江苏省无锡市江阴市江华士片区2024-2025学年八年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份江苏省无锡市江阴市江华士片区2024-2025学年八年级(上)期中数学试卷(解析版)，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确）
1. 下列汽车标志中，不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A、是轴对称图形，故错误；
B、是轴对称图形，故错误；
C、不是轴对称图形，故正确；
D、是轴对称图形，故错误．
故选C．
2. 如图，，B、C、D在同一直线上，且，，则长（ ）
A. 18B. 20C. 22D. 21
【答案】A
【解析】解：∵，
∴，，
∴，
故选：A．
3. 在下列说法中，正确的是（ ）
A. 如果两个三角形全等，则它们一定能关于某直线成轴对称
B. 成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分；
C. 等腰三角形对称轴是底边上的高
D. 若两个图形关于某直线对称，则它们的对应点一定位于对称轴的两侧
【答案】B
【解析】解：A、全等的三角形不一定能关于某直线成轴对称，故本选项不符合题意；
B、成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分，故本选项符合题意；
C、等腰三角形是以底边的高线所在的直线为对称轴的轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、若两个图形关于某条直线对称，则它们的对应点不一定位于对称轴的两侧，故本选项不符合题意．
故选：B．
4. 如图，若，则添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】解：A、根据，，能推出，正确，故本选项不符合题意；
B、根据，，能推出，正确，故本选项不符合题意；
C、两边和一角对应相等的两三角形不一定全等，错误，故本选项符合题意；
D、根据，，能推出，正确，故本不符合题意；
故选：C．
5. 第三届“一带一路”国际合作高峰论坛于2023年10月17日至18日在北京举行．“一带一路”正在成为惠及各国人民的“发展带”“幸福路”．如图，若记北京为地，莫斯科为地，雅典为地，若想建立一个货物中转仓，使其到、、三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（ ）
A. 三边垂直平分线的交点B. 三边中线的交点
C. 三条角平分线的交点D. 三边上高的交点
【答案】A
【解析】根据线段垂直平分线的性质可知，三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，所以中转仓的位置应选在三边垂直平分线的交点．
故选：A．
6. 等腰三角形的一个外角为，则这个三角形的底角的大小是（ ）
A. B. 或C. 或D.
【答案】C
【解析】解：当这个外角是底角的外角时，底角的大小为；
当这个外角是顶角的外角时，底角的大小为；
综上，这个等腰三角形的底角的大小是或．
故选：C．
7. 在中，的对边分别为，下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】解：A．由题可得：满足勾股定理的逆定理，
是直角三角形，故A选项不符合题意；
B．，
，
∵，
由三角形内角和定理得：，
不是直角三角形，故B选项符合题意；
C．∵ ，
设，则，，
由三角形内角和定理得：，
解得：，，，
是直角三角形，故C选项不符合题意；
D． 由题可得：满足勾股定理的逆定理，
是直角三角形，故D选项不符合题意．
故选B
8. 如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪“能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒、组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点、可在槽中滑动，若，则的度数是（ ）

A. B. 72°C. D.
【答案】D
【解析】解：∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
9. 如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则蚂蚁爬行的最短路径长为（ ）
A. 20B. 22C. 24D. 25
【答案】D
【解析】解：长方体侧面展开图如图所示．
由题意，得，．
在中，，
故选：D．
10. 如图，在中，和的平分线相交于点O，过点O作交于点E，交于点F，过点O作于点D，下列四个结论：①；②点O到各边的距离相等；③；④设，，则．正确的结论有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】解：在中， 和的平分线相交于点O，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，故①正确；
过点O作于M，作于N，连接，
，
在中，是的平分线，是的平分线，
， ，
，
∴点O到各边的距离相等，故②正确；
，，，
∴，
同理，，，
∴，
∵，
∴，故③正确；
，，
∴，
∴，故④正确；
综上所述：正确的结论有①②③④，共4个，
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答卷的相应的位置）
11. 如图是从镜子里看到的号码，则实际号码应是______．

【答案】3265
【解析】解：根据镜面对称的性质，关于镜面对称，又在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，则这个号码是3265，
故答案为：3265．
12. 若，，，则___________．
【答案】
【解析】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
13. 等腰三角形的两边长分别是和，那么这个三角形的周长是______．
【答案】
【解析】解：当三边的长为，，，因为，故不能构成三角形；
当三边的长为，，，能构成三角形，
∴周长为，
故答案为：．
14. 在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，则△ABC的面积是________．
【答案】12
【解析】解：作AH⊥BC于H，
∵AB=AC，BC=6，
∴BH=BC=3，
由勾股定理得，AH==4，
∴△ABC的面积是×BC×AH=×6×4=12，
故答案为：12．
15. 如图是3×3的正方形网格，要在图中再涂黑一个小正方形，使得图中黑色的部分成为轴对称图形，这样的小正方形有_________________个．
【答案】5
【解析】解：如图所示：所标数字之处都可以构成轴对称图形．
故答案为：5．
16. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别是5，3，5，7，则最大的正方形E的面积是______．
【答案】
【解析】解：如图所述，设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，

