初中数学苏科版（2024）八年级下册9.4 矩形、菱形、正方形当堂检测题

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一、单选题
1．（2022春·江苏南通·八年级统考期中）如图，正方形的边长为8，在上，且，是上一动点，则的最小值为( )
A．6B．8C．10D．12
【答案】C
【分析】连接BN，BD，BM，BM交AC于点E，根据正方形的对角线互相垂直平分可得ND=NB，由三角形三边关系可得NB+NM≥BM，再由勾股定理求得BM即可；
【详解】解：如图，连接BN，BD，BM，BM交AC于点E，
ABCD是正方形，则AC、BD互相垂直平分，
∴ND=NB，
当点N与点E不重合时，△NBM中NB+NM＞BM，
当点N与点E重合时，NB+NM=BM，
∴NB+NM≥BM，即DN+MN的最小值为BM，
ABCD是正方形，则BC=CD=8，∠BCD=90°，
∴CM=CD-DM=8-2=6，
∴BM=，
∴DN+MN的最小值为10，
故选： C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，垂直平分线的性质，三角形的三边关系，勾股定理；正确作出辅助线是解题关键．
2．（2022秋·江苏无锡·八年级统考期中）如图，正方形ABCD的边长为3，E在BC上，且BE=2，P在BD上，则PE+PC的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE，PC的值，从而找出其最小值求解．
【详解】如图，连接AE，
因为点C关于BD的对称点为点A，
所以PE+PC=PE+AP，
根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值，
∵正方形ABCD的边长为3，BE=2，
∴AE==，
∴PE+PC的最小值是．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．根据已知得出两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值是解题关键．
3．（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点P在AD上，点Q在BC上，且AP = CQ，连接CP，QD，则PC + QD的最小值为（ ）
A．8B．10C．12D．20
【答案】B
【分析】连接BP，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE=AB=4，连接PE、CE，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，连接BP，
在矩形ABCD中，AD∥BC，AD=BC=6，
∵AP=CQ，
∴AD-AP=BC-CQ，
∴DP=QB，DP∥BQ，
∴四边形DPBQ是平行四边形，
∴PB∥DQ，PB=DQ，
则PC+QD=PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，
在BA的延长线上截取AE=AB=4，连接PE，CE，
则BE=2AB=8，
∵PA⊥BE，
∴PA是BE的垂直平分线，
∴PB=PE，
∴PC+PB=PC+PE，
连接CE，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，
∴CE==10，
∴PC+PB的最小值为10，
即PC+QD的最小值为10，
故选：B．
【点睛】本题考查的是矩形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和平行四边形的判定与性质，证出PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE是解题的关键．
4．（2022春·江苏南京·八年级南师附中新城初中校考期中）如图，菱形ABCD的边长为3，且∠ABC=600，E、F是对角线BD上的两个动点，且EF＝2，连接AE、AF，则 AE＋AF 的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】如图作AH∥BD，使得AH=EF=2，连接CH交BD于F，此时AE+AF的值最小，
【详解】解：如图作AH∥BD，使得AH=EF=2，连接CH交BD于F，则AE+AF的值最小．
∵AH=EF，AH∥EF，
∴四边形EFHA是平行四边形，
∴EA=FH，
∵BD所在的直线是菱形的对称轴,点A、C是对称点，（或根据SAS证明△ABF≌△CBF）
∴FA=FC，
∴AE+AF=FH+CF=CH，
∵菱形ABCD的边长为3，∠ABC=60°，
∴AC=AB=3，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵AH∥DB，
∴AC⊥AH，
∴∠CAH=90°，
在Rt△CAH中，CH= ＝，
∴AE+AF的最小值为 ，
故选：D．
【点睛】本题考查轴对称-最短问题，菱形的性质、勾股定理、平行四边形的判定和性质等知识，解题关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
