第16讲 三角形的概念及性质（讲义）-2025年中考数学一轮复习讲义

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TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc155533060" 一、考情分析
二、知识建构
\l "_Tc155533061" 考点一 三角形的相关概念
\l "_Tc155533062" 题型01 三角形的分类
\l "_Tc155533063" 题型02 三角形个数的规律探究问题
\l "_Tc155533064" 题型03 三角形的稳定性
\l "_Tc155533065" 考点二 三角形的重要线段
\l "_Tc155533066" 题型01 画三角形的高、中线、角平分线
\l "_Tc155533067" 题型02 已知三角形的高、中线、角平分线，判断式子正误
\l "_Tc155533068" 题型03 等面积法求三角形的高
\l "_Tc155533069" 题型04 利用网格求三角形的面积
\l "_Tc155533070" 题型05 与垂心性质有关的计算
\l "_Tc155533071" 题型06 根据三角形的中线求长度
\l "_Tc155533072" 题型07 根据三角形的中线求面积
\l "_Tc155533073" 题型08 判断重心位置
\l "_Tc155533074" 题型09 与重心性质有关的计算
\l "_Tc155533075" 考点三 三角形的性质
\l "_Tc155533076" 题型01 应用三角形的三边关系求第三边长或取值范围
\l "_Tc155533077" 题型02 应用三角形的三边关系化简含有绝对值的式子
\l "_Tc155533078" 题型03 应用三角形的三边关系解决线段的和差比较问题
\l "_Tc155533079" 题型04 三角形内角和定理的证明
\l "_Tc155533080" 题型05 应用三角形内角和定理求角度
\l "_Tc155533081" 题型06 三角形内角和与平行线的综合应用
\l "_Tc155533082" 题型07 三角形内角和与角平分线的综合应用
\l "_Tc155533083" 题型08 三角形折叠中的角度问题
\l "_Tc155533084" 题型09 应用三角形内角和定理解决三角板问题
\l "_Tc155533085" 题型10 应用三角形内角和定理探究角的数量关系
\l "_Tc155533086" 题型11 三角形内角和定理与新定义问题综合
\l "_Tc155533087" 题型12 应用三角形外角的性质求角度
\l "_Tc155533088" 题型13 三角形的外角性质与角平分线的综合
\l "_Tc155533089" 题型14 三角形的外角性质与平行线的综合
\l "_Tc155533090" 题型15 应用三角形的外角性质解决折叠问题
\l "_Tc155533091" 题型16 三角形内角和定理与外角和定理综合
考点一 三角形的相关概念
三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形叫做三角形.
三角形的表示：用符号“Δ”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ΔABC”，读作“三角形ABC”.
三角形的分类：
1）三角形按边分类：三角形三边都不相等的三角形 等腰三角形等边三角形 底边和腰不相等的等腰三角形
2）三角形按角分类：三角形直角三角形 斜三角形锐角三角形钝角三角形
三角形的稳定性: 三角形三条边的长度确定之后，三角形的形状就唯一确定了.
1. 三角形的表示方法中“Δ”代表“三角形”,后边的字母为三角形的三个顶点,字母的顺序可以自由安排. 即 ∆ABC, ∆ACB等均为同一个三角形.
2. 等腰三角形中至少有两边相等,而等边三角形中三边都相等,所以等边三角形是特殊的等腰三角形.
3. 四边形及多边形不具有稳定性，要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了.
题型01 三角形的分类
【例1】（2022·河北石家庄·石家庄市第四十一中学校考模拟预测）如图，一只手盖住了一个三角形的部分图形，则这个三角形不可能是（ ）
A．钝角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形
【答案】D
【分析】根据三角形的内角和定理和三角形的分类判断即可.
【详解】解：A、当另外两角为50°和100°时，该三角形为钝角三角形，故此选项不符合题意；
B、当另外两角为90°和60°时，该三角形为直角三角形，故此选项不符合题意；
C、当另外两角为30°和120°时，该三角形为等腰三角形，故此选项不符合题意；
D、等边三角形的每一个内角均为60°，由图可知该三角形有一个内角为30°，故不可能为等边三角形，符合题意.
故选：D．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理和三角形的分类，会应用三角形的内角和定理和三角形的分类求解是解答的关键.
