第01讲 实数（讲义）-2025年中考数学一轮复习讲义

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TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc159614335" PAGEREF _Tc159614335 \h 2
\l "_Tc159614336" 考点一 实数的分类（高频考点） PAGEREF _Tc159614336 \h 2
\l "_Tc159614337" 题型01 实数的分类 PAGEREF _Tc159614337 \h 3
\l "_Tc159614338" 题型02 无理数估值 PAGEREF _Tc159614338 \h 4
\l "_Tc159614339" 题型03 相反意义的量 PAGEREF _Tc159614339 \h 4
\l "_Tc159614340" 考点二 实数的相关概念（高频考点） PAGEREF _Tc159614340 \h 5
\l "_Tc159614341" 题型01 用数轴上的点表示数 PAGEREF _Tc159614341 \h 6
\l "_Tc159614342" 题型02 求数轴上两点之间的距离 PAGEREF _Tc159614342 \h 7
\l "_Tc159614343" 题型03 根据点在数轴上的位置判断式子正负 PAGEREF _Tc159614343 \h 7
\l "_Tc159614344" 题型04 数轴上的动点问题 PAGEREF _Tc159614344 \h 8
\l "_Tc159614345" 题型05 求一个数的相反数 PAGEREF _Tc159614345 \h 10
\l "_Tc159614346" 题型06 多重符号化简 PAGEREF _Tc159614346 \h 10
\l "_Tc159614347" 题型07 相反数的应用 PAGEREF _Tc159614347 \h 11
\l "_Tc159614348" 题型08 求一个数的绝对值 PAGEREF _Tc159614348 \h 11
\l "_Tc159614349" 题型09 化简绝对值 PAGEREF _Tc159614349 \h 11
\l "_Tc159614350" 题型10 绝对值非负性的应用 PAGEREF _Tc159614350 \h 12
\l "_Tc159614351" 题型11 利用几何意义化简绝对值 PAGEREF _Tc159614351 \h 12
\l "_Tc159614352" 题型12 乘方运算 PAGEREF _Tc159614352 \h 14
\l "_Tc159614353" 题型13 乘方的应用 PAGEREF _Tc159614353 \h 14
\l "_Tc159614354" 考点三 科学记数法与近似数（高频考点） PAGEREF _Tc159614354 \h 15
\l "_Tc159614355" 题型01 用科学记数法表示数 PAGEREF _Tc159614355 \h 16
\l "_Tc159614356" 题型02 求一个数的近似数 PAGEREF _Tc159614356 \h 16
\l "_Tc159614357" 考点四 实数比较大小 PAGEREF _Tc159614357 \h 17
\l "_Tc159614358" 题型01 利用数轴法比较实数大小 PAGEREF _Tc159614358 \h 17
\l "_Tc159614359" 题型02利用类比法比较实数大小 PAGEREF _Tc159614359 \h 18
\l "_Tc159614360" 题型03 利用作差法比较实数大小 PAGEREF _Tc159614360 \h 18
\l "_Tc159614361" 题型04 利用作商法比较实数大小 PAGEREF _Tc159614361 \h 19
\l "_Tc159614362" 题型05 利用平方法比较实数大小 PAGEREF _Tc159614362 \h 19
\l "_Tc159614363" 题型06 利用其它方法比较实数大小 PAGEREF _Tc159614363 \h 19
\l "_Tc159614364" 考点五 平方根、算术平方根、立方根 PAGEREF _Tc159614364 \h 20
\l "_Tc159614365" 题型01 求一个数的算术平方根 PAGEREF _Tc159614365 \h 21
\l "_Tc159614366" 题型02 利用算术平方根的非负性解题 PAGEREF _Tc159614366 \h 22
\l "_Tc159614367" 题型03 求一个数的平方根 PAGEREF _Tc159614367 \h 22
\l "_Tc159614368" 题型04 已知一个数的平方根，求这个数 PAGEREF _Tc159614368 \h 22
\l "_Tc159614369" 题型05 求一个数的立方根 PAGEREF _Tc159614369 \h 22
\l "_Tc159614370" 考点六 实数的运算（高频考点） PAGEREF _Tc159614370 \h 22
\l "_Tc159614371" 题型01 实数的运算 PAGEREF _Tc159614371 \h 24
考点一 实数的分类（高频考点）
1、正负数的概念：大于0的数叫做正数.正数前面加上符号“-”的数叫负数.负数前面的负号“-”不能省略.0既不是正数，也不是负数.
2、正负数的意义：表示具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，通常先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
3、整数和分数统称为有理数（本质：能够化为分数的形式）.无限不循环小数叫做无理数.有理数和无理数统称为实数.
4、实数的分类：
1）按定义分类： 2）按性质分类：
1.有限小数和无限循环小数可以转化为分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数.（例：0.53（分数形式：53100 QUOTE b-3100 b-3100）、1.333333…（分数形式：43）等）.
2.无限不循环小数不能化成分数，因此无限不循环小数不是有理数.(例如：π，π3（不是分数）等).
3.带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数.
4.对非负整数、非正整数、非负数、非正数分类时遗漏0.
题型01 实数的分类
【例1】（2023·四川凉山·中考真题）下列各数中，为有理数的是（ ）
A．38B．3.232232223???C．π3D．2
【变式1-1】（2023·江苏盐城·中考真题）下列数中，属于负数的是（ ）
A．2023B．-2023C．12023D．0
【变式1-2】（2022·浙江金华·中考真题）在-2,12,3,2中，是无理数的是（ ）
A．-2B．12C．3D．2
【变式1-3】（2022·山东日照·中考真题）在实数2，x0（x≠0），cs30°，38中，有理数的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1-4】（2023·江西·中考真题）下列各数中，正整数是（ ）
A．3B．2.1C．0D．-2
题型02 无理数估值
【例2】（2023·浙江台州·中考真题）下列无理数中，大小在3与4之间的是（ ）．
A．B．C．D．
【变式2-1】（2023·浙江嘉兴·中考真题）下面四个数中，比1小的正无理数是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】（2023·天津·中考真题）估计的值应在 （）
A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之
【变式2-3】（2023·内蒙古·中考真题）若为两个连续整数，且，则 ．
题型03 相反意义的量
【例3】（2023·广东广州·中考真题）负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，如果把收入5元记作+5元，那么支出5元记作（ ）
A．-5元B．0元C．+5元D．+10元
【变式3-1】（2023·湖南永州·中考真题）我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”、如：粮库把运进30吨粮食记为“+30”，则“-30”表示（ ）
A．运出30吨粮食B．亏损30吨粮食C．卖掉30吨粮食D．吃掉30吨粮食
【变式3-2】（2023·吉林·中考真题）月球表面的白天平均温度零上，记作+126°Ca，夜间平均温度零下，应记作（ ）
A．+150°CaB．C．+276°CaD．
判断一个数是有理数或无理数的方法
关键：1.有理数都可以写成分数的形式，而无理数不能写成分数的形式.
2. 判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如√16是有理数，而不是无理数．
常见的无理数：
开方开不尽的数，如：2、35 等.
有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如5π，3+π，π3等.
具有特定结构的数，如0.1010010001···（两个1之间依次增加1个0）.
某些三角函数，如sin60°、cs20°.
考点二 实数的相关概念（高频考点）
1.0的相反数是0，0的绝对值是0.绝对值最小的数是0.最小的自然数是0.0是最小的非负数.
2.任何一个数都有且只有一个相反数. 任何一个数的绝对值总是正数或0（或非负数）.
3.到已知点的距离相等的点有两个，注意分类讨论．此外，运用数轴可以将绝对值化为几何问题，代数式|x−a|的几何意义是数轴上x所对应的点与a所对应的点之间的距离，代数式|x+a|的几何意义是数轴上x所对应的点与－a所对应的点之间的距离，不可将两者混淆．
题型01 用数轴上的点表示数
【例1】（2023·浙江温州·中考真题）如图，比数轴上点A表示的数大3的数是（ ）
A．-1B．0C．1D．2
【变式1-1】（2023·四川自贡·中考真题）如图，数轴上点A表示的数是2023，OA=OB，则点B表示的数是（ ）
A．2023B．-2023C．12023D．-12023
【变式1-2】（2022·山东临沂·中考真题）如图，A，B位于数轴上原点两侧，且OB=2OA．若点B表示的数是6，则点A表示的数是（ ）
A．-2B．-3C．-4D．-5
【变式1-3】（2023·内蒙古赤峰·中考真题）如图，数轴上表示实数7的点可能是( )

