湖北省新八校协作体2024-2025学年高二上学期12月联考数学试卷（Word版附解析）

这是一份湖北省新八校协作体2024-2025学年高二上学期12月联考数学试卷（Word版附解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知空间向量，，若与垂直，则等于( )
A. B. C. 3D.
2.椭圆的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为
A. B. C. 2D. 4
3.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加比赛，那么互斥且不对立的两个事件是( )
A. 至少有1名女生与全是女生B. 至少有1名女生与全是男生
C. 恰有1名女生与恰有2名女生D. 至少有1名女生与至多有1名男生
4.已知一组数据，，，的平均数和方差分别为80，21，若向这组数据中再添加一个数据80，数据，，，80的平均数和方差分别为，，则( )
A. B. C. D.
5.在直三棱柱中，，，E为的中点，则与AE所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
6.过点的直线l与椭圆相交于A，B两点，且M恰为线段AB的中点，则直线l的斜率为( )
A. B. C. D.
7.已知圆，圆，M，N分别是圆，上的动点，P为x轴上的动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.在空间直角坐标系中，已知向量，点，点若直线l经过点，且以为方向向量，P是直线l上的任意一点，则直线l的方程为若平面经过点，且以为法向量，P是平面内的任意一点，则平面的方程为利用以上信息解决下面的问题：已知平面的方程为，直线l是平面与平面的交线，则直线l与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.甲、乙两名同学进行投篮比赛，甲每次命中概率为，乙每次命中概率为，甲和乙是否命中互不影响，甲、乙各投篮一次，则( )
A. 两人都命中的概率为B. 恰好有一人命中的概率为
C. 两人都没有命中的概率为D. 至少有一人命中的概率为
10.设动直线与圆交于A，B两点，则下列说法正确的有( )
A. 直线l过定点B. 当最大时，
C. 当最小时，D. 当最小时，其余弦值为
11.立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，半正多面体的棱长为，棱数为24，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，下列结论正确的有( )
A. 平面GHMN
B. 若E是棱MN的中点，则HE与平面AFG平行
C. 若四边形ABCD的边界及其内部有一点P，，则点P的轨迹长度为
D. 若E为线段MN上的动点，则HE与平面HGF所成角的正弦值的范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在空间直角坐标系中，已知点，，，则点A到直线BC的距离为 .
13.若曲线与直线有两个交点，则实数k的取值范围是 .
14.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作一条渐近线的垂线，垂足为Q，延长与双曲线的右支相交于点P，若，则双曲线C的离心率为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题13分
已知圆C的圆心在y轴上，且经过点，
求圆C的标准方程;
过点的直线l与圆C交于A、B两点，若，求直线l的方程.
16.本小题15分
求满足下列条件的双曲线的标准方程：
过点，且与双曲线的离心率相等;
两顶点间的距离为8，渐近线方程为
17.本小题15分
半程马拉松是一项长跑比赛项目，长度为公里，为全程马拉松距离的一半世纪50年代，一些赛事组织者设立了半程马拉松，自那时起，半程马拉松的受欢迎程度大幅提升.某调研机构为了了解人们对“半程马拉松”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄的人举办了一次“半程马拉松”知识竞赛，将参与知识竞赛者按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图.
根据频率分布直方图，估计参与知识竞赛者的平均年龄;
现从以上各组中用比例分配的分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“半程马拉松”宣传使者.若有甲年龄，乙年龄两人已确定入选为宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选为组长的概率;
若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和1，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和2，据此估计年龄在内的所有参与知识竞赛者的年龄的平均数和方差.
18.本小题17分
如图1，在直角梯形ABCD中，已知，，将沿BD翻折，使平面平面如图2，BD的中点为
求证：平面
若AD的中点为G，在线段AC上是否存在点H，使得平面GHB与平面BCD夹角的余弦值为若存在，求出点H的位置;若不存在，请说明理由.
19.本小题17分
有一个半径为8的圆形纸片，设纸片上一定点F到纸片圆心E的距离为，将纸片折叠，使圆周上某一点 M与点F重合，每一次折叠，都留下一条折痕，当 M取遍圆上所有点时，所有折痕与ME的交点P形成的轨迹记为曲线C，以点F，E所在的直线为x轴，线段EF的中点O为原点，建立平面直角坐标系.
求曲线C的方程;
若直线与曲线C交于A，B两点.
ⅰ当k为何值时，为定值，并求出该定值;
ⅱ过A，B两点分别作曲线C的切线，当两条切线斜率均存在时，若其交点Q在直线上，探究：此时直线l是否过定点?若过，求出该定点;若不过，请说明理由.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了两个空间向量的垂直关系，考查了模长求解，属于基础题．
根据向量垂直的条件列式求出n的值，最后运用求模公式求|
【解答】
解：因为，，
与垂直，所以，
解得，
所以，
所以|，
故选：
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查椭圆的简单性质，是基础的计算题．
由题意可得，，求出a，b的值，结合长轴长是短轴长的两倍列式求得m值．
【解答】解：椭圆的焦点在x轴上，
，，则，
又长轴长是短轴长的两倍，
，即
故选D
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查互斥事件与对立事件，解题的关键是理解两个事件的定义及两事件之间的关系，属于基本概念型题．
互斥事件是两个事件不包括共同的事件，对立事件首先是互斥事件，再就是两个事件的和事件是全集，由此规律对四个选项逐一验证即可得到答案．
【解答】
解：“从中任选2名同学参加比赛”所包含的基本情况有：两男、两女、一男一女.