【变式1-1】（2020·河北保定·统考一模）如图，一个三角形只剩下一个角，这个三角形为( )
A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．以上都有可能
【答案】B
【分析】三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形．
【详解】从题中可知，只能看到一个角是钝角．
所以这个三角形为钝角三角形．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的分类的灵活应用．
【变式1-2】（2020·吉林长春·统考中考真题）图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB为边画△ABC．
要求：
（1）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形；
（2）三个图中所画的三角形的面积均不相等；
（3）点C在格点上．
【答案】见详解（答案不唯一）
【分析】因为点C在格点上，故可将直尺的一角与线段AB点A重合，直尺边长所在直线经过3×3正方形网格左上角第一个格点，继而以点A为旋转中心，逆时针旋转直尺，当直尺边长所在直线与正方形格点相交时，确定点C的可能位置，顺次连接A、B、C三点，按照题目要求排除不符合条件的C点，作图完毕后可根据三角形面积公式判断其面积是否相等．
【详解】经计算可得下图中：图①面积为12；图②面积为1；图③面积为32，面积不等符合题目要求（2），且符合题目要求（1）以及要求（3）．
故本题答案如下：
【点睛】本题考查三角形的分类及其作图，难度较低，按照题目要求作图即可．
【变式1-3】（2021·浙江宁波·统考一模）如图，在8×4的正方形网格中，按△ABC的形状要求，分别找出格点C，且使BC=5，并且直接写出对应三角形的面积．
【答案】见解析；S=10；S=252 ；S=12
【分析】根据全等三角形的性质，勾股定理，角的分类去求解即可
【详解】解：钝角三角形时，如图，
∵BC⊥BD，BC=5，
∴△ABC是钝角三角形，
根据平行线间的距离处处相等，得BC边上高为BD=4,
∴S=12BC×BD=12×4×5=10；
直角三角形时，如图，
取格点F使得BF=4，FC=3，
根据勾股定理，得BC=32+42=5，
∵AE=BF=4，EB=FC=3，∠AEB=∠BFC=90°，
∴△AEB≌△BFC，
∴∠EAB=∠FBC，
∵∠EAB+∠EBA=90°，
∴∠FBC+∠EBA=90°，
∴∠ABC =90°，
∴△ABC是直角三角形，
根据勾股定理，得AB=32+42=5，
∴S=12BA×BC=12×5×5 =252；
锐角三角形时，如图，取格点M使得BM=3，CM=4，
根据勾股定理，得BC=32+42=5，
根据直角三角形时的作图，知道∠ABN=90°，
∴∠ABC＜∠ABN，
∴∠ABC＜90°
∵AB=BC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠A=∠C＜90°，
∴△ABC是锐角三角形，
∴S=12×4×6=12；
【点睛】本题考查了网格上的作图，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形全等的性质和判定，平行线间的距离处处相等，根据题意，运用所学构造符合题意的格点线段是解题的关键．
题型02 三角形个数的规律探究问题
【例2】（2023·浙江杭州·模拟预测）若一个三角形的任意两条边都不相等，则称之为“不规则三角形”．顶点在一个正方体顶点上的所有三角形中，这样的“不规则三角形”的个数为（ ）
A．8B．18C．24D．36
【答案】C
【分析】根据立方体的八个顶点之间线段长度仅有三种可能，分别得出所求的不规则三角形的个数．
【详解】解：如图示：
设立方体的边长为a，则在立方体的八个顶点之间线段长度仅有三种可能：
边长为a，面对角线为2a，体对角线为3a．立方体有四条体对角线，先考虑其中的一条如AC1，第三个顶点可以是 B、C、D、A1、B1、 D1中之一，
有6个不规则三角形．因此所求的不规则三角形的个数是6×4=24．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了三角形的性质以及立体图形的性质，得出立方体的八个顶点之间线段长度仅有三种可能是解决问题的关键．
【变式2-1】（2020·江西南昌·模拟预测）由18根完全相同的火柴棒摆成的图形如图所示，如果去掉其中的3根，那么就可以剩下7个三角形．以下去掉3根的方法正确的是（ ）
A．DE,GH,MIB．GF,EF,MFC．GD,EI,MHD．AD,AG,GD
【答案】C
【分析】按照选项依次分析即可求解．
【详解】解：A．去掉DE,GH,MI，如图：
图中共有6个三角形，该项不符合题意；
B．去掉GF,EF,MF，如图：
图中共有4个三角形，该项不符合题意；
C．去掉GD,EI,MH，如图：
图中共有7个三角形，该项符合题意；
D．去掉AD,AG,GD，如图：
图中共有9个三角形，该项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查三角形计数，掌握三角形的定义是解题的关键．.
