江苏省无锡市江阴市华西实验学校2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题（解析版）-A4

这是一份江苏省无锡市江阴市华西实验学校2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题（解析版）-A4，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题，每题3分共30分）
1. 下列方程中，是一元二次方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】一元二次方程的定义，含有一个未知数，未知数的指数最高次是2的整式方程．
【详解】解：A．该方程是二元二次方程，故本选项不合题意；
B．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意；
C．该式是一元二次不等式，不是方程，故本选项不合题意；
D．该方程分式方程，故本选项不合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的判定，掌握一元二次方程的定义是解答本题的关键．
2. 用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣6＝0时，配方后的方程是（ ）
A. （x＋2）2＝2B. （x﹣2）2＝2C. （x＋2）2＝10D. （x﹣2）2＝10
【答案】D
【解析】
【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤计算即可．
【详解】，
移项，得，
配方，得，
即,
故选：.
【点睛】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）解出未知数．
3. 已知⊙O的直径为4，若，则点与⊙O的位置关系是（ ）
A. 点在⊙O上B. 点在⊙O内C. 点在⊙O外D. 无法判断
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据点与圆的位置关系进行求解即可．
【详解】由⊙O的直径为4，可知圆的半径为r=2，又因为，可得4＞2，所以点P在⊙O外；
故选C．
【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键．
4. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的大小为（ ）
A. 56°B. 34°C. 29°D. 28°
【答案】D
【解析】
【分析】连接OA，OB，利用圆周角定理求解即可．
【详解】解：连接OA，OB．
由题意，∠AOB＝86°﹣30°＝56°，
∴∠ACB∠AOB＝28°，
故选：D．
【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是理解题意，掌握圆周角定理解决问题．
5. 如图，线段是半圆O的直径，分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，交半圆O于点C，交于点E，连接，若，则的长是（ ）

A. B. 4C. 6D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接，根据作图知垂直平分，即可得，，根据圆的半径得，，根据圆周角的推论得，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：连接，根据作图知垂直平分，

∴，，
∴，
即，
∵线段是半圆O的直径，
∴，
在中，根据勾股定理得，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质、直径所对的圆周角为直角、勾股定理知识，掌握相关的性质进行正确求解是解题的关键．
6. 电影《长津湖》以抗美援朝战争第二次战役中长津湖战役为背景，讲述了一段波澜壮阔的历史：71年前，中国人民志愿军赴朝作战，在极寒严酷环境下，东线作战部队凭着钢铁意志和英勇无畏的战斗精神一路追击，奋勇杀敌，扭转了战场态势，打出了军威国威．一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若把平均每天票房的增长率记作x，则可以列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】第一天为3，根据增长率为x，得出第二天为3(1+x)，第三天为3(1+x)2，根据三天累计为10，即可得出关于x的一元二次方程．
【详解】解：设平均每天票房的增长率为x，
根据题意得：
3+3(1+x)+3(1+x)2=10
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7. 若菱形的一条对角线长为8，边的长为方程的一个根，则菱形的周长为（ ）
A. 24B. 12C. 20D. 12或20
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质、一元二次方程的解法、三角形的三边关系；熟练掌握菱形的性质，由三角形的三边关系得出是解决问题的关键．解方程得出或，分两种情况：①当时，，不能构成三角形；②当时，，即可得出菱形的周长．
【详解】解：如图所示：