5．（2020春·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）如图，菱形ABCD的边长为4，∠DAB=60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为 ( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】如下图，△BEP的周长=BE+BP+EP，其中BE是定值，只需要BP+PE为最小值即可，过点E作AC的对称点F，连接FB，则FB就是BP+PE的最小值．
【详解】如下图，过点E作AC的对称点F，连接FB，FE，过点B作FE的垂线，交FE的延长线于点G
∵菱形ABCD的边长为4，点E是BC的中点
∴BE=2
∵∠DAB=60°，∴∠FCE=60°
∵点F是点E关于AC的对称点
∴根据菱形的对称性可知，点F在DC的中点上
则CF=CE=2
∴△CFE是等边三角形，∴∠FEC=60°，EF=2
∴∠BEG=60°
∴在Rt△BEG中，EG=1，BG=
∴FG=1+2=3
∴在Rt△BFG中，BF==2
根据分析可知，BF=PB+PE
∴△PBE的周长=2
故选：C
【点睛】本题考查菱形的性质和利用对称性求最值问题，解题关键是利用对称性，将BP+PE的长转化为FB的长．
6．（2020春·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE＝CF，连接BF、DE，则BF＋DE的最小值为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】连接AE，利用△ABE≌△BCF转化线段BF得到BF＋DE＝AE＋DE，则通过作A点关于BC对称点H，连接DH交BC于E点，利用勾股定理求出DH长即可．
【详解】解：解：连接AE，如图1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°．
又BE＝CF，
∴△ABE≌△BCF（SAS）．
∴AE＝BF．
所以BF＋DE最小值等于AE＋DE最小值．
作点A关于BC的对称点H点，如图2，
连接BH，则A、B、H三点共线，
连接DH，DH与BC的交点即为所求的E点．
根据对称性可知AE＝HE，
所以AE＋DE＝DH．
在Rt△ADH中，DH2＝AH2＋AD2＝82＋42＝80
∴DH＝4
∴BF＋DE最小值为4
故选： D．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、最短距离问题，一般求两条线段最短距离问题，都转化为一条线段．
7．（2020春·江苏无锡·八年级统考期中）如图，矩形ABCD中，AB＝2，对角线AC、BD交于点O，∠AOD＝120°，E为BD上任意点，P为AE中点，则PO＋PB的最小值为 （ ）
A．B．C．D．3
【答案】C
【分析】设M、N分别为AB、AD的中点，则MN为△ABD的中位线，点P在MN上，作点O关于MN的对称点，连接，则即为PO＋PB的最小值，易证△ABO为等边三角形，过点A作AH⊥BO于H，求出，然后利用勾股定理求出BO即可．
【详解】解：如图，设M、N分别为AB、AD的中点，则MN为△ABD的中位线，
∵P为AE中点，
∴点P在MN上，
作点O关于MN的对称点，连接，
∴，
∴PO＋PB=，
∵四边形ABCD是矩形，∠AOD=120°，
∴OA=OB，∠AOB=60°，
∴△AOB为等边三角形，
∴AB=BO=4，
过点A作AH⊥BO于H，
∴，
∵MN∥BD，点H关于MN的对称点为A，点O关于MN的对称点为，
∴，且，
∴，
即PO＋PB的最小值为，
故选：C．
【点睛】本题考查了利用轴对称求最短路径，矩形的性质，三角形中位线定理，等边三角形的判定及性质，勾股定理的应用，通过作辅助线，得出为PO＋PB的最小值是解题关键．
8．（2020春·江苏无锡·八年级无锡市第一女子中学校考期中）如图，在▭ABCD中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，点P为▭ABCD内一点，点Q在BC边上，则PA+PD+PQ的最小值为( )
A．B．6+2C．5D．10
【答案】C
【分析】如下图，将△APD绕点A逆时针旋转60°至△AFE处，通过边长转换，可将PA+PD+PQ转化为PF+EF+PQ的形式，再利根据两点之间线段最短，得出最小值．
【详解】如下图，将△APD绕点A逆时针旋转60°至△AFE处，连接FP，过点E作BC的垂线，交BC于点G，AD于点H，过点A作BC的垂线，交BC于点K
∵△AFE是△APD绕点A逆时针旋转60°得到
∴∠FAP=60°，∠EAD=60°，AF=AP，EF=PD
∴△APF是等边三角形，∴AP=PF
∴PA+PD+PQ=PF+FE+PQ≥EG
∵四边形ABCD是平行四边形，BC=6
∴AE=AD=BC=6，AD∥BC
∴在Rt△AHE中，AH=3，EH=3
∵HG⊥BC，AK⊥BC，AD∥BC
∴AK⊥AD，GH⊥AD，∴AK=HG
