湖北省武汉市汉阳区2024届九年级上学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份湖北省武汉市汉阳区2024届九年级上学期期末考试数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
九年级数学试卷
一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列词语所描述的事件属于随机事件的是（ ）
A．拔苗助长B．刻舟求剑C．守株待兔D．竹篮打水
2．已知点与点关于原点对称，则的值是（ ）
A．2B．C．D．4
3．用配方法解方程，下列变形正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在中，，将绕点逆时针旋转到位置（其中点和点，点和点分别对应）．若，则的大小（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在中，，圆心在上，与相切，为切点．则的（ ）．
A．B．C．D．
6．将二次函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的二次函数解析式是（ ）
A．B．
C．D．
7．如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“关联数”．用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“关联数”的概率（ ）
A．B．C．D．
8．若关于的一元二次方程的两根互为相反数，则两根之积是（ ）
A．B．5C．或5D．2或
9．如图，圆中互相垂直的弦，与圆心的距离分别为，，这时圆内被分为①②③④四个部分．如果用，，，分别表示这四个部分的面积，则可表示（ ）
A．B．C．D．0
10．边长为2的正方形的顶点在轴正半轴上．如图将正方形绕顶点顺时针旋转，使点恰好落在抛物线上，则的值是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．抛物线的顶点坐标为 ．
12．小明在操场上做游戏，他在沙地上画了一个面积为的矩形，并在四个角画上面积不等的扇形，在不远处的固定位置向矩形内部投石子，记录如下（石子不会落在矩形外和各区域边缘）：
依此估计空白部分的面积可能是 ．
13．读书已经成为很多人的一种生活方式，城市书院是读书的重要场所之一．据统计，某书院对外开放的第一个月进书院600人次，进书院人次逐月增加，到第三个月末累计进书院2850人次，若进书院人次的月平均增长率为，则可列方程为 ．
14．如图，从一块直径是的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径为 ．
15．二次函数（，是常数，的图象过点．现有以下结论：
①；
②若，则随的增大而增大；
③若该抛物线过点，在抛物线上，则在时，；
④若该抛物线与直线没有交点，则；
其中，正确的结论是 ．
16．古代数学家阿基米德曾经提出一个定理：一个圆中一条由两条长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点．如图（1），弦，是的一条折弦，点是的中点，过点作于，则．根据这个定理解决问题：
如图（2），边长为的等边内接于，点为优弧上的一点．，则的周长是 ．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．已知是一元二次方程的一个根，求的值及方程另一个根．
18．如图，分别以的边，为边向形外作等边三角形和等边三角形，连，．求证：．
19．在不透明的袋子里装有2个红球、1个蓝球（除颜色外其余都相同）．
（1）第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，请用画树状图或列表的方法，求两次摸到一红一蓝的概率．
（2）若向袋中再放入若干个同样的蓝球，搅拌均匀后，使从袋中摸出一个蓝球的概率为，求后来放入袋中的蓝球个数．
20．如图，是圆的内接三角形，点在弦上，平分，．
(1)求证：平分；
(2)若为直径，且，，求的长．
21．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．，两点为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．

(1)如图（1），点是格点，先画的角平分线，再在劣弧上画点，使；
(2)如图（2），所对的圆心角是，先画等边三角形，再过点画此圆的切线．
22．如图，某公园的一组同步喷泉由间隔等距的若干个一样的喷泉组成，呈抛物线形的水流从垂直于地面且高出湖面的喷头中向同一侧喷出，每个喷头喷出的水流可看作同样的抛物线．若记水柱上某一位置与喷头的水平距离为，喷出水流与湖面的垂直高度为．
下表中记录了一个喷头喷出水柱时与的几组数据：
(1)如图，以喷泉与湖面的交点为原点，建立如图平面直角坐标系，求此抛物线的解析式；
(2)现有一个顶棚为矩形的单人皮划艇，顶棚每一处离湖面的距离为．顶棚刚好接触到水柱，求该皮划艇顶棚的宽度．
(3)现公园管理方准备通过只调节喷头露出湖面的高度，使得游船能从抛物线形水柱下方通过，为避免游客被喷泉淋湿，要求游船从抛物线形水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于，已知游船顶棚宽度为，顶棚到湖面的高度为，那么公园应将喷头（喷头忽略不计）至少向上移动多少才能符合要求？（直接写出结果）
23．在中，，以斜边为边向形外作等边三角形．
(1)将线段绕点逆时针旋转，画出对应线段，并连．
(2)在（1）的条件下，
①求的大小；
②若，直接写出的最大值．
参考答案
1．C 2．A 3．C 4．B 5．C 6．A 7．B 8．A 9．A 10．D
11．
12．4
13．
14．
15．①②③④
16．
17．的值是，另一个根是
18．证明：∵和都是等边三角形，
∴，
∴，即，
在和中，，
∴，
∴．
19．（1） ；（2）9个
解：(1)如图所示，
共有6种可能结果，每种结果发生的可能性相等；
其中两次摸到不同颜色球包含其中4种结果，
所以两次摸到不同颜色球的概率为；
(2)设放入x个蓝球，
由题意，得： ，
解得： x=9，
经检验， x=9 是原方程的解，
所以，放入袋中的蓝球为9个．
20．（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即平分；
（2）解：如图，分别过点A，D作，垂足分别为F，G，设交于点P，
∵为直径，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，，
∴．
21．（1）解：如图，角平分线，点E即为所求；

∵点G是的中点
∴
∴
∴是的角平分线；
∵
∴
∴
∴；
（2）如图所示，等边，切线即为所求；

∵所对的圆心角是，
∴所对的圆周角是，即
∵垂直平分线
∴
∴是等边三角形；
∴
∵垂直平分线
∴是圆的直径
∴
∵四边形是圆内接四边形
∴
∴
∴
∴
∴点A是的中点
同理可证，点B是的中点
∴
∵是等边三角形
∴是等边三角形；
∵垂直平分线
∴垂直平分线
∴点G是的中点
∵点B是的中点
∴
∵是等边三角形
∴经过点B的直径垂直
∴经过点B的直径垂直
∵点B在圆上
∴是圆的切线．
22．(1)
(2)
(3)公园应将水管高度至少向上调节米才能符合要求．
（1）解：由表格可知：函数图像经过点，
设函数解析式为：，
则有：，解得：，
所以函数解析式为：．
（2）解：令，则有，解得：，
所以该皮划艇顶棚的宽度为．
（3）解：设公园应将喷头（喷头忽略不计）至少向上移动才能符合要求，则调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：，
∴抛物线的对称轴为：，
由题意可知，当横坐标为时，纵坐标的值不小于，
∴，解得：，
∴水管高度至少向上调节米，
∴公园应将水管高度至少向上调节米才能符合要求．
23． （1）解：作图如下：
（2）解：①，
，
在和中，
，
，
又，
，
，
，
；
②，
要使有最大值，则A、B、E三点共线，
，
，
在，，
，
，
．投石子的总次数
50次
150次
300次
600次
石子落在空白区域内的次数
14次
85次
199次
400次
石子落在空白区域内的频率
0
1
2
3
4.5
1