第25讲 特殊四边形-正方形与梯形（讲义）-2025年中考数学一轮复习讲义

这是一份第25讲 特殊四边形-正方形与梯形（讲义）-2025年中考数学一轮复习讲义，文件包含第25讲特殊四边形-正方形与梯形讲义原卷版docx、第25讲特殊四边形-正方形与梯形讲义解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共213页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc157028086" 一、考情分析
二、知识建构
\l "_Tc157028087" 考点一 正方形的性质与判定
\l "_Tc157028088" 题型01 根据正方形的性质求角度
\l "_Tc157028089" 题型02 根据正方形的性质求线段长
\l "_Tc157028090" 题型03 根据正方形的性质求面积
\l "_Tc157028091" 题型04 根据正方形的性质求坐标
\l "_Tc157028092" 题型05 与正方形有关的折叠问题
\l "_Tc157028093" 题型06 求正方形重叠部分面积
\l "_Tc157028094" 题型07 利用正方形的性质证明
\l "_Tc157028095" 题型08 添加一个条件使四边形是正方形
\l "_Tc157028096" 题型09 证明四边形是正方形
\l "_Tc157028097" 题型10 根据正方形的性质与判定求角度
\l "_Tc157028098" 题型11 根据正方形的性质与判定求线段长
\l "_Tc157028099" 题型12 根据正方形的性质与判定求面积
\l "_Tc157028100" 题型13 根据正方形的性质与判定证明
\l "_Tc157028101" 题型14 根据正方形的性质与判定解决多结论问题
\l "_Tc157028102" 题型15 与正方形有关的规律探究问题
\l "_Tc157028103" 题型16 与正方形有关的动点问题
\l "_Tc157028104" 题型17 正方形与一次函数的综合应用
\l "_Tc157028105" 题型18 正方形与反比例函数的综合应用
\l "_Tc157028106" 题型19 正方形与一次函数、反比例函数综合应用
\l "_Tc157028107" 题型20 正方形与二次函数综合应用
\l "_Tc157028108" 考点二 四边形之间的区别与联系
\l "_Tc157028109" 题型01 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系
\l "_Tc157028110" 题型02 平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定
\l "_Tc157028111" 题型03 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质
\l "_Tc157028112" 题型04 利用矩形、菱形、正方形的性质与判定求解
\l "_Tc157028113" 考点三 梯形的性质与判定
\l "_Tc157028114" 题型01 等腰三角形的性质求解
\l "_Tc157028115" 题型02 等腰三角形的判定求解
\l "_Tc157028116" 题型03 解决梯形问题的常用方法
考点一 正方形的性质与判定
正方形的定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
正方形的性质：
1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.
2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等.
3）正方形对边平行且相等.
4）正方形的对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角；
5）正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；
6）正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形.
【补充】正方形对角线与边的夹角为45°.
正方形的判定：
1）平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角；
2）矩形+一组邻边相等；
3）矩形+对角线互相垂直；
4）菱形+一个角是直角；
5）菱形+对角线相等.
【解题技巧】判定一个四边形是正方形通常先证明它是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直；或者先证明它是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等；还可以先判定四边形是平行四边形，再证明它有一个角为直角和一组邻边相等．
正方形的面积公式：a2＝对角线乘积的一半=2S△ABC=4S△AOB.
正方形的周长公式：周长= 4a
题型01 根据正方形的性质求角度
【例1】（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考三模）如图，点E、F、G分别是正方形ABCD的边AD、BC、AB上的点，连接DG，EF，GF．且EF=DG，DE=2AG，∠ADG的度数为α，则∠EFG的度数为（ ）

A．αB．2αC．45°-αD．45°+α
【变式1-1】（2022·湖北武汉·校考模拟预测）如图，点E是正方形ABCD中的一点，连接EB、EC、EA、ED，若△EBC为等边三角形时，则∠EAD= ．

【变式1-2】（2023·陕西西安·西安市庆安初级中学校联考模拟预测）如图，正六边形ABCDEF内，以AB为边做正方形ABGH，则∠CBG= ．

【变式1-3】（2023·浙江湖州·统考二模）如图，在正方形ABCD中，延长BC至点F，使得CF=CA，连接AF交CD于点E，则∠AED的度数为 ．

题型02 根据正方形的性质求线段长
【例2】（2024·福建三明·统考一模）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AD的中点，连接AC，BE，点M,N分别在BE,AC上，且BM=13ME，CN=13AN，则MN的长为（ ）
A．322B．52C．22D．3
【变式2-1】（2022·湖南长沙·统考一模）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM交CD于点N，若四边形MOND的面积是4，则AB的长为（ ）
A．2B．22C．4D．42
【变式2-2】（2023·广东清远·统考模拟预测）如图，边长分别为2和6的正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连接BD并延长交EG于点T，交FG于点P．则GT=（ ）
A．2B．22C．1D．2
【变式2-3】（2023·安徽宿州·统考模拟预测）如图，是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若每个直角三角形的面积为4，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（ ）
A．9B．6C．1D．3
【变式2-4】（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六十九中学校校考模拟预测）已知：正方形ABCD边长为3，E为直线AD上一点，AE=1，连接CE，CE所在直线与AB所在直线交于点F．则AF= ．
题型03 根据正方形的性质求面积
【例3】（2024·重庆大渡口·统考一模）一个正方形的边长为2，它的面积为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【变式3-1】（2023·广东汕尾·三模）如图，大正方形中有2个小正方形，这两个小正方形的面积分别是S1和S2，则S1S2的值是（ ）

A．98B．89C．1D．54
【变式3-2】（2023·江苏苏州·苏州市立达中学校校考一模）如图，一块正方形地砖的图案是由4个全等的五边形和1个小正方形组成的，已知小正方形的面积和五边形的面积相等，并且图中线段a的长度为10-2，则这块地砖的面积为（ ）
A．50B．40C．30D．20
【变式3-3】（2023·河南省直辖县级单位·统考二模）四边形不具有稳定性．四条边长都确定的四边形，当内角的大小发生变化时，其形状也随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，使正方形ABCD变为菱形ABC'D'，如果∠DAD'=30°，那么菱形ABC'D'与正方形ABCD的面积之比是（ ）

A．1B．34C．32D．34
【变式3-4】（2023·四川成都·校考三模）如图，由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形EFGH拼成一个大正方形ABCD，连接AF和CH,AF=AB．现随机向正方形ABCD内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ．

题型04 根据正方形的性质求坐标
【例4】（2023·河北邯郸·校考三模）如图，在正方形ABCD中，已知点A0，3，B5，3．将正方形ABCD绕点A顺时针旋转角度α0