∵∠ABC=60°，AB=4
∴在Rt△ABK中，BK=2，AK=2
∴HG=2
∴EG=3
故选：C
【点睛】本题考查最值问题，解题关键是旋转△APD，将PA+PD+PQ转化为PF+EF+PQ的形式．
9．（2022春·江苏·八年级专题练习）如图，在四边形中，，，面积为21，的垂直平分线分别交于点，若点和点分别是线段和边上的动点，则的最小值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】连接AQ，过点D作，根据垂直平分线的性质得到，再根据计算即可；
【详解】连接AQ，过点D作，
∵，面积为21，
∴，
∴，
∵MN垂直平分AB，
∴，
∴，
∴当AQ的值最小时，的值最小，根据垂线段最短可知，当时，AQ的值最小，
∵，
∴，
∴的值最小值为7；
故选C．
【点睛】本题主要考查了四边形综合，垂直平分线的性质，准确分析计算是解题的关键．
10．（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）已知四个点、、、能组成平行四边形，则的最小值为（ ）
A．5B．10C．D．
【答案】C
【分析】分两种情况讨论，当CD是平行四边形的一条边，可得AB=CD，当CD为对角线，可求AB，OC的解析式，可得当CH⊥AB时，CH有最小值，即CD有最小值．
【详解】解：①若CD是平行四边形的一条边，
则AB=CD==10；
②若CD是平行四边形的一条对角线，
如图，过点O作OE⊥AB于E，设AB与CD交于点H，
∵点A（-8，0）、B（0，6），
∴直线AB的解析式为：，
∵C（4a，3a），
∴过点C的直线为：，
∵点A（-8，0）、B（0，6），
∴AO=6，BO=8，
∴AB==10，
∵S△ABO=AO·BO=AB·OE，
∴OE=，
∵四边形ACBD是平行四边形，
∴CH=DH=CD，
∴当CH⊥AB时，CH有最小值，即CD有最小值，
∴当CH=OE=时，CD有最小值为＜10，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，一次函数的性质，勾股定理等知识，求出OE的长是解题的关键．
二、填空题
11．（2022春·江苏南京·八年级统考期中）如图，∠AOB＝30°，OB＝4，点P为射线OA上任意一点，连接PB．以PO、PB为邻边作平行四边形POQB，连接PQ，则线段PQ的最小值为_____．
【答案】2
【分析】当PQ⊥OA时，PQ最短，利用平行四边形的性质和菱形的判定和性质解答即可．
【详解】解：∵四边形PBQO是平行四边形，
∴PH=HQ，OH=HB，
当PQ⊥OA时，PQ最短，
∵∠AOB=30°，OB=4，
∴OH=2，
∴PH=1,
∴PQ=2PH=2，
故答案为：2．
【点睛】此题考查平行四边形的性质，关键是利用平行四边形的性质和菱形的判定和性质解答．
12．（2022春·江苏常州·八年级统考期中）如图，正方形ABCD的边长是8，点E、F分别是边AB、BC上的点，且，若点P是对角线AC上一个动点，则的最小值是______．
【答案】10
【分析】过E作AC的垂线交AD于点E′，连接E′F交AC于点P，过F作AD的垂线交AD于点G，则E′F即为所求，根据正方形的性质可知△AEE′是等腰三角形，AE′=1，GD=CF=1，由AD=10即可求出GE′的长，再由勾股定理即可求出E′F的长．
【详解】解：过E作AC的垂线交AD于点E′，连接E′F交AC于点P，过F作AD的垂线交AD于点G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC是正方形ABCD的一条对称轴，
∴点E、E′关于AC对称，
∴PE=PE′，
∴PE +PF的最小值是E′F的长，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAC=∠BAC=45°，
∵EE′⊥AC，
∴△AEE′是等腰三角形，
∴AE=AE′=3，
∵GF⊥AD，
∴GD=CF=1，
∴GE′=8-GD-AE′=8-1-1=6，
在Rt△GFE′中，GE′=6，GF=8，
∴E′F==10．
故答案为：10．
【点睛】本题考查的是最短路线问题及正方形的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
13．（2022春·江苏扬州·八年级校联考期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝20，点E在AD上且DE＝4.点G在AE上且GE＝8，点P为BC边上的一个动点，F为EP的中点，则GF＋EF的最小值为____．
【答案】10
【分析】作A点关于BC的对称点A'，连接A'E，交BC于点P，连接AP，此时GF + EF的值最小，根据已知条件可得AP = 2GF，进而可得GF+ EF= A'E，在Rt△AA' E中，由勾股定理可求A' E的长，即可得出答案．
【详解】作A点关于BC的对称点A'，连接A'E，交，BC于点P，连接AP，
∵ AD= 20，DE= 4，
∴ AE= 16，
∵GE=8，
∴G是AE的中点，
∵F是EP的中点，
∴ AP= 2GF，
