湖北省孝感市孝昌县2024-2025学年九年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份湖北省孝感市孝昌县2024-2025学年九年级(上)期中数学试卷(解析版)，共24页。试卷主要包含了精心选一选，相信自己的判断！，细心填一填，试试自己的身手！，用心做一做．显显自己的能力！等内容，欢迎下载使用。
一、精心选一选，相信自己的判断！（本大题共8小题，每小题3分，共24分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】解：A. 沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B. 沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故此选项符合题意；
C. 沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D. 沿一条直线折叠，直线两旁部分能够互相重合，是轴对称图形，绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
2. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：抛物线的顶点坐标为
故选：C
3. 下列命题：①长度相等的弧是等弧；②任意三点确定一个圆；③相等的圆心角所对的弦相等；④平分弦的直径垂直于弦；⑤圆内接四边形的对角互补．其中正确的结论有（ ）个
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】D
【解析】解：①在同圆或等圆中，能够完全重合的弧是等弧，故错误；
②任意不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误；
③同圆弧或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故错误；
④平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故错误；
⑤圆内接四边形的对角互补，故正确．
故选：D．
4. 如图，将绕点顺时针旋转得到，边、相交于点，若，则的度数为（ ）
A. 65°B. 15°C. 75°D. 115°
【答案】A
【解析】解：∵将绕点顺时针旋转得到，
∴，，
∴；
故选：A．
5. 如图，AC是⊙O直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（ ）
A. 3cmB. cmC. 2.5cmD. cm
【答案】D
【解析】连接OB，
∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD=8cm，AE=2cm．
在Rt△OEB中，OE2+BE2=OB2，即OE2+42=（OE+2）2
解得：OE=3，
∴OB=3+2=5，
∴EC=5+3=8．
在Rt△EBC中，BC=．
∵OF⊥BC，
∴∠OFC=∠CEB=90°．
∵∠C=∠C，
∴△OFC∽△BEC，
∴，即，
解得：OF=．
故选D．
6. 已知抛物线（a为常数，且）的图象上三点．，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：∵对称轴为，抛物线开口向上，
根据二次函数图象的对称性可知的对称点为，
由各点坐标可知在对称轴的右侧，随的增大而增大，
因为，于是．
故选：D．
7. 某一个人患了流感，经过两轮传染后共有64个人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则正确的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据题意可知：第一轮传染后的感染人数为：，
第二轮传染后的感染人数为：，
故可列方程为：，
故选：C．
8. 如图，在四边形中，，，，，．动点沿路径从点出发，以每秒1个单位长度的速度向点运动．过点作，垂足为．设点运动的时间为（单位：），的面积为，则关于的函数图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】解：当点P在AB边上，即0≤x≤4时，如图1，
∵AP=x，，
∴，
∴；
当点P在BC边上，即4＜x≤10时，如图2，
过点B作BM⊥AD于点M，则，
∴；
当点P在CD边上，即10＜x≤12时，如图3，
AD=，，
∴；
综上，y与x的函数关系式是：，
其对应的函数图象应为：
．
故选：D．
二、细心填一填，试试自己的身手！（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是___________．
【答案】且
【解析】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，
解得且，
故答案为：且．
10. 在半径为13的圆中有两条互相平行的弦，其长分别为10和24，则这两条弦之间的距离为____________．
【答案】17或7
【解析】解：①当弦和在圆心同侧时，如图，

，，
，，
，
，，
；
②当弦和在圆心异侧时，如图，

，，
，，
，
，，
．
故答案为：17或7．
11. 如图，中，，，，把绕着点逆时针旋转得到，连接，则的长是______．

【答案】
【解析】∵中，，，，
∴，
∴，
∵把绕着点逆时针旋转得到，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：．
12. 如图，某小区有一块长为15米，宽为10米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．设人行通道的宽度为x米，则所列方程是____________________________________．

【答案】
【解析】解：若设人行通道的宽度为x米，将两块矩形绿地合在一起长为，宽为，由已知得：．
故答案为：
13. 如图，在矩形中，E在边上，H在边上，是矩形的外角的平分线，，连接，，，，则的长是________．
【答案】3
【解析】解：连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴点E，C，G，H四点共圆，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3．
14. 已知抛物线 (k为常数，且k≤3)，当-1≤x≤3时，该抛物线对应的函数值有最大值-7，则k的值为______．
【答案】或
【解析】抛物线，
∵，
∴当时，有最大值；当时，随的增大而减小；
∵为常数，且，
若，
当时，有最大值，
∴，
此时，；
若，则当x=-1时，有最大值，
即，
解得：(不合题意，舍去)，
综上，k的值为或．
15. 如图，等腰内接于，点为劣弧上一点，，若，则四边形的面积为____________．