∵四边形是菱形，
∴，
∵
因式分解得：，
解得：或，
分两种情况：
①当时，，不能构成三角形；
②当时，，
∴菱形的周长．
故选：C
8. 如图，是的直径，若，∠D=60°，则长等于（ ）
A. 4B. 5C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆周角定理得出，，求出，根据含度角的直角三角形的性质求出，再根据勾股定理求出即可．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理和直角三角形的性质，熟练应用圆周角定理是解此题的关键．
9. 如图所示，为的直径，C、D是上的点，，垂足为点G，，过点C作的切线交延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，角度为的角的个数为（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】D
【解析】
【分析】由圆周角定理得，由等腰三角形性质得，由切线性质及已知可得，从而可得答案．
【详解】解：∵，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵为切线，，
∴，
∴；
即所有为的角有；
故选：D．
【点睛】本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，切线性质、直角三角形性质；题目虽简单，但运用的知识点较多．
10. 如图，正方形中，，点为边上一个动点，连接，点为CD上一点，且，在上截取点使，交于点，连接，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握正方形的性质，全等三角形的判定，将转换到直角三角形中运用勾股定理计算是解题的关键．
根据题意作与点，可证，可得，从而证明，随着点的运动则点的轨迹是以为直径的半圆，当点三点共线时线段的值最小，根据正方形可求出的长，根据线段和差即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，
在，中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
当点在线段上运动时，交点的运动轨迹是以线段为直径的半圆上，设线段的中点为，即点Z在的半圆上运动，当线段与线段交于点时，即点三点共线时，的值最小，
∵四边形是正方形，
∴，且，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
故选：．
二、填空题（共8小题每题3分共24分）
11. 已知关于x的一元二次方程有两根为和，则的值是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值．解题的关键在于熟练掌握：一元二次方程的两根为和，则，．由题意知，，，代入求解即可．
【详解】解：由题意可得；
；
；
∴；
故答案为：．
12. 如图，正方形四个顶点都在⊙O上，点P是在弧上的一点（P点与C点不重合），则的度数是_____．
【答案】
【解析】
【分析】连接，由正方形的性质、同弧或等弧上的圆周角相等即可求得答案．
【详解】解：连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∵正方形四个顶点都在⊙O上，点P是在弧上的一点（P点与C点不重合），
∴．
故答案为：
【点睛】此题考查了正方形的性质、圆周角定理等知识，熟练掌握“同弧或等弧上的圆周角相等”是解题的关键．
13. 若正六边形的内切圆半径为1，则其外接圆半径为________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查正多边形的内切圆和外接圆，解答本题的关键在于熟练掌握内切圆与外接圆的性质以及正多边形的内角和，本题即可求解．
【详解】解：如图，连接、，过作，
，
又∵正六边形中心角，
为正三角形，
，
∴，
又∵，
由勾股定理得，
．
故答案为：．
14. 如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为16米，拱高为4米，则拱的半径为_____米．
【答案】10
【解析】
【分析】找出石拱桥圆弧形的圆心O并连接，设半径为r，则，跨度是米，根据垂径定理可得米，在Rt中，根据勾股定理列方程，即可解得答案．
【详解】解：如图，找出石拱桥圆弧形的圆心O并连接，
设半径为r，
∵拱高为4米，
∴，
∵跨度是米，根据垂径定理可得米，
在Rt中，根据勾股定理可得，
，
解得，
即拱的半径为米．
故答案为：10
【点睛】此题考查了垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理是解题的关键
15. 已知圆的一条弦把圆周分成两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是________．
【答案】或
【解析】
【分析】此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质，以及圆心角与弧的关系．首先根据题意画出图形，然后由圆的一条弦把圆周分成两部分，求得的度数，又由圆周角定理，求得的度数，然后根据圆的内接四边形的对角互补，求得的度数，继而可求得答案．解题的关键是注意数形结合思想的应用．
【详解】解：如图，
弦把分成两部分，
，
，
四边形是的内接四边形，
．
这条弦所对的圆周角的度数是：或．
故答案为：或．
16. 如图，四边形内接于，是的直径，过点作的切线交的延长线于点，若，则________°．
【答案】115
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，圆内接四边形的性质，连接，根据切线的性质和圆内接四边形的性质即可得到结论．熟练掌握切线的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，
连接，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
故答案为：115．
17. 如图，四边形是的外切四边形，且，，则四边形的周长为________．
【答案】46
【解析】
【分析】根据切线长定理得到，从而得到，根据四边形的周长公式计算，即可得到答案．
【详解】解：如图所示，
四边形是的外切四边形，
，
，
四边形的周长，
故答案为：46．
【点睛】本题考查的是切线长定理，掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题的关键．
18. 如图，在矩形中，对角线上有两动点E和F，连接和，若，，，则的最小值是___________．