∴GF+ EF= AP+EP
=，
此时，GF+EF取得最小值，
∵AB=6，
∴AA`=12，
在Rt∆AA`E中， ，
∴GF+EF的最小值为10．
故答案为：10．
【点睛】本题考查轴对称求最短距离、三角形的中位线定理、勾股定理，熟练掌握轴对称求最短距离的方法及三角形中位线的性质是解题的关键．
14．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，CD是直线x＝1上长度固定为1的一条动线段．已知A（﹣1，0），B（0，4），则四边形ABCD周长的最小值为 _________________．
【答案】
【分析】在y轴上取点E，使BE＝CD＝1，则四边形BCDE为平行四边形，根据勾股定理得到AB，作点A关于直线x＝1的对称点A'，得到A'、E、D三点共线时，AD+DE最小值为A'E的长，根据勾股定理求出A'E，即可得解；
【详解】解：如图，在y轴上取点E，使BE＝CD＝1，则四边形BCDE为平行四边形，
∵B（0，4），A（﹣1，0），
∴OB＝4，OA＝1，
∴OE＝3，AB＝，
作点A关于直线x＝1的对称点A'，
∴A'（3，0），AD＝A'D，
∴AD+DE＝A'D+DE，即A'、E、D三点共线时，AD+DE最小值为A'E的长，
在Rt△A'OE中，由勾股定理得A'E＝，
∴C四边形ABCD最小值＝AB+CD+BC+AD＝AB+CD+A'E＝+1+．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了轴对称最短路线问题、勾股定理、位置与坐标，准确分析作图计算是解题的关键．
15．（2021春·江苏无锡·八年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期中）如图，在矩形中，，，动点满足，则周长的最小值为______．
【答案】6+2
【分析】先由，得出动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，作A关于直线l的对称点E，连接AE，BE，则AB+BE就是周长的最小值．然后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，进而即可求解．
【详解】解：设△ABP中AB边上的高是h．
∵，
∴AB•h＝AB•AD，
∴h＝AD＝2，
∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，
如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，BE，则AB+BE就是周长的最小值．
在Rt△ABE中，∵AB＝6，AE＝2＋2＝4，
∴BE＝，即PA＋PB的最小值为2．
∴周长的最小值=6+2．
故答案为：6+2．
【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
16．（2021春·江苏苏州·八年级阶段练习）如图，在矩形中，，，点在边上，且，为边上的一个动点，连接，以为边作等边，且点在矩形内，连接，则的最小值为________．
【答案】4
【分析】以EC为边作等边三角形ECH，过点H作HN⊥BC于N，HM⊥⊥AB于M，可证四边形MHNB是矩形，可证MH=BN，由“SAS”可证△FEH≌△GEC，可得FH=GC，当FH⊥AB时，FH有最小值，即GC有最小值，即可求解．
【详解】解：如图，以EC为边作等边三角形ECH，过点H作HN⊥BC于N，HM⊥⊥AB于M，
又∵∠ABC=90°，
∴四边形MHNB是矩形，
∴MH=BN，
∵BE=2，
∴EC=4，
∵△EHC是等边三角形，HN⊥EC，
∴EC=EH=4，EN=NC=2，∠HEC=60°，
∴BN=4=MH，
∵△FGE是等边三角形，
∴FE=GE，∠FEG=60°=∠HEC，
∴∠FEH=∠GEC，
在△FEH和△GEC中，
，
∴△FEH≌△GEC（SAS），
∴FH=GC，
∴当FH⊥AB时，FH有最小值，即GC有最小值，
∴点F与点M重合时，FH=HM=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
17．（2021秋·江苏扬州·八年级统考期末）如图，点是正方形边上一点，，，点是对角线上的一动点，则的最小值是______．
【答案】10
【分析】根据正方形的性质，点A与点C是对称点，连接CE，则CE是AP+PE的最小值，运用勾股定理计算即可．
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴点A与点C是对称点，连接CE，则CE长是AP+PE的最小值，
∵AE=2，DE=6，
∴AD=8，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=AD=8，∠CDE=90°，
∴CE==10，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称求线段和最小值，勾股定理，熟练确定线段和的最小值线段，并灵活用勾股定理求值是解题的关键．
