山西省朔州市怀仁市2024-2025学年上学期八年级期中数学试卷（解析版）-A4

这是一份山西省朔州市怀仁市2024-2025学年上学期八年级期中数学试卷（解析版）-A4，共23页。试卷主要包含了试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟
2．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
第Ⅰ卷选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 在2024年巴黎奥运会上，中国代表团取得了优异成绩．下列巴黎奥运会项目的图标中，在文字上方的图标是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，理解轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此逐项判断即可．
【详解】解：A中图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B中图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C中图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D中图形是轴对称图形，故本选项符合题意，
故选：D．
2. 小林在家打扫卫生，为方便拆取窗帘，拿来一个人字梯，在打开梯子时发现中间有一根拉杆（如图），这样设计所蕴含的数学道理是（ ）
A. 两点之间，线段最短B. 两点确定一条直线
C. 三角形具有稳定性D. 三角形两边之和大于第三边
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．根据三角形具有稳定性判断即可．
【详解】解：这样设计的道理是三角形具有稳定性，
故选：C．
3. 下列各图形中，正确画出中边上的高的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三角形的高．从三角形一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高，根据三角形的高的定义逐一判断，即可得到答案．
【详解】解：根据三角形高线的定义，边上的高是过点A向作垂线，垂足为E，
纵观各图形，选项A、B、D都不符合题意，只有选项C符合题意，
故选：C．
4. 将一根长14厘米的铁棒截成三段，首尾相连焊接成一个等腰三角形，如图，如果第一次在4厘米处（剪刀处）截断，那么第二次可以在（ ）处截断．
A. ①或②B. ①或③C. ②或③D. ③或④
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，分4厘米为等腰三角形的腰和底讨论即可．
【详解】解：当4厘米为腰时，则底为厘米， 此时能组成三角形，
∴第二次可以在②处截断；
当当4厘米为底时，则腰为厘米， 此时能组成三角形，
∴第二次可以在③处截断；
综上， 第二次可以②或③处截断，
故选：C．
5. 如图，将透明直尺叠放在正五边形上，若正五边形有两个顶点恰好落在直尺的边上，且，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了多边形内角和，三角形的内角和定理，平行线的性质等知识；先求出正五边形每一个内角的度数等于，根据“两直线平行，同位角相等”可得，进而根据三角形内角和等于求出的度数即可．
【详解】解：如图，
∵正五边形内角和，
∴，
∵，
∴．
∴在中，，
故选：C．
6. “又是一年三月三”．在校内劳动课上，小明所在小组的同学们设计了如图所示的风筝框架．已知的周长为，．制作该风筝框架需用材料的总长度至少为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据BF=EC以及边与边的关系即可得出BC=EF，再结合∠B=∠E、AB=DE即可证出△ABC≌△DEF（SAS），进而得出C△DEF=C△ABC=24cm，结合图形以及CF=3cm即可得出制成整个风筝框架所需这种材料的总长度．
【详解】解：∵BF=EC，BC=BF+FC，EF=EC+CF，
∴BC=EF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴C△DEF=C△ABC=24cm．
∵CF=3cm，
∴制成整个风筝框架所需这种材料的总长度为C△DEF+C△ABC-CF=24+24-3=45cm．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理和性质定理.
7. 如图，在中，，D、E分别是上的点，要使，应补充条件（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键：全等三角形的判定定理有．
【详解】解：添加条件，结合，不能证明，故A不符合题意；
添加条件，结合，，不能利用证明，故B不符合题意；
添加条件，结合，，能利用证明，故C符合题意；
添加条件，结合，，不能证明，故D不符合题意；
故选：C．
8. 如图所示，在三角形中，，，在上分别取点D，E使，，则图中的等腰三角形有（ ）

A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定、三角形内角和定理，根据等腰三角形的判定和三角形内角和定理解答即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，等腰三角形，
∵，
∴是等腰三角形，
∵，
∴是等腰三角形，
∴，
∴是等腰三角形，
同理，是等腰三角形，
∴，
∴是等腰三角形，
故选：D．
9. 小明在学完《全等三角形》这章后，自己进行小结．如图，他画图过程说明（ ）
A. 两个三角形的两条边和其中一边的对角对应相等，这两个三角形不一定全等
B. 两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等
C. 两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等
D. 两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟知三角形全等的判定是解题的关键．根据全等三角形的判定进行判断即可．
【详解】解：根据作图可知：两个三角形有两条边和其中一边对角相等，但这两个三角形不全等，
所以两个三角形的两条边和其中一边对角相等，这两个三角形不一定全等，
故选：A．