【答案】17
【解析】
【分析】如图，连接，，由全等三角形判定（）可以证得，得到，进而得到，再根据题意及勾股定理求出的值，即可得出答案．
【详解】解：如图，连接，，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，
又，为矩形的对角线，
，
是直角三角形，，，
，
移项得，
配方得，
，
解得，或
，
，
，
故答案为：17．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短，勾股定理的应用及解一元二次方程，熟知相关的判定与性质及解一元二次方程方法是解题关键．
三、解答题（共10小题）
19. 用适当的方法解下列方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1），
（2），
（3），
（4），
【解析】
【分析】（1）利用直接开方法解该一元二次方程即可；
（2）利用配方法解该一元二次方程即可；
（3）利用因式分解法解该一元二次方程即可；
（4）利用公式法解该一元二次方程即可．
【小问1详解】
解：，
，
∴，
即，；
【小问2详解】
解：，
，
，
，
，
∴，；
【小问3详解】
解：，
，
，
∴或，
∴，；
【小问4详解】
解：方程化为，
则，
∴，
∴该方程有两个不相等的根，且，
∴，．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的常用方法，如直接开方法、配方法、公式法、因式分解法等．
20. 已知，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】先化简代数式，再将一元二次方程进行变形，再代入化简后的代数式中，即可得．
【详解】解：，
∵
∴，
将代入中，
，
即．
【点睛】本题考查了代数式求值，解题的关键是正确化简代数式，正确变形一元二次方程．
21. 如图，在平面直角坐标系中，有三点．