18．（2021春·江苏扬州·八年级校考期末）如图，已知正方形的边长为，点是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转到连接，则的最小值是_____．
【答案】
【分析】如图所示，根据题意构造出△AED和△GFE全等，分析出点F的轨迹，然后根据D、F、C三点共线时求出最小值即可．
【详解】解：连接BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，
∵将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，
∴EF⊥DE，且EF＝DE，
∵，，
∴∠EDA＝∠FEG，
∴在△AED和△GFE中，
∴△AED≌△GFE（AAS），
∴FG＝AE，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴BF是∠CBC′的角平分线，
即F点在∠CBC′的角平分线上运动，
过点C作BF的对称点，则
∴C点在AB的延长线上，是等腰直角三角形，
∴当D、F、C三点共线时，DF+CF＝最小，
∴在中，AD＝4，，
∴，
∴DF+CF的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，轴对称求最短路径，能够将线段的和通过轴对称转化为共线线段是解题的关键．
19．（2021春·江苏扬州·八年级统考期中）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是_____．
【答案】
【分析】分别作的中点连接，点在上运动，当时，有最小值，证明 即可求得的最小值．
【详解】分别作的中点连接
P为DF中点
当点与点重合时，点与点重合，
当点与点重合时，点与点重合，
点在上运动
当时，有最小值
四边形是矩形,AB＝4，AD＝2

为的中点，为的中点
,
E为AB的中点
是等边三角形



在与中
（AAS）
故答案为
【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质，正确的作出图形并证明 是解题的关键．
20．（2021春·江苏盐城·八年级校联考期中）如图，在边长为1的正方形ABCD中，E为边BC上任意一点（不与点B、C重合），AE、BD交于点P，过点P且垂直于AE的一条直线MN分别交AB、CD于点M、N．连接AN，将△APN沿着AN翻折，点P落在点P'处．AD的中点为F，则P′F的最小值为 ____．
【答案】
【分析】判断△ADG是等腰三角形，点在等腰直角三角形ADG的边GD上，当时，的值最小，求解即可．
【详解】解：如图，若点E点B重合，则点P与B点重合，MN与BC重合，△ABC沿AC折叠，则点与点D重合，
若点E点C重合，则点P为正方形对角线交点，△ADP为等腰直角三角形，沿AD折叠，点落在点G处，则△ADG是等腰直角三角形，
则点P'在DG上运动，
∵AD=2，点F是AD的中点，
∴
根据垂线段最短可知，当时，的值最小，
此时是等腰直角三角形，
∴；
故答案为：
【点睛】此题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，灵活运用“垂线段最短”是解答此题的关键．
三、解答题
21．（2022春·江苏镇江·八年级校联考阶段练习）如图，在中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作交CB的延长线于点G．
(1)求证：；
(2)当满足什么条件时，四边形DEBF是菱形（不需要证明）
(3)请利用备用图分析，在（2）的条件下，若，，点M为BF的中点，当点P在BD边上运动时，求的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)当∠ADB=90°时，四边形DEBF是菱形，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到DF=BE，AB∥CD，根据平行四边形的判定定理证明四边形DEBF是平行四边形，根据平行四边形的性质证明结论；
（2）根据矩形的判定定理得到四边形AGBD是矩形，根据直角三角形的性质得到ED=EB，证明结论；
（3）连接EM交BD于P，根据轴对称的性质证明此时PF+PM的值最小，根据等边三角形的性质计算即可．
【详解】（1）解：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∵E、F分别为边AB、CD的中点，
∴DF=BE，又AB∥CD，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE∥BF；
（2）当∠ADB=90°时，四边形DEBF是菱形．
理由：∵∠ADB=90°，又E为边AB的中点，
∴ED=EB，又四边形DEBF是平行四边形，
∴四边形DEBF是菱形；
（3）连接EF，连接EM交BD于P，
∵四边形DEBF是菱形，
∴点E和点F关于BD轴对称，此时PF+PM的值最小，
∵四边形DEBF是菱形，∠DEB=120°，
∴∠EBF=60°，
∴△BEF是等边三角形，又BE=2，