∴根据题意可得，，，
∴，
∵是正方形的面积，
∴正方形的面积为，即正方形的面积是正方形的面积和，
同理，正方形的面积为，
∴正方形的面积为，
故答案为：．
17. 如图，在四边形中，，，，则的面积为__________．
【答案】32
【解析】解：过点B作交的延长线于点E，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积，
故答案为：32．
18. 如图，中，．将沿射线折叠，使点A与边上的点D重合，E为射线上一个动点，当周长最小时，的长为______________．
【答案】
【解析】解：由题意可知，A、D两点关于射线对称，
∴，
∵为定值，
要使周长最小，即最小，
∴与射线的交点，即为使周长最小的点E，
∵．且，
∴，
∴为直角三角形，
∴，
∵，
∴，
设，则，
中，，
即，
∴，
∴．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答卷的指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19.
（1）如图1，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A，B，C在小正方形的顶点上．
①在图中画出与关于直线l成轴对称的；
②在图中直线l上找一点P，使的长最短．
（2）在图2的中，试求作一点P，使得点P到B、C两点的距离相等，并且到两边的距离也相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
解：（1）①如图所示，即为所求；
②如图所示，连接，交直线于点，连接，
此时，此时为最小值，
则点即为所求．
（2）如图所示：则点即为所求．
20. 已知：如图，AC∥DF，AC=DF，AB=DE．
求证：
（1）△ABC≌△DEF；
（2）BC∥EF．
解：证明：（1）∵AC∥DF，
∴∠A=∠FDE，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(SAS)；
（2）∵△ABC≌△DEF，
∴∠ABC=∠E，
∴BC∥EF.
21. 如图，在中，AB=AC=10cm，BC=6cm，∠A=50°，DE为AB的垂直平分线，分别交AB、AC于点E、D．
（1）求的周长；
（2）求∠CBD的度数．
解：（1）∵DE⊥AB，且平分AB，
∴DA=DB，DB+DC=AC，
∴△BDC的周长
= DB+DC +BC
= DA+DC +BC
=AC+BC
=10+6
=16（cm）．
（2）∵DA=DB，
∴∠ABD=∠A=50°；
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC==；
∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=65°-50°=15°.
22. 如图，平分，于点E，于点F，若．
（1）求证：；
（2）已知，，求的长．
解：（1）证明：∵平分，于点E，于点F，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）由（1）得，，,
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即，
∴．
23. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
解：（1）由题意得：，
在中，
由勾股定理得，，
所以，（负值舍去），
所以，（米)，
答：风筝的高度为21.6米；
（2）由题意得，米，
米，
（米)，
（米)，
他应该往回收线8米．
24. 如图，在四边形中，，、分别是、的中点．
（1）请你猜想与的位置关系，并给予证明．
（2）若，，求的长．
解：（1），理由如下：
如图，连接，，
，为中点，
，，
，
又是的中点，
；
（2），、分别是、的中点，且，，
，，
由（1）可知：，
，
由勾股定理可得：
，
长是．
25.
【情境建模】
（1）我们知道“等腰三角形底边上的高线、中线和顶角平分线重合”，简称“三线合一”．小明尝试着逆向思考：如图，点在的边上，平分，且，则．请你帮助小明完成证明．
【理解内化】
（2）请尝试直接应用“情境建模”中小明反思出的结论解决下列问题：
如图，已知在中，平分，，．
求证：；
【拓展应用】
（3）如图，是两条公路岔路口绿化施工的一块区域示意图，其中，米，米，该绿化带中修建了健身步道，其中入口分别在上，步道分别平分和，，．现要在区域修建公共设施，试求需要多少米的围挡才能将围成一圈？（步道宽度忽略不计）请直接写出需要围栏为 米．
解：（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2）证明: 如图，延长交于点，
∵平分，，
由（）可得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：延长交于点，延长交于点，如图，
由（）可知，，，，，
∵，
∴，
∴，
∵米，米，
∴（米），
∴的周长
（米），
∴需要米的围挡才能将围成一圈，
故答案：．
26. 如图，中，，，，点从点开始以的速度沿向点运动，设出发的时间为秒．
（1） （用含的代数式表示）；
（2）问为何值时，为等腰三角形？
（3）当 时，点在的角平分线上．
解：（1）由题意可知：，
，
故答案为：；
（2）如图，过点作于点，
，
设，则，
由勾股定理可得：，
，，，
，
解得：，
，
，
分三种情况讨论：
当时，
则，
解得：；
当时，
，
，
，
，
解得：；
当时，
，
，
，
，
，
，
解得：；
综上所述，当或或时，为等腰三角形，
答：当或或时，为等腰三角形；
（3）如图，点在的角平分线上，过点作于点，作于点，
，
由（2）可知：，
，
，
，
解得：，
，
，
即：，
解得：，
故答案为：．