，点的对应点为，若恰好是线段与的交点，且，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，根据旋转的性质可知，，利用三角形内角和定理求得，再根据三角形的外角性质即可得出答案．
【详解】解：由旋转可知，，
∴．
∴．
故选：B．
7. 在平面直角坐标系中，点坐标，以为圆心，4个单位长度为半径作圆，下列正确的是（ ）
A. 原点在内B. 原点在上
C. 与轴相切，与轴相交D. 与轴相切，与轴相交
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，点和圆的位置关系，以及点到坐标轴的距离，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．由已知点可求该点到x轴，y轴的距离，点P到圆心的距离，再与半径比较，确定圆与坐标轴的位置关系，圆心与圆的位置关系．设d为直线与圆的距离，r为圆的半径，则有若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离．
【详解】解：点到原点的距离为：，
∵，
∴原点在外，
点到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，
∵的半径为4，
∴与轴相切，与轴相交．
故选：C．
8. 已知抛物线上有三个点，，，若，，，则，，的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】抛物线的解析式，可得出抛物线开口向上及抛物线的对称轴为直线，利用二次函数的性质，可得出抛物线上的点离直线越远函数值越大，根据，，，得出，即可求解．
【详解】解：抛物线的解析式为，
抛物线的开口向上，抛物线的对称轴为直线，
抛物线上的点离直线越远函数值越大，
抛物线上有三个点，，，且，，，
，
∴，
故选：D．
9. 如图，四边形内接于，，，的直径为10，四边形的周长为，的长为，则关于的函数关系式是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】过点作交的延长线于，连接，先证明是等腰直角三角形，为直径，则，而得，证明是等腰直角三角形得，，然后证明和全等得，则，即可得出答案．
【详解】解：过点作交的延长线于，连接，如图所示：
四边形内接于，，，
为的直径，是等腰直角三角形，
，，
，，
，
等腰直角三角形，
，，
∴，
，，
，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解圆内接四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，圆周角定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．
10. 在平面直角坐标系中，将函数的图象记为，将绕原点旋转得到图象，把和合起来的图形记为图形．则当时，直线与图形的交点的个数是（ ）
A. 2B. 4C. 2或3D. 3或4
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了直线与坐标轴的交点，二次函数的图象与性质，二次函数的旋转变换．数形结合是解题的关键．
由题意知，直线与轴的交点为，与轴的交点为，由：，可知的顶点坐标为，进而可求：；如图，由题意知，与直线有2个交点，当时，与轴交点为顶点，：；联立得，，则，方程有两个不相等的实数根，则与直线有2个交点，当时，的顶点在第二象限，与直线有2个交点，进而可知当时，与直线有2个交点，然后判断作答即可．
【详解】解：当x=0时，，直线与轴的交点为，
当时，，
解得，x=-1，
∴直线与轴的交点为，
由题意知，：，
∴的顶点坐标为，
∵，
∴，
如图，
由题意知，与直线有2个交点，
将绕原点旋转得到图象，则的顶点坐标为，
∴：；
∵，
∴，
当时，与轴交点为顶点，：；
联立得，，
∵，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴与直线有2个交点，
当时，的顶点在第二象限，与直线有2个交点，
∴当时，与直线有2个交点，
综上所述，直线与图形的交点的个数是4个，
故选：B．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答卷指定的位置．
11. 点关于原点对称的点的坐标是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点：点关于原点对称的点的坐标为．根据坐标规律即可得到点关于原点对称的点的坐标．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是．
故答案为：．
12. 某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟了一条航线，一共开辟了条航线，这个航空公司共有______个飞机场．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了本题考查了一元二次方程的应用．假设航空公司一共有个机场，每个航空公司都要和其余的个航空公司开辟一条航线，所以一共需要开辟条航线，根据题意列方程求解即可．
【详解】解：设航空公司一共有个机场，
根据题意可得：，
整理得：，
分解因式可得：，
解得：，(舍去)，
答：这个航空公司共有个飞机场．
故答案为：．
13. 若关于方程的两个实数根互为相反数，则的值是______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查的是根与系数的关系，相反数的性质．，是一元二次方程的两根时，一元二次方程的根与系数的关系为：，．根据一元二次方程根与系数的关系列出方程求解即可．
【详解】解：设，是关于的一元二次方程的两个实数根，且两个实数根互为相反数，
∴，
∴．
故答案为：2．
14. 《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点E，寸，寸，则直径长为 _______寸．