A．点PB．点QC．点RD．点S
题型02 求数轴上两点之间的距离
【例2】（2023·广东汕头·模拟预测）一只蚂蚁从数轴上A点出发爬了4个单位到了相反数B点所在的位置，则点A所表示的是（ ）
A．﹣2或2B．﹣2C．2D．4或﹣4
【变式2-1】（2021·广东广州·中考真题）如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且a+b=0，若AB=6，则点A表示的数为（ ）
A．-3B．0C．3D．-6
【变式2-2】（2023·宁夏·中考真题）如图，点A，B，C在数轴上，点A表示的数是-1，点B是AC的中点，线段AB=2，则点C表示的数是 ．

题型03 根据点在数轴上的位置判断式子正负
【例3】（2023·山东潍坊·中考真题）实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，下列判断正确的是（ ）

A．-c-cC．a-b=b-aD．c-a=a-c
【变式3-1】（2023·山东·中考真题）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（ ）

A．c(b-a)0
【变式3-2】【多选】（2022·山东潍坊·中考真题）如图，实数a，b在数轴上的对应点在原点两侧，下列各式成立的是（ ）
A．ab>1B．-a0D．-ab>0
【变式3-3】（2023·江苏连云港·中考真题）如图，数轴上的点A、BCam分别对应实数a、bCam，则a+b 0.(用“>”“0，ab；②a-b=0a=b；③a-bb
②对任意负实数a，b，若a2>b2a1/b，ab>0，则a1a>b , a/bb
3)任意负实数a，b，a/b>1a”“=”或“”，“=”或“