10. 如图，在一条沿直线l铺设的电缆同侧有P，Q两个小区，现要在直线l上选取一点M，分别向两个小区铺设电缆．下面四种铺设方案中，使用电缆材料最少的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查轴对称的应用，线段的性质，作点P关于直线l的对称点，则，由两点之间线段最短，可知与直线l的交点即为点M．
【详解】解：作点P关于直线l的对称点，则，，
，
故选B．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 如图，图中的两个三角形全等，则______°．
【答案】55
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形对应角相等．根据全等三角形的性质进行解答即可．
【详解】解：根据左图可知，边a、c夹角为，
∵两个三角形全等，
∴．
故答案为：55．
12. 如图是某商场一部手扶电梯的示意图，若，长为米，则乘电梯从点到点上升的高度_______米．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，掌握添加合理的辅助线，构造直角三角形，运用含30°角的直角三角形的性质是解题解题的关键．
根据题意，过点作延长线于点，则，可得，运用运用含30°角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作延长线于点，则，
∵，
∴，
∴在中，（米），
∴点到点上升的高度米，
故答案为：4 ．
13. 如图是公园内由两种地砖所铺路面的一部分，分别是边长为的两块正六边形和一块正方形地砖．若再用一块边长为的正多边形地砖无缝隙、不重叠地铺在处，则这块正多边形地砖的周长为_______．
【答案】240
【解析】
【分析】本题考查了正多边形的的内角和，一元一次方程的应用，掌握多边形内角和公式是解题关键．根据题意得到的大小，设这块正多边形地砖的边数为，结合多边形内角和列方程，可得到这块正多边形地砖的边数，再结合边长即可求得这块正多边形地砖的周长．
【详解】解：正六边形的内角度数为，正方形的内角度数为，
，
设这块正多边形地砖的边数为，
则，
解得：，
这块正多边形地砖的边数为，
这块正多边形地砖的周长为，
故答案为：240．
14. 如图，在正方形网格中，是格点三角形（每个顶点都是格点），格点与全等（点D与点C不重合），满足条件的共有_____个．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理与网格，全等三角形的判定，掌握勾股定理的判定方法是解题的关键．
运用勾股定理可得的长，根据全等三角形的判定方法作图分析即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵，AB是公共边，，
∴运用边边边可证：，
∴满足条件共有3个，
故答案为：3 ．
15. 如图，将等边三角形和等腰直角三角形重叠摆放，，点D，E分别在边上，且．若，则的面积等于_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，先判定是等边三角形，推出，根据是等边三角形，得到，进而求出，由是等腰直角三角形，求出，过点作于，求出，即可解答．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
过点作于，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 如图，点B，C，F，D在同一条直线上，，试探究与之间的数量关系并证明．
【答案】．证明见解析
【解析】
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，先证明，，再证明，结合全等三角形的性质可得结论．
【详解】解：．理由如下：
∵，
∴．
∵，
∴，即，
在和中，，
∴，
∴．
17. 如图，要测量小河两岸B，M两点之间的距离，测出的度数，如果，则量出的长就可得到的长．试说明这样做的理由．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查三角形的外角的等腰三角形的判断，根据三角形的外角的性质得出，由得，进而得出，从而可得出结论．
【详解】解：∵是的外角，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
∴只要测得及的长，就可得到的长．
18. 如图，数学实践活动小组为了测量一幢楼的高度，在旗杆与楼之间选定一点P（点D，P，B在一直线上），测得与地面的夹角，与地面的夹角，点P到楼底的距离为，旗杆的高度为．若旗杆与楼之间的距离为，请你计算楼的高．
【答案】楼高为
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，利用全等三角形的判定方法得出，进而得出的长．
【详解】解：由题可知，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
在和中，
，
∴
∴．
∵，
∴．
∴．
答：楼高为．
19. 如图，的高相交于点O，，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】根据三角形高线的定义，可知，再利用直角三角形全等的判定得出，根据全等三角形的性质得出，，结合图形即可求解．
本题考查了三角形的高线的定义，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵为的两条高，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
20. 如图1，在中，，CD平分，垂足在CD的延长线上，则线段与CD之间的数量关系为 ．
理由：如图，分别延长，CA两线交于点，
……
（请将解答过程补充完整）

【答案】，见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，延长交CA延长线于，由CD为角平分线得到一对角相等，再由一对直角相等，CE为公共边，证明，根据全等三角形对应边相等得到，根据等角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，证明，根据全等三角形的性质得到，等量代换即可得证．
【详解】
理由：如图，分别延长，CA两线交于点，
∵CD平分，
∴．
∵，
∴
在和中，
，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴，
即．
在和中，
，
∴，
∴，
∴.