【变式2-2】阅读下列材料并填空．平面上有n个点（n≥2）且任意三个点不在同一条直线上，过这些点作直线，一共能作出多少条不同的直线？
（1）分析：当仅有两个点时，可连成1条直线；当有3个点时，可连成3条直线；当有4个点时，可连成6条直线；当有5个点时，可连成10条直线……
（2）归纳：考察点的个数和可连成直线的条数Sn发现：如下表
(3)推理：平面上有n个点，两点确定一条直线．取第一个点A有n种取法，取第二个点B有（n－1）种取法，所以一共可连成n(n-1)条直线，但AB与BA是同一条直线，故应除以2；即Sn=n×n-12
（4）结论：Sn=n×n-12
试探究以下几个问题：平面上有n个点（n≥3），任意三个点不在同一条直线上，过任意三个点作三角形，一共能作出多少不同的三角形？
（1）分析：
当仅有3个点时，可作出 个三角形；
当仅有4个点时，可作出 个三角形；
当仅有5个点时，可作出 个三角形；
……
（2）归纳：考察点的个数n和可作出的三角形的个数Sn，发现：（填下表）
(3)推理： （4）结论：
【答案】（1）1，4，10
（2）
（3）见解析（4）结论：Sn= n(n-1)(n-2)6．
【分析】（1）根据给的点数一一查出三角形即可；
（2）根据引例学习，仿照引例解法，先定点，再定形的方法，3个点先取第一个点，三点任意一个有3种，第二个点从剩下的两点任取一个有2种，第三个点只有1种，三角形有3×2×1个，会出现重复现象△ABC，△ACB，△BAC，△BCA，△CAB，△CBA，都是同一种三角形，由此得出S3=3×2×16=1，根据此法可得出4、5、…、n个点的结论；
（3）平面上有n个点，过不在同一条直线上的三个点可以确定一个三角形，取第一个点有n种方法，取第二个点有（n-1）种取法，取第三个点（n-2）种取法，所以一共可以作n（n-1）（n-2）个三角形，但同一个三角形重复6次，再除以6即可；
（4）根据（3）即可得出结论．
【详解】解：（1）当仅有3个点时，三点分别为A、B、C、可作1个三角形△ABC；
当有4个点时，四点分别为A、B、C、D可作4个三角形△ABC，△ABD，△ACD，△BCD；
当有5个点时五点分别为A、B、C、D、E，可作10个三角形△ABC，△ABD，△ABE，△ACD，△ACE，△ADE，△BCD，△BCE；△BDE，△CDE．
故答案为1,4,10．
（2）填表如下：
（3）推理：平面上有n个点，过不在同一条直线上的三个点可以确定一个三角形，取第一个点有n种方法，取第二个点有（n-1）种取法，取第三个点（n-2）种取法，
所以一共可以作n（n-1）（n-2）个三角形，但同一个三角形重复6次，
故应除以6，
即Sn= n(n-1)(n-2)6．
（4）结论：Sn= n(n-1)(n-2)6．
【点睛】本题考查图形规律探索，阅读理解，仔细阅读，抓住点与线的规律，拓展点与三角形的规律，是学习的质的飞跃，本题难度不大，是培养逻辑思维的好题．
【变式2-3】（2022·吉林长春·校考模拟预测）一个圆周上有12个点：A1，A2，A3，…，A11，A12．以它们为顶点连三角形，使每个点恰好是一个三角形的顶点，且各个三角形的边都不相交．问：有多少种连法？
【答案】55
【分析】利用递推的方法，根据三角形的定义，结合图表依次推出圆上有3个点，6个点，9个点和12个点连成三角形的种数，进而得出结论．
【详解】解：（1）如果圆上只有3个点，那么只有一种连法；
（2）如果圆上有6个点，除A1所在三角形的三顶点外，剩下的三个点一定只能在A1在三角形的一条边所对应的圆弧上，表1给出这时有可能的连法有3种．
（3）如果圆上有9个点，考虑A1所在的三角形．此时，其余的6个点可能分布在：
①A1所在三角形的一个边所对的弧上；②也可能三个点在一个边所对应的弧上，另三个点在另一边所对的弧上；