∴EM=，即PF+PM的最小值为．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查的是平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质，轴对称变换的性质以及等边三角形的性质的综合运用，掌握相关的判定定理和性质定理、正确作出辅助性是解题的关键．
22．（2021春·江苏苏州·八年级校考期中）已知，如图，O为坐标原点，四边形为矩形，，点D是的中点，动点P在线段上以每秒2个单位长度的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒．
（1）当t何值时，四边形是平行四边形；
（2）在直线上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标：若不存在，请说明理由；
（3）在线段上有一点M，且，当P运动_______秒时，四边形的周长最小，并在图3中画图标出点M的位置．
【答案】（1）；（2）存在，t=，Q（18，12）；t=9，Q（5，12）；t=4，Q（-5，12）；（3）
【分析】（1）先求出OA，进而求出OD=5，再由运动知BP=10-2t，进而由平行四边形的性质建立方程26-2t=13即可得出结论；
（2）分三种情况讨论，利用菱形的性质和勾股定理即可得出结论；
（3）先判断出四边形OAMP周长最小，得出AM+DM最小，即可确定出点M的位置，再用三角形的中位线得出BM，进而求出PC，即可得出结论．
【详解】解：（1）∵四边形OABC为矩形，A（26，0），C（0，12），
∴BC=OA=26，AB=OC=12，
∵点D是OA的中点，
∴OD=OA=13，
由运动知，PC=2t，
∴BP=BC-PC=26-2t，
∵四边形PODB是平行四边形，
∴PB=OD=13，
∴26-2t=13，
∴t=；
（2）①当Q点在P的右边时，如图1，
∵四边形ODQP为菱形，
∴OD=OP=PQ=13，
∴在Rt△OPC中，由勾股定理得：PC=5，
∴2t=5；
∴t=，
∴CQ=CP+PQ=5+13=18，
∴Q（18，12）；
②当Q点在P的左边且在BC线段上时，如图2，
同①的方法得出 t=9，CQ=5，
∴Q（5，12），
③当Q点在P的左边且在BC的延长线上时，如图3，
同①的方法得出，t=4，CQ=5，
∴Q（-5，12），
综上：t=，Q（18，12）；t=9，Q（5，12）；t=4，Q（-5，12）；
（3）如图4，由（1）知，OD=13，
∵PM=13，
∴OD=PM，
∵BC∥OA，
∴四边形OPMD是平行四边形，
∴OP=DM，
∵四边形OAMP的周长为OA+AM+PM+OP
=26+AM+13+DM=39+AM+DM，
∴AM+DM最小时，四边形OAMP的周长最小，
∴作点A关于BC的对称点E，连接DE交PB于M，
∴AB=EB，
∵BC∥OA，
∴BM=AD=，
∴PC=BC-BM-PM=26--13=，
∴t=÷2=．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质，最值的确定，三角形中位线定理，解（1）的关键是求出OD的值，解（2）的关键时分类讨论的思想，解（3）的关键是找出点M的位置，是一道中等难度的中考常考题．
23．（2021春·江苏徐州·八年级统考期中）如图，在正方形中，边、分别在轴、轴上，点的坐标为，点在线段上，以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形，交轴于点．
（1）当时，则点坐标为______；
（2）连接，当点在线段上运动时，的周长是否改变，若改变，请说明理由；若不变，求出其周长；
（3）连接，当点在线段上运动时，求的最小值．
【答案】（1）；（2）不变，8；（3）
【分析】（1）如图，过点作轴于．证明，推出，，可得结论．
（2）结论：的周长不变．想办法证明即可．
（3）由（1）可知，，推出，推出点的运动轨迹是射线，过点作于，当点与点重合时，的值最小．
【详解】解：（1）如图，过点作轴于．
四边形是正方形，，
，，
是等腰直角三角形，
，，
，，
，
，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
（2）结论：的周长不变．
理由：将绕点B逆时针旋转得到．
，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
的周长．
（3）由（1）可知，，
，
点的运动轨迹是射线，
过点作于，当点与点重合时，的值最小，
最小值，
的最小值为．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
24．（2019春·江苏扬州·八年级校联考期中）在矩形纸片中，，，点、在矩形的边上，连接，将纸片沿折叠，点的对应点为点.
（1）如图1，若点在边上，当点与点重合时，则______°，当点与点重合时，则_____°；
（2）如图2，若点在边上，且点、分别在、边上，则线段的取值范围是_______；
（3）如图3，若点与点重合，点在上，线段、交于点，且，求线段的长度.