21. 如图，在平面直角坐标系中，线段的两个端点A，B的坐标分别为．
（1）在图中画出线段关于y轴对称的线段；
（2）若点是线段上的任意一点，则点P在线段上的对应点的坐标是 ；
（3）点C是平面内一点，若是以为腰的等腰直角三角形，则点C的坐标为 ．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）或或或
【解析】
【分析】本题考查了坐标与轴对称．
（1）根据题意作图即可；
（2）根据点关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相等可求；
（3）在图中画出所有符合条件的点C，再写出其对应坐标即可．
【小问1详解】
解：如图：
线段即为所求；
【小问2详解】
解：由题意可得点是点关于y轴的对称点，
点的坐标为，
故答案为：；
【小问3详解】
解：
满足条件的点C如图中点，坐标分别为，，，，
故答案为：或或或．
22. 数学实验能增加学习数学的兴趣，也是提高动手能力和发展创新意识的手段之一．八年级1班同学在运用数学实验研究角平分线时提出了如下问题，请你解答．
（1）“行知”小组开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，作图痕迹如下图：
其中射线为的平分线的共有______
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2）如图1，“善思”小组尝试制作可以用来平分角的仪器，其中，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们落在角的两边上，沿画一条射线，则就是的平分线．请说明理由．
（3）如图2，“智慧”小组尝试制作可以用来三等分角的仪器，仪器是一个直角角尺，图中的点A，B，C在一条直线上，且．
小组同学给出仪器三等分的步骤：
第一步，将仪器如图3放置，使落到的边所在的直线上，画出此时所在直线；
第二步，将仪器如图4放置，使所在直线过的顶点O，且点A，C分别落在直线，射线上；
第三步，在图4中分别作射线，射线，得到图5．
下面是小组同学展示的部分推理过程：
①“▲”处的推理依据是 ；
②补全推理过程．
【答案】（1）D （2）见解析
（3）①角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上；②见解析
【解析】
【分析】（1）根据作图痕迹，逐一进行判断即可；
（2）根据，，结合即可得到即可得到证明；
（3）①根据角平分线的判定方法解答即可；
②根据证明得，进而可证线和射线将三等分．
【小问1详解】
解：第一个图为尺规作角平分线的方法，为的平分线；
第二个图，由作图可知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为的平分线；
第三个图，由作图可知，
∴，，
∴
∴，
∴为的平分线；
第四个图，由作图可知：，，
∴为的平分线；
故选D．
【小问2详解】
理由如下：在和中，，
∴
∴．
∴沿画一条射线，则就是的平分线．
【小问3详解】
①角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上；
②∵点A，B，C在一条直线上，，
∴，
∴．
∵BM所在直线过的顶点O，
∴．
在和中，
∴．
∴．
又∵点C在上，
∴．
∴．
∴射线和射线将三等分．
【点睛】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，角平分线作图，平行线作图，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
23. 综合与实践
【问题情境】
三角尺是我们生活中常用的工具，一副三角尺由如图1所示两块三角尺构成，内角分别为，，和，，．八年级数学兴趣小组开展了关于三角尺的项目化学习活动．下面是他们的探究过程，请你仔细阅读，共同解决相关问题!
【初步探究】
（1）将两个三角尺如图2（左图）重叠摆放，点D为含角的三角尺斜边的中点，小组同学将其绘制成如图2（右图）所示的图形．若含角的三角尺的直角边长为，那么两个三角尺重叠部分的面积等于 ；
【深入探究】
（2）该小组同学继续探究，将两个三角尺如图3（左图）重叠摆放，若点D仍为含角的三角尺斜边的中点，其直角边的长还等于，图3（右图）是此时的示意图，请计算两个三角尺重叠部分的面积；
【拓展延伸】
（3）如图4，是等腰直角三角形，D是斜边的中点．是直角三角形，，边恰好经过点A，连接．若，请直接写出线段之间的数量关系： ．
【答案】（1）16；（2）；（3）
【解析】
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，理解等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）运用等腰直角三角形的性质可得，，点三点共线，可得，根据三角形的面积计算公式即可求解；
（2）如图所示，连接AD，可证，得到，由重叠部分的面积为，即可求解；
（3）如图所示，连接AD，设交于点，交于点，可得，，由（2）的证明可得，，则有，所以有即，证明，得到，由，即可求解．
【详解】解：（1）点D为含角的三角尺斜边的中点，含角的三角尺的直角边长为，
∴，
∴，，
∵，点三点共线，
∴，
∴，
∴，
∴重叠部分，
故答案为：；
（2）如图所示，连接AD，
∵点D仍为含角的三角尺斜边的中点，直角边的长还等于，
∴，，
∴，
由上述证明可得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴重叠部分面积为，
∴，
∴；
（3）如图所示，连接AD，设交于点，交于点，
∵是等腰直角三角形，D是斜边的中点
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（2）的证明可得，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
如图5，过点A作，垂足为D，连接．由仪器特征和操作过程可知，且．∴（▲）．
……