在表2中用“+”号表示它们分布在不同的边所对的弧；如果是情形①，则由（2），
这六个点有三种连法；如果是情形②，则由①，每三个点都只能有一种连法；共有12种连法．
（4）最后考虑圆周上有12个点．同样考虑A1所在三角形，剩下9个点的分布有三种可能：
①9个点都在同一段弧上；
②有6个点是在一段弧上，另三点在另一段弧上；
③每三个点在A1所在三角形的一条边对应的弧上．得到表3；
共有12×3+3×6+1=55种．
所以共有55种不同的连法．
【点睛】本题主要考查了计数方法，利用递推的方法，依次推出圆上有3个点，6个点，9个点和12个点连成三角形的种数，即采用了化难为易的方法解答，要注意各个三角形的边都不相交这个要求．
题型03 三角形的稳定性
【例3】（2023·山西运城·统考二模）学校、工厂、企业等单位的大门都是收缩性大门，这种门的门体可以伸缩自由移动，以此来控制门的大小．这种方法应用的数学知识是（ ）

A．三角形的稳定形B．四边形的不稳定性
C．勾股定理D．黄金分割
【答案】B
【分析】由题意可知收缩大门可以伸缩自由移动，这是根据四边形的不稳定性．
【详解】由题意可知收缩大门可以伸缩自由移动，这是根据四边形的不稳定性．
故选：B
【点睛】本题考查四边形的不稳定性，抓住题意的关键词从而解决问题．
【变式3-1】（2023·广东佛山·校考一模）要使下面的木架不变形，至少需要再钉上几根木条？（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】C
【分析】根据三角形具有稳定性，六边形转化成三角形即可得出答案．
【详解】解：根据三角形的稳定性可知，要使六边形木架不变形，至少要再钉上3根木条．
故答案选：C
【点睛】本题主要考查的是三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．
【变式3-2】（2022·河北保定·校考一模）能用三角形的稳定性解释的生活现象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据各图所用到的直线、线段有关知识，即可一一判定
【详解】解：A、利用的是“两点确定一条直线”，故该选项不符合题意；
B、利用的是“两点之间线段最短”，故该选项不符合题意；
C、窗户的支架是三角形，利用的是“三角形的稳定性”，故该选项符合题意；
D、利用的是“垂线段最短”，故该选项不符合题意；
故选：C
【点睛】本题考查了两点确定一条直线、两点之间线段最短、三角形的稳定性、垂线段最短的应用，结合题意和图形准确确定所用到的知识是解决本题的关键．
【变式3-3】（2021·浙江台州·一模）如图，升降平台由三个边长为1.2米的菱形和两个腰长为1.2米的等腰三角形组成，其中平台AM与底座A0N平行，长度均为2.4米，B，B0分别在AM和A0N上滑动，且始终保持点B0，C1，A1成一直线．
(1)这种升降平台的设计原理是利用了四边形的____性；
(2)为了安全，该平台在作业时∠B1不得超过40°，求平台高度(AA0)的最大值（sin20°≈0.34）．
【答案】(1)不稳定
(2)平台高度(AA0)的最大值为3.3米．
【分析】（1）根据四边形的不稳定性即可解决问题．
（2）当∠B1=40°时，平台AA0的高度最大，解直角三角形A1B0A0，可得A0A1的长，再由AA3=A3A2=A2A1=A1A0，即可解决问题．
【详解】（1）因为四边形具有不稳定性，点B，B0分别在AM和A0N上滑动 ，从而达到升降目的，因而这种设计利用了平行四边形的不稳定性；
故答案为：不稳定．
（2）由图可知，当∠B1=40°时，平台AA0的高度最大，
∠A0B0A1=12∠B1,
A0A1=A1A2==A2A3==A3A4.