（1）在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置；
（2）圆心M的坐标为_______；
（3）点D坐标为，连接，判断直线与的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）见详解 （2）
（3）相切，理由见详解
【解析】
【分析】本题考查作图−复杂作图、直线与圆的位置关系、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
（1）利用网格画出线段和线段的垂直平分线，交点即为点M．
（2）根据图形即可得出点M的坐标．
（3）连接，利用勾股定理判定，则直线为的切线．
【小问1详解】
解：如图，点M即所求．
【小问2详解】
解：由图可知，点M的坐标为．
故答案为：．
【小问3详解】
解：直线与相切．
理由：连接，
由勾股定理得，，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴直线是的切线．
22. 如图，四边形内接于，为的直径，平分．
（1）试判断的形状，并给出证明；
（2）若，求的长度．
（3）在（2）的条件下，求点到的距离．
【答案】（1）
是等腰三角形；
（2）的长为
（3）点到的距离为
【解析】
【分析】本题主要考查圆与几何图形的综合，理解并掌握等角所对的弧相等，等腰三角形的判定方法，勾股定理，等面积法求高的方法是解题的关键．
（1）根据直径所对圆周角为直角可得，根据角平分线的性质可得，由此可得，，由此即可求证；
（2）根据勾股定理可求出的长，根据直径所对圆周角为直角可得是直角三角形，再根据勾股定理即可求解；
（3）运用等面积法即可求解．
【小问1详解】
证明：∵是的直径，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形；
【小问2详解】
解：由（1）可知是等腰直角三角形，
∴，
∵是直径，
∴，
在中，，
∴的长为；
【小问3详解】
解：如图所示，过点作于点，
∵，
∴，
∴点到的距离为．
23. 已知关于x一元二次方程x2+2mx﹣n2+5＝0．
（1）当m＝1时，该一元二次方程的一个根是1，求n的值；
（2）若该一元二次方程有两个相等的实数根．
①求m、n满足的关系式；
②在x轴上取点H，使得OH＝|m|，过点H作x轴的垂线l，在垂线l上取点P，使得PH＝|n|，则点P到点（3，4）的距离最小值是 ．
【答案】（1）±2；（2）①m2+n2＝5；②5﹣．
【解析】
【分析】（1）把m=1，x=1代入方程得1+2-n2+5=0，然后解关于n的方程即可；
（2）①利用判别式的意义得到△=4m2-4（-n2+5）=0，从而得到m与n的关系；
②利用勾股定理得到OP=＝，则点P在以O点为圆心，为半径的圆上，然后根据点与圆的位置关系判断点P到点（3，4）的距离最小值．
【详解】解：（1）把m＝1，x＝1代入方程得1+2﹣n2+5＝0，
解得n＝±2，
即n的值为±2；
（2）①根据题意得△＝4m2﹣4（﹣n2+5）＝0，
整理得m2+n2＝5；
②∵OH＝|m|，PH＝|n|，
∴OP＝＝，
即点P在以O点为圆心，为半径的圆上，
∴原点与点（3，4）的连线与⊙O的交点P使点P到点（3，4）的距离最小，
∵原点到点（3，4）的距离为＝5，
∴点P到点（3，4）的距离最小值是5﹣．
故答案为5﹣．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了点与圆的位置关系．
24. 如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，过上一点T作⊙O的切线TC，且TC⊥AD于点C．
（1）若∠DAB=50°，求∠ATC的度数；
（2）若⊙O半径为5，CT=3，求AD的长．
【答案】（1）65°；（2）8
【解析】
【分析】（1）连接OT，根据切线的性质可得OT⊥CT，结合已知条件即可求出∠ATC的度数；
（2）过点O作OE⊥AD于点E，则E为AD的中点，由TC⊥AC，OT⊥CT，可得四边形OECT是矩形，得OE=CT=3，再根据勾股定理即可求出AD的长．
【详解】解：（1）如图，连接OT，
∵CT为⊙O的切线，
∴OT⊥CT，
∵TC⊥AC，
∴OT∥AC，
∴∠DAT=∠OTA，
∵OA=OT，
∴∠OAT=∠OTA，
∴∠DAT=∠OAT=DAB=25°，
∵TC⊥AC，
∴∠ACT=90°，
∴∠ATC=90°﹣25°=65°；
（2）过点O作OE⊥AD于点E，则E为AD的中点，
∵TC⊥AC，OT⊥CT，
∴四边形OECT是矩形，
∴OE=CT=3，
∵OA=5，
∴在Rt△AOE中，AE==4，
∴AD=2AE=8．
【点睛】本题主要考查了切线的判定以及性质，证明切线时可以利用切线的判定定理把问题转化为证明垂直的问题．
25. 已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB=AD，AE是⊙O的弦，∠AEC=30°．
（1）求证：直线AD是⊙O切线；
（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为4，求AE的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）先求出∠ABC=30°，进而求出∠BAD=120°，即可求出∠OAB=30°，结论得证；
（2）先求出∠AOC=60°，用三角函数求出AM，再用垂径定理即可得出结论．
【详解】（1）如图，
∵∠AEC=30°，
∴∠ABC=30°，
∵AB=AD，
∴∠D=∠ABC=30°，
根据三角形的内角和定理得，∠BAD=120°，
连接OA，
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠ABC=30°，
∴∠OAD=∠BAD﹣∠OAB=90°，
∴OA⊥AD，
∵点A在⊙O上，
∴直线AD是⊙O的切线；
（2）连接OA，
∵∠AEC=30°，
∴∠AOC=60°，
∵BC⊥AE于M，
∴AE=2AM，∠OMA=90°，
在Rt△AOM中，AM=OA•sin∠AOM=4×sin60°=2，
∴AE=2AM=4．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂径定理，切线的判定，锐角三角函数，三角形内角和定理，圆周角定理等，熟练掌握和运用相关的定理与性质是解本题的关键．
26. 如图，在中，，点P从A点出发，以的速度向B点移动，点Q从B点出发，以的速度向C点移动，当一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．如果P、Q两点同时出发．请回答：
（1）经过几秒后的面积等于？
（2）的面积能否等于，并说明理由？
【答案】（1）；
（2）不能，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）本题主要考查一元二次方程的应用，解答本题的关键在于明确题意，根据动点表示出，动点运动秒后，表示出的高，的面积即可求解．
（2）本题主要考查一元二次方程的应用，解答本题的关键在于明确题意，和（1）一样，根据动点表示出，动点运动秒后，表示出的高，表示出的面积列方程求解即可求解．
【小问1详解】
解：设动点运动秒后的面积等于，的高为，
∵点P以从A点出发，秒后，，，；
点Q以从B点出发，秒后，，
过点作的垂线，则即为的高；
又∵，
∴的高即为的一半，
∴．
．
当的面积等于，
即，
解得：，（舍去）．
【小问2详解】
当时，
即，
，
此时方程无实数根，
∴的面积不能等于．
27. 嘉海学校八年级开展社会实践活动，下表是“遇数临风”小组的记录表，请根据相关信息解决表中的两个问题．
【答案】某天超市正好销售千克的青菜，则获利元；若超市想一天销售青菜获利元，则青菜的售价为3元/千克或4元/千克
【解析】
【分析】问题1：设售价为元/千克，，计算得即可得；问题2：设青菜的售价为x元/千克，超市会一天销售青菜获利元，，计算得，，即可得．
【详解】解：问题1：设售价为元/千克，
则获利：（元），
答：某天超市正好销售千克的青菜，则获利元；
问题2：设青菜的售价为y元/千克，超市会一天销售青菜获利元，
，，
答：若超市想一天销售青菜获利元，则青菜的售价为3元/千克或4元/千克．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．
28. 综合探究
如图1，在矩形中，对角线相交于点，点关于的对称点为，连接交于点，连接．