【答案】26
【解析】
【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，设寸，则寸，由垂径定理得到寸，再由勾股定理可得方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设寸，则寸，
，是直径，
寸，
在中，由勾股定理得，
，
，
寸，
故答案为：26．
15. 已知抛物线（为常数，）经过点，，且，则下列四个结论：①；②；③若方程有两个不相等的实数根（且），则；④若，抛物线过点，且，则．其中正确的结论是______（填序号）．
【答案】①②④
【解析】
【分析】本题考查二次函数符号判断，根据得到抛物线过，再结合已知条件画出大致的函数图象，然后根据函数图象分析计算即可．
【详解】解：∵，
∴过，
∵，过点，，
∴函数的大致图象如下两种情况：
由函数图象可得，故①正确；
由函数图象可得当时，，
∵，
∴，
∴，
故②正确；
方程有两个不相等的实数根（且），可以看成抛物线与交点横坐标为，
有函数图象可得：当时，；当时，；
故③错误；
∵抛物线过点0,1，
∴，
∴，整理得，，
∴，
∵抛物线过点，，
∴抛物线对称轴为直线，
∵，
∴，即，
∵，
∴解得，
∴，
故④正确；
综上所述，正确的有①②④，
故答案为：①②④．
16. 如图，已知，均为等腰直角三角形，，为中点，的延长线交线段于点，连接．若，，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，连接，，在上取一点O，使，连接，，证明，得到，证明，得到，，证明，得到，再在中，根据勾股定理，求出，根据即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，，在上取一点O，使，连接，，
∵A为的中点，为等腰直角三角形，，
∴，
∴，
又∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理，得，
∴．
故答案为：．
三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形．
17. 解方程：
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键．直接利用公式法解方程即可．
【详解】解：，，，
，
，
，．
18. 如图，在中，，，，点从点开始沿边运动，速度为．与此同时，点从点开始沿边运动，速度为．当点到达点时，点同时停止运动．连接，设运动时间为，的面积为．
（1）用含的代数式表示：______cm，______cm；
（2）当为何值时？
【答案】（1）t；
（2）
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的应用、列代数式，理解题意，正确列方程是解答的关键．
（1）根据题意以及路程、速度和时间的关系求解即可；
（2）利用三角形的面积公式列方程求解即可．
【小问1详解】
解：根据题意，，，
∴，
故答案为：t，；
【小问2详解】
解：∵，
，
，
，
或
，
，
．
19. 二次函数中的的部分取值如下表：根据表中数据填空：
（1）该函数图象的对称轴是______；
（2）该函数图象与轴的交点的坐标是______；
（3）当时，的取值范围是______；
（4）不等式的解集是______．
【答案】（1）直线
（2），
（3）
（4）或
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，利用待定系数法求解二次函数的解析式；
（1）根据抛物线上对称的两点坐标可得对称轴方程；
（2）抛物线的对称轴是直线，与轴的一个交点坐标为，再利用对称性求解另一个交点坐标即可；
（3）先利用待定系数法求解二次函数解析式，确定抛物线的开口向上，再求解当时，的取值范围即可；
（4）先画出抛物线与直线的图象，再结合图象求解即可．
【小问1详解】
解：∵，在抛物线上，
∴该函数图象的对称轴是直线；
【小问2详解】
解：∵抛物线的对称轴是直线，与轴的一个交点坐标为，
∴抛物线与轴的另一个交点坐标为：或；
【小问3详解】
解：∵抛物线与轴的另一个交点坐标为：或；
∴设抛物线为，
把代入可得：，
解得：，
∴抛物线为：，
∴抛物线的开口向上，
∴当时，函数最小值为，
当时，，
当时，，
∴当时，的取值范围是；
【小问4详解】
解：如图，抛物线与直线的图象如下：

不等式的解集是或．
20. 如图，已知直线交于两点，为的直径，为上一点，平分，过点作于点．
（1）求证：为的切线；
（2）若已知的半径为5，且，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）6或8
【解析】
【分析】（1）连接，根据角平分线的定义得到，求得，得到，根据切线的判定定理得到结论；
（2）过点作垂直于于点，设，则，由垂径定理得点为中点，再求得，，，由可得，再求解即可．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
平分，
，
，
，
，
，
又，
，
为的切线；
【小问2详解】
解：过点作垂直于于点，
设，则
，
点为中点，
，
四边形为矩形，
，
，，，
在中，
，
解得或，
或2，
或4，
或8．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判定和性质，矩形的判定与性质，勾股定理，垂径定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
21. 如图是由小正方形组成的的网格，小正方形的顶点称为格点，，，，，五个点均为格点，是线段与网格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，每个画图任务的画线不得超过三条．
（1）在图（1）中，若点和关于点中心对称，画点；
（2）在图（1）中，若点绕点逆时针旋转后得到点，画点；