至少有1名女生与全是女生不是互斥事件，故 A错误;
至少有1名女生与全是男生是对立事件，故 B错误;
恰有1名女生与恰有2名女生是互斥不对立事件，故C正确;
至少有1名女生与至多有1名男生是相同事件，故D错误.
故选：
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了平均数与方差的性质，属于基础题.
利用平均数与方差的性质直接求解即可.
【解答】
解：由题得，所以，则新数据平均数为故A，B错误;
且由题意，所以，
则新数据方差为
故D正确.故选：
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了异面直线所成角的计算，属于中档题．
建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成角的余弦值．
【解答】
解：以为原点，以，，为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
，
则，，，，
所以，，
所以，，
故与AE所成角的余弦值为
故选：
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查椭圆中点差法的运用，是基础题．
由直线l与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，利用点差法能求出直线l的斜率．
【解答】解：显然在椭圆内，
当直线l的斜率不存在，即直线l方程为时，，，或，，
不是线段AB的中点，所以直线l的斜率存在，
设，，则，
两式相减并化简得，
又，，代入得，解得，故选
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查圆的对称圆方程、与圆有关的最值问题，两点距离公式的应用问题，也考查了转化思想与计算能力，数形结合思想的应用问题
根据题意画出图形，结合图形，求出圆 关于x轴的对称圆的圆心坐标与半径，再求出圆与圆 的圆心距减去两个圆的半径和，即为 的最小值．
【解答】
解：圆，圆心为，半径，圆，圆心为，半径为，如图：
圆关于x轴的对称圆为圆，连接，交x轴于P，交圆于M，交圆于N，此时，最小，最小值为，故选：
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查利用空间向量求直线与平面所成的角，考查阅读理解能力，属于中档题.
根据平面 的方程 ，得 平面的一个法向量， 设平面与平面的交线的方向向量为，求得，由此可求出直线 l 与平面 所成角的正弦值.
【解答】
解：平面的方程为，平面的一个法向量，
同理，可得平面的一个法向量，平面的一个法向量，
设平面与平面的交线的方向向量为，
则，取，
设直线l与平面所成角为，
则，，
故选
9.【答案】AB
【解析】【分析】
本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
按照独立事件的概率计算公式和对立事件的概率计算公式 ，求解即可．
【解答】
解：设事件A为“甲中靶”，设事件B为“乙中靶”，这两个事件相互独立，
对于A，都中靶的概率为，故A正确；
对于B，恰好有一人中靶的概率为 ，故B正确；
对于C，两人都不中靶的概率为 ，故C错误；
对于D，至少一人中靶，其对立事件为两人都不中靶，
故至少一人中靶的概率为 ，故D错误；
10.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，直线过定点问题，属于中档题.
对各选项逐一判定正误，即可得到答案.
【解答】
解：对于选项A，动直线，可得：，由得，即直线l过定点，即选项A正确;
对于选项B，当取得最大值时，直线l过圆心，则，得，选项B正确;
对于选项C，当取得最小值时，直线l与和的连线垂直，经过和的直线的斜率为1，
故直线l的斜率为，故，选项C正确：
对于选项D，当最小时，最小，此时，直线l与和的连线垂直，则，
由余弦定理可得，即选项D错误;
故选：
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查分析问题能力，将原几何体补形成正方体是关键，属于中档题．
将该半正多面体补成正方体，即可求出正方体的棱长，逐项求解，再建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【解答】
解：“阿基米德体”是由如图所示得到的，即“阿基米德体”的所有顶点都是正方体的棱的中点.
对于A选项，由图可知平面GHMN，A选项正确；
对于B选项，根据正方体的几何性质，易知平面平面DBHN，
而HE与平面DBHN相交，故HE与平面AFG不平行，B选项错误；
对于C选项，半正多面体的棱长为，所以正方体的棱长为4，
在正方体中，平面ABCD，得，故，
所以点P的轨迹是以Q为圆心，2为半径的圆，
又点P在四边形ABCD的边界及其内部，所以点P的轨迹是劣弧AB，
所以点P的轨迹长度为，故C正确；
D选项，如图建立空间直角坐标系，
则，，，设，则，
所以，，，
设平面HGF的法向量为，HE与平面HGF所成角为，
则，取，则，
，
由，可得，故D选项正确.
故选
12.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查点到直线的距离的向量求法，属于基础题.
先求出在上的投影长度，进而可求出结果.