（1）求证：；
（2）以点为圆心，为半径作圆．
①如图2，与相切，求证：；
②如图3，与相切，，求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②
【解析】
【分析】（1）由点关于的对称点为可知点E是的中点，，从而得到是的中位线，继而得到，从而证明；
（2）①过点O作于点F，延长交于点G，先证明得到，由与相切，得到，继而得到，从而证明是的角平分线，即，，求得，利用直角三角形两锐角互余得到，从而得到，即，最后利用含度角的直角三角形的性质得出；
②先证明四边形是正方形，得到，再利用是的中位线得到，从而得到，，再利用平行线的性质得到，从而证明是等腰直角三角形，，设，求得，在中，即，解得，从而得到的面积为．
【小问1详解】
∵点关于的对称点为，
∴点E是的中点，，
又∵四边形是矩形，
∴O是的中点，
∴是的中位线，
∴
∴，
∴
【小问2详解】
①过点O作于点F，延长交于点G，则，

∵四边形是矩形，
∴，，
∴，．
∵，，，
∴，
∴．
∵与相切，为半径，，
∴，
∴
又∵即，，
∴是的角平分线，即，
设，则，
又∵
∴
∴
又∵，即是直角三角形，
∴，即
解得：，
∴，即，
在中，，，
∴，
∴；
②过点O作于点H，

∵与相切，
∴，
∵
∴四边形是矩形，
又∵，
∴四边形是正方形，
∴，
又∵是的中位线，
∴
∴
∴
又∵，
∴
又∵，
∴
又∵，
∴是等腰直角三角形，，
设，则
∴
在中，，
即
∴
∴的面积为：
【点睛】本题考查矩形的性质，圆的切线的性质，含度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，中位线的性质定理，角平分线的判定定理等知识，掌握相关知识并正确作出辅助线是解题的关键．
嘉海学校社会实践记录表
团队名称
遇数临风
活动时间
班级人员
王嘉、马俊、张宁
地点
城南蔬菜超市
实践内容
调查青菜行情，帮超市解决销售问题的同时为顾客谋实惠．
调研信息
青菜的进价为2元/千克．
青菜售价为元/千克时，每天可销售千克．
每千克每涨价元，每天少销售5千克．
解决问题
问题1
某天超市正好销售千克的青菜，则获利多少元？
问题2
若超市想一天销售青菜获利元，则青菜的售价为多少元/千克？