（3）在图（2）中，在线段上画点，使；
（4）在图（2）中，画满足条件的格点，使．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析 （4）见解析
【解析】
【分析】（1）根据网格的特点画出的中点即为所求，
（2）将绕点逆时针旋转得到，再找到的对应点（与网格线的交点），
（3）连接，交于点，则即为所求；
（4）找到上格点（的中点）以及关于的对称点即为所求
【小问1详解】
解：如图所示，连接，根据网格画出的中点即为所求，
【小问2详解】
解：如图所示，将绕点逆时针旋转得到，再找到的对应点（与网格线的交点），
【小问3详解】
如图所示，连接，交于点，则即为所求；
连接，
∵，
∴
∴是等腰直角三角形，
又∵
∴
∴是直角三角形，，
∴四点共圆，
∴，
设
∴，，
∴点即为所求；
【小问4详解】
如图所示，找到上格点（的中点）以及关于的对称点即为所求
如图所示，连接
由（3）可得四点共圆，，则为直径，
又为的中点，即为圆心，
∴
根据对称性可得
【点睛】本题考查了无刻度直尺作图，作线段的中点，勾股定理与网格问题，勾股定理的逆定理，圆周角定理及其推论，熟练掌握以上知识是解题的关键．
22. 在2024年巴黎奥运会上，全红婵凭借总分425.60分的成绩蝉联奥运会女子10米跳台的冠军，成为中国奥运史上最年轻的三金王．在进行跳水训练时，运动员身体（视作一点）在空中的运动路线可视作一条抛物线，如图所示，建立平面直角坐标系．已知为3米，为10米，跳水曲线在离起跳点水平距离为0.5米时达到距水面最大垂直高度米．

（1）当时，
①求这条抛物线的解析式；
②求运动员落水点与点的距离；
（2）图中米，米，若跳水运动员在区域内（含点）入水时才能达到训练要求，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）①，②米
（2）
【解析】
【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键：
（1）①根据题意，得到点坐标和抛物线的顶点坐标，利用待定系数法求出函数解析式即可；②求出时，的值，进而求出运动员落水点与点的距离即可；
（2）设抛物线的解析式为：，将代入得到，再把点，两点分别代入求出的值，即可得出结论．
【小问1详解】
解：①由题意，可知，，抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为：，
把代入，得：，
∴，
∴；
②当时，，
解得：（舍去）；
∴落水点的坐标为：，
∵，
∴运动员落水点与点的距离为米；
【小问2详解】
设抛物线的解析式为：，把，代入，得：
，
∴，
∴，
当抛物线过点时，，解得：；
当抛物线过点时，，解得：；
∴．
23. 如图，在中，，，点为内一点．
（1）如图（1），，，连接，求证：；
（2）如图（2），为的中点，若，，，求线段的长；
（3）如图（3），在（2）的条件下，若点为平面内一点，，连，将线段绕点顺时针旋转至，连，请直接写出的最大值．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先证明，进而证明，即可得证；
（2）作使得，连接，延长至点，使得，连接，根据（1）的方法可得，进而证明得出是等边三角形，则，解，得出，进而即可求解；
（3）延长至，使得，连接，证明得出是等边三角形，求得，得出，进而根据的最大值为即可求解．
【小问1详解】
证明：，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：如图所示，作使得，连接，延长至点，使得，连接，
同（1）可得
∴
∵，则
如图所示过点作，则
∴，
∴
∵是的中点，，
∴
∴
∴，
∴
∴是等边三角形，则
在中，
如图所示，作交直线于点
∴，则
∴，
在中，，
∴，
∴
【小问3详解】
解：如图所示，延长至，使得，连接，
由（2）可得，，则
∴
又∵
∴
在中，
∴
∴，
又∵
∴是等边三角形，
∴
依题意，如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接，则，
∵将线段绕点顺时针旋转至
∴，
∴
∴
∴
∵，即点在为圆心，为半径的圆上运动，
∴，即点在为圆心，为半径的圆上运动，
∵，
∴
∴的最大值为
【点睛】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，求一点到圆上的距离的最值，全等三角形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
24. 已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图（1），为抛物线上第一象限内一点，若，求点的坐标；
（3）如图（2），为轴上方一动点，直线与抛物线均只有唯一公共点，于点，且的面积是10，求线段长度的最大值．
【答案】（1）；
（2）点的坐标为；
（3）长度的最大值为．
【解析】
【分析】本题考查了二次函数综合问题，熟练掌握二次函数的图象与性质，学会利用函数思想转化角度和线段的关系是解题的关键．
（1）代入，到抛物线，求解a、b的值即可；
（2）过点作轴交轴于点，设，结合得出，得出，代入直线的解析式，解出t的值即可；
（3）设，，依据题意表示出直线和的解析式，再求出交点P的坐标，结合的面积是10，得出m、n的关系式，代入直线解析式可得定点坐标，再利用定点坐标确定长度的最大值即可．
【小问1详解】
解：代入，得：，
解得：，
抛物线的解析式为：．
【小问2详解】
如图，过点作轴交轴于点，则，
设，则，
轴，
轴，
，
，
，
，
又，
，
，
又，，
，
，
，
，
解得：（舍），，
点的坐标为．
【小问3详解】
设，，
设的解析式为，
代入得，，
，
，
联立，
消去整理得：，
与抛物线只有唯一公共点，
，
整理得：，
解得：，
，
同理可得，，
联立与可得交点；
，
，
，
，
，
，
当时，，
即经过定点，
，
，
当时，长度有最大值，
x
…
0
1
2
3
…
y
…
m
n
0
…