∵B0A1=2 A1C1 =2×1.2=2.4（米），sin20°≈0.34，
∴A0A1=2.4×sin20°×4＝3.264≈3.3(米)，
∴平台高度(AA0)的最大值为3.3米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，菱形的性质等知识，解题的关键是熟练菱形的性质．
考点二 三角形的重要线段
1. 三角形的高、中线、角平分线是三条线段，由三角形的高可得90°的角，由三角形的中线可得线段之间的关系，由三角形的角平分线可得角之间的关系．
2. 常见三角形的高：
3. 当已知三角形两边的中点时，可考虑运用三角形中位线定理，得到相应线段的数量关系与位置关系.
题型01 画三角形的高、中线、角平分线
【例1】（2023·河北石家庄·校联考二模）如图，在△ABC中，边AB上的高是（ ）
A．AD B．GE C．EF D．CH
【答案】D
【分析】根据高线的定义：三角形的顶点到对边的垂线段为三角形的高线，进行判断即可．
【详解】解：∵CH⊥AB，
∴在△ABC中，边AB上的高是CH．
故选：D．
【点睛】本题考查三角形的高线．熟练掌握三角形的高线的定义，是解题的关键．
【变式1-1】（2023·河北石家庄·校联考模拟预测）在△ABC中，AB=AC，BC长度不确定，拫据尺规作图痕迹，用直尺不一定能直接画出BC边的高的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别考虑选项中的作图方法，然后结合三角形高的定义即可求解．
【详解】解：A中以AB边为直径作弧，没有作线段AB中点的作图痕迹，
∴无法直接画出BC边上的高，符合题意；
B中分别以点B、C为圆心，BC为半径画弧，交点为BC边垂直平分线上的点，连接交点和点A延长到BC边即为BC边上的高，不符合题意；
C中作的是∠A的角平分线，连接点A与交点并延长与BC相交，即为BC边上的高，不符合题意；
D中分别以AC、AB为半径画图，所得图形为菱形，连接点A及其相对的交点，根据菱形的性质即可得出BC边上的高，不符合题意；
故选A．
【点睛】题目主要考查基本的作图方法及三角形高的判定，熟练掌握各个作图方法是解题关键．
【变式1-2】（2023·河北石家庄·校联考模拟预测）嘉淇剪一个锐角△ABC做折纸游戏，折叠方法如图所示，折痕与BC交于点D，连接AD，则线段AD分别是△ABC的（ ）

A．高，中线，角平分线B．高，角平分线，中线
C．中线，高，角平分线D．高，角平分线，垂直平分线
【答案】B
【分析】根据三角形的高线、角平分线及中线的定义依次判断即可．
【详解】解：由图可得，图①中，线段AD是△ABC的高线，
图②中，线段AD是△ABC的角平分线，
图③中，线段AD是△ABC的中线，
故选：B．
【点睛】题目主要考查三角形的高线、角平分线及中线的定义，理解题意是解题关键．
【变式1-3】（2023·广东深圳·统考二模）观察下列尺规作图痕迹，其中所作线段AD为△ABC的角平分线的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据基本作图的方法对各选项进行判断即可．
【详解】解：对于A选项，由作图痕迹可知，AD为∠CAB的平分线，故A选项符合题意；
对于B选项，由作图痕迹可知，AD为△ABC中BC边上的高线，故B选项不符合题意；
对于C选项，由作图痕迹可知，AD为△ABC的中线，故C选项不符合题意；
对于D选项，由作图痕迹可知，AD为△ABC中BC边上的高线，故D选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查作图—基本作图：作三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握基本作图的方法是解答本题的关键．
【变式1-4】（2023·河北石家庄·统考一模）如图，嘉琪任意剪了一张钝角三角形纸片（∠A是钝角），他打算用折叠的方法折出∠C的角平分线、AB边上的中线和高线，能折出的是（ ）

A．AB边上的中线和高线B．∠C的角平分线和AB边上的高线
C．∠C的角平分线和AB边上的中线D．∠C的角平分线、AB边上的中线和高线
【答案】C
【分析】由折叠的性质可求解．
【详解】解：当AC与BC重合时，折痕是∠C的角平分线；
当点A与点B重合时，折叠是AB的中垂线，
故选：C．
【点睛】本题考查了翻折变换，掌握折叠的性质是本题的关键．
【变式1-5】（2023·河北石家庄·校联考二模）小熊和小猫把一个三角形纸片折一次后，折痕把原三角形分成两个三角形．如图，当∠1=∠2时，折痕是三角形的（ ）

A．中线B．中位线C．高线D．角平分线
【答案】C
【分析】根据折叠的性质和平角定义得到∠1=∠2=90°，再根据三角形的高线定义求解即可．
【详解】解：∵∠1+∠2=180°，∠1=∠2，
∴∠1=∠2=90°，
又∵折痕经过三角形的顶点，
∴折痕是三角形的高线，
故选：C．