【答案】
【解析】解：如图，过点作的延长线于点，

，
又，
∴为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的面积，
在中，，，
根据勾股定理得：，
等边三角形的面积，
四边形的面积的面积等边三角形的面积．
四边形的面积为．
故答案为：．
16. 已知抛物线（是常数），其图像经过点，坐标原点为．
若，则抛物线必经过原点；
若，则抛物线与轴一定有两个不同的公共点；
若抛物线与轴交于点（不与重合），交轴于点且，则；
点，在抛物线上，若当时，总有，则．
其中正确的结论是______（填写序号）．
【答案】①②④
【解析】解：，
对称轴为直线，
抛物线是常数的图象经过点，
抛物线是常数的图象经过原点，
故符合题意；
抛物线过点，
，即，
，
，
，
，
，
抛物线与轴一定有两个不同的公共点，
故符合题意；
当时，，
，
，
，
或，
令，则，
当时，，
；
当时，，
；
综上所述：的值为或，
故不符合题意；
，
，
当时，总有，
在时，随值的增大而增大，
，且，
，此时，
；
故符合题意；
故答案为：．
三、用心做一做．显显自己的能力！（本大题共8小题，满分72分，解答写在答题卡上．）
17. 用指定的方法解（1）、（2）方程，用适当的方法解（3）方程
（1）（配方法）
（2）（公式法）
（3）
解：（1）
或
，．
（2）
，，
，．
（3）
或
，．
18. 如图，的三个顶点都在格点上，．

（1）画出关于点O的中心对称图形，并写出点的坐标．
（2）画出将绕点B顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标．
解：（1）由题图可知：，，，
关于点O的中心对称图形，
、、，
再顺次连接、、可得到如图：

即；
（2）由题图可知：，，，
将绕点B顺时针旋转后得到的，
、、，
再顺次连接、、可得到如图：

即；
19. 某村为了促进农村经济发展，建设了蔬菜基地，新建了一批蔬菜大棚．如图是蔬菜大棚的截面，形状为圆弧型，圆心为，跨度（弧所对的弦）的长为8米，拱高（弧的中点到弦的距离）为2米．

（1）求该圆弧所在圆的半径；
（2）在修建过程中，在距蔬菜大棚的一端（点）1米处将竖立支撑杆，求支撑杆的高度．
解：（1）垂直平分，
圆心在延长线上．
设的半径为米，则米．
，
（米）．
在中，
由勾股定理得：，
即，
解得．
即该圆弧所在圆的半径为5米；
（2）过点作于点，连接．

，
．
∵，
∴四边形为矩形，
，
在中，．
，
．
．
即支撑杆的高度为1米．
20. 如图，要利用一面墙（墙长为米），用米的围栏建菜园（围栏无剩余），基本结构为三个大小相同的矩形．

（1）如果围成的总面积为平方米，求菜园的边、的长各为多少米？
（2）保持菜园的基本结构，菜园总面积是否可以达到平方米？请说明理由．
解：（1）设，则，
由题意知，，
即，
解得：，．
，
，
．
，．
答：菜园的边长为米，长为米．
（2）不能；理由：
设米时，菜园的总面积为平方米．
由题意得，
即，
，，，
．
方程无实数根，
菜园的总面积不能达到平方米．
21. 如图，是直径，弦于点，过点作的垂线交的延长线于点，垂足为点，连结．

（1）求证：；
（2）若，求弦的长度．
解：（1）证明：，，
，
，
．
.，
，
；
（2）连接．

设圆的半径为，则．
，为直径，
．
在中，由勾股定理得：
，
解得．
．
在中，由勾股定理得：
，
解得．
22. 某网店专门销售杭州第十九届亚运会吉祥物机器人“江南忆”套装，成本为每件30元，每天销售（件）与销售单价（元）之间存在一次函数关系，如图所示，网店每天的销售利润为元．网店希望每天吉祥物机器人“江南忆”套装的销售量不低于250件．

（1）求与之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；
（2）当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
（3）如果每天的利润不低于3000元，直接写出销售单价（元）的取值范围．
解：（1）设，将、代入，
得：，
解得：，
所以y与x之间的函数关系式为：；
（2）设每周可获利润为W元，
．
又，
，
时，随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值为．
答：当销售单价为45元时，每天获取的利润最大，最大利润是3750元．
（3）依题意得：，
即，
解得：，，
，
当时，每月利润不低于3000元．
23. 如图，和都是等腰直角三角形，．
（1）【猜想】如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______；
（2）【探究】：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
（3）【拓展】：把绕点在平面内自由旋转，若，，当A，，三点在同一直线上时，直接写出的长．
解：（1）∵和都是等腰直角三角形，，
∴，，
，
，
∵，
，
故答案为：；
（2）（1）中结论仍然成立，
理由：
由旋转知，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）①当点E在线段上时，如图3，过点C作于M，
∵是等腰直角三角形，且，
∴，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
在中，
；
②当点D在线段上时，如图4，过点C作于N，
∵是等腰直角三角形，且，
∴，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
在中，
；
综上，的长为或．
24. 如图，已知二次函数． 的图象与x轴相交于，两点， 与y轴相交于点，P是第四象限内这个二次函数的图象上一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作轴于点 H， 与交于点 M．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）将线段绕点 C顺时针旋转 点A的对应点为 判断点 是否落在抛物线上，并说明理由；
（3）求的最大值．
解：（1）∵抛物线与x轴相交于，两点， 与y轴相交于点，
∴设抛物线的解析式为，
把， 代入， 得∶，
∴，
（2）不在抛物线上；理由如下∶
过点作轴，
∵是由旋转得到，
∴，
∴与互余，与互余，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
对于 当时， ，
∴不在抛物线上；
（3）∵，，
∴设直线， 将 代入， 得∶，
∴；
设P 点坐标为 则M点坐标为， H点坐标为．
∵，，，
∴，
∵轴，
，
∴，

当 时，取最大值， 最大值为