【解答】
解：由题意可得，，，
则点A到直线BC的距离为
故答案为：
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线与圆的位置关系及判定，属于难题.
由解析式可知曲线为半圆，直线恒过；画出半圆的图象，找到直线与半圆有两个交点的临界状态，利用圆的切线的求解方法和两点连线斜率公式求得斜率的取值范围.
【解答】解：如图，化简曲线得：，表示以为圆心，1为半径的圆的上半圆.
直线经过定点且解率为k，半圆与直线有两个交点，
设直线与半圆的切线为AD，半圆的左端点为，
当直线的解率k大于AD的斜率且小于或等于AB的斜率时，直线与半圆有两个相异的交点，
由点到直线的距离公式，当直线与半圆相切时调足，
解之得，即，
又因为直线AB的解率，所以直线的解率k的范围为
故答案为：
14.【答案】【解答】
解：双曲线的方程为，一条渐近线方程为，
设，可得，若，则，
由双曲线的定义可得，
在直角三角形中，，，
在中，
，即有，
即，即，
则故答案为：
【解析】本题主要考查双曲线的离心率，属于偏难题.
在直角三角形中，，，在中，
，即可得.
15.【答案】解：设圆心的坐标为，由题意可得，解得，所以，圆的半径为，
因此，圆C的标准方程为
当时，圆心C到直线l的距离为，
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，此时，圆心C到直线l的距离为1，符合题意;
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即，则，解得，此时，直线l的方程为
综上所述，直线l的方程为或
【解析】本题考查圆的标准方程、直线与圆相交的弦长
设圆心的坐标为，由题意可得，求出b的值，从而可得圆的半径，即可求解；
结合弦长求出圆心到直线的距离，再分直线斜率存在和不存在进行求解即可。
16.【答案】解：由题意可知：双曲线的焦点在x轴上，且，
双曲线的离心率为，
则，得，故，
所以双曲线的方程为；
由题意知，
当双曲线的焦点在x轴上时，得，
所以双曲线的方程为；
当双曲线的焦点在y轴上时，得，
所以双曲线的方程为
综上所述，双曲线的方程为或
【解析】本题考查双曲线的标准方程和双曲线几何性质，属基础题目.
由题意可知：双曲线的焦点在x轴上，且，结合离心率求解即可；
由题意知，讨论焦点位置求解即可
17.【答案】解：设参与知识竞赛者的平均年龄为，
则
由题意得，第四组应抽取人，记为甲，B，C，D，
第五组应抽取人，记为乙，F，
对应的样本空间为：，
设事件M为“甲、乙两人至少一人被选上”，
则，
所以
设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，
则，，，，
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为，
则，
，
据此估计第四组和第五组所有人的年龄的平均数为38，方差为
【解析】本题考查频率分布直方图的性质平均数、方差、概率、古典概型、列举法等基础知识，属于基础题．
根据频率分布直方图中平均数的公式计算即可求解；
用列举法列出所有的基本事件，根据古典概型的公式即可求解所求事件的概率；
根据平均数，方差的公式即可求解．
18.【答案】解：证明：因为，BD的中点为O，所以，
又因为平面平面BCD，平面平面，平面ABD，
根据面面垂直的性质可得平面BCD；
取DC的中点为M，连接MO，则，由图1直角梯形可知，ABMD为正方形，
，，，，
由平面BCD，可知OD，OM，OA两两互相垂直，
分别以OD，OM，OA为x，y，z轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
设，
，
设平面GHB的法向量为，
取，则，即平面GHB的法向量为，
由平面BCD，取平面BCD的法向量，
设平面GHB与平面BCD的夹角为，
则，
解得或舍
所以，线段AC上存在点H，使得平面GHB与平面BCD夹角的余弦值为
点H位于线段AC靠近A的三等分点处.

【解析】本题考查了面面垂直的性质定理、利用空间向量求二面角，属于中档题.
由，BD的中点为O，可得，由平面平面BCD，根据面面垂直的性质即可求证；
建立空间直角坐标系，利用空间向量法可得答案.
19.【答案】解：由题意可知，，
，所以点P的轨迹是以F，E为焦点，长轴长为8的椭圆，
所以曲线C的方程，即椭圆方程为
设，，
由消元得，，，
由，得
则，，
当为定值时，即与无关，
令，得，此时恒成立，
即当时，为定值，且定值为
设在A点处的切线方程为，
由消去y，整理得，
由，
化简得，因为，
所以，故在A点处的切线方程为，整理可得，①
同理可得，在B点处的切线方程为②
设，，将其代入①②，得，，
所以直线l的方程为，即，
令得，故直线l过定点，且定点坐标为
【解析】本题考查椭圆的定义及标准方程、直线与椭圆的位置关系，考查圆锥曲线中的定点问题，属于较难题.
利用椭圆的定义判断轨迹，即可求出方程.
联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系表示出，写出关于k的表达式分析可得.
求出在A，B两点处的切线方程，设出Q点坐标，并分别代入到两条切线方程，进而表示出直线l的方程，即可得到定点.