【点睛】本题考查折叠性质、平角定义、三角形的高线，理解三角形的高线定义是解答的关键．
【变式1-6】（2023·吉林松原·统考一模）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．△ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．
(1)在图①中画△ABC的中位线DE，使点D、E分别在边AB、BC上；
(2)在图②中画△ABC的高线BF．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
【分析】（1）根据网格线的特点、矩形性质，先找到AB,BC的中点，再连接即可；
（2）根据网格线的特点，利用全等三角形性质构造过点B的斜边等于AC的直角三角形即可．
【详解】（1）解：如下图所示：
∴线段DE即为所求；
（2）解：如下图所示：
∴线段BF即为所求．
【点睛】本题考查作图的应用和设计，掌握网格线的特点和三角的的中位线、高线的定义是解题的关键．
题型02 已知三角形的高、中线、角平分线，判断式子正误
【例2】（2023·江苏扬州·校考二模）如图，AD，AE，AF分别是△ABC的中线，角平分线，高．则下列各式中错误的是（ ）

A．∠AFB=90°B．AE=CE
C．BC=2CDD．∠BAE=12∠BAC
【答案】B
【分析】根据三角形的中线，角平分线，高的定义逐项分析判断即可求解．
【详解】解：∵AD，AE，AF分别是△ABC的中线，角平分线，高，
A、 ∠AFB=90°，故该选项正确，不符合题意；
B、 AE，CE不一定相等，故该选项不正确，符合题意；
C、 BC=2CD，故该选项正确，不符合题意；
D、∠BAE=12∠BAC，故该选项正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的中线，角平分线，高的定义，熟练掌握三角形的中线，角平分线，高的定义是解题的关键．
【变式2-1】（2020上·安徽池州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（ ）
A．BF＝CFB．∠C＋∠CAD＝90°C．∠BAF＝∠CAFD．S△ABC=2S△ABF
【答案】C
【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断．
【详解】解：∵AF是△ABC的中线，
∴BF=CF，A说法正确，不符合题意；
∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∴∠C+∠CAD=90°，B说法正确，不符合题意；
∵AE是角平分线，
∴∠BAE=∠CAE，C说法错误，符合题意；
∵BF=CF，
∴S△ABC=2S△ABF，D说法正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的概念是解题的关键．
题型03 等面积法求三角形的高
【例3】如图，已知AC⊥BC，CD⊥AB，AC=5，BC=12，AB=13，则点C到直线AB的距离等于（ ）
A．125B．135C．6013D．6512
【答案】C
【分析】根据等积法求出点C到直线AB的距离即可．
【详解】解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，
∴S△ABC=12AC×BC=12AB×CD，
∴CD=AC×BCAB=5×1213=6013，
即点C到直线AB的距离为6013，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形面积计算，点到直线的距离，解题的关键是根据等积法求出CD=6013．
【变式3-1】（2023·河北张家口·统考一模）如图，在点A，B，C，D中选一个点；与点M，N为顶点构成一个三角形，其面积等于△KMN的面积，这个点为（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
【答案】C
【分析】与点M，N为顶点构成一个三角形，其面积等于△KMN的面积，即寻找以MN为底边，高为KN长的三角形．根据两平行线间的距离处处相等，只需要找到过点K且与 MN平行的直线即可．
【详解】解：由于平行线间的距离处处相等，所有在过点K且与 MN平行的直线上的点与M、N组成的三角形都满足其面积与△KMN的面积相等，有网格的特点可知只有过点K、C的直线与MN平行，
故选C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形面积，熟知平行线间的距离处处相等是解题的关键．
【变式3-2】（2023·江苏苏州模拟）数学活动课上，小敏、小颖分别画了△ABC和△DEF，数据如图，如果把小敏画的三角形面积记作S△ABC，小颖画的三角形面积记作S△DEF，那么你认为( )
A．S△ABC >S△DEFB．S△ABC