【答案】（1）90°，45°；（2）：（3）
【分析】（1）①当点P与点A重合时，如图4，画出图形可得结论；
当点E与点A重合时，如图5，则
（2）由题意可知当点E与点A重合时，AP达到最长，可知四边形EPFD为正方形，可算出AP的长度；当点F与点C重合时，AP长度达到最小，利用勾股定理可算出AP的长度
（3）根据全等三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．
【详解】解：（1）①当点P与点A重合时，如图4，
是AD的中垂线，

当点E与点A重合时，如图5，
此时
故答案为
(2)由题意可知：
当点E与点A重合时，AP达到最长，如图5所示，
可知四边形EPFD为正方形，

当点F与点C重合时，AP长度达到最小如下图所示
由图可知：,





（3）如图6，连接EM，


设则则 ，



解得：
故
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质、菱形的性质和判定、勾股定理、折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是关键，本题难度适中，注意运用数形结合的思想．
25．（2022春·广东广州·八年级校考期中）如图，菱形的边长为，，点是边上任意一点(端点除外)，线段的垂直平分线交，分别于点，，，的中点分别为，．
(1)求证：；
(2)求的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据FG垂直平分CE和菱形的对称性即可得到，，从而求证结论；
（2）利用M和N分别是AE和EF的中点，点G为CE的中点，即可得到，当点F与菱形ABCD对角线交点O重合时，最小，此时最小，结合已知推断为等边三角形，即可求解．
（1）
证明：连接，
垂直平分，
，
四边形为菱形，
和关于对角线对称，
，
；
（2）
解：连接，
和分别是和的中点，点为中点，
，即
当点与菱形对角线交点重合时，最小，
即此时最小，
菱形边长为，，
为等边三角形，，
即的最小值为．
【点睛】本题考查了菱形的性质，中位线的性质、等边三角形性质的知识，关键在于熟悉各个知识点在本题的灵活运用．
26．（2022春·湖北咸宁·八年级统考期末）如图1，正方形的对角线，相交于，为边上一动点（不与，重合），交于．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)如图2，若正方形边长为，为中点，点在运动过程中，长的最小值为___________．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）先判断出，，，再判断出，即可得出结论；
（2）先判断出，再利用勾股定理即可得出结论；
（3）先判断出时，长的值最小，即可求出答案．
（1）
证明：∵正方形的对角线，相交于，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）
由（1）知：，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴．
（3）
解：在中，为中点，
∴，
由（2）知：，
∴，
要长的值最小，则长的值最小，
∵点在上，正方形边长为，，，
∴当时，长的值最小，
此时是的边上的中线，
∴，
∴长的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题是四边形综台题，主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的三线合一，垂线段最短．确定线段的长取得最小值时所在的位置是解题的关键．
27．（2022春·贵州铜仁·八年级统考期中）【教材呈现】如图是华师九年级上删数学教材第77页的部分内容．
【定理证明】
(1)请根据材料内容，结合图①，写出证明过程．
【定理应用】
(2)如图②，四边形中，、、分别为、、的中点，边、延长线交于点，，则的度数是__________．
(3)如图③，矩形中，，，点在边上，且．将线段绕点旋转一周，得到线段，是线段的中点，直接写出旋转过程中线段长的最大值和最小值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)长的最大值为，最小值为
【分析】（1）延长至，使，连接，根据题意证明，然后证明四边形为平行四边形，即可得出，；
（2）首先根据三角形外角的性质得到，然后由三角形中位线的性质得到，，可得到，由即可求出的度数．
（3）延长至，使，连接，，可得，可得当FH最小或最大时，MB最小或最大，由题意可得当点在线段上时，最小，当点在线段的延长线上时，最大，根据勾股定理求出AH的长度，然后即可求出线段长的最大值和最小值．
【详解】（1）证明：延长至，使，连接，
∴，
∵点、分别是与的中点，
∴，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
又∵，
四边形为平行四边形，
，，
，
∵，
∴；
（2）∵、、分别为、、的中点，
∴是△DAB的中位线，是△BCD的中位线，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
∴；
（3）解：延长至，使，连接，，
∴是线段的中点
∵是线段的中点，
，
在中，，
当点在线段的延长线上时，最大，此时最大值为，
当点在线段上时，最小，此时最小值为，
长的最大值为，最小值为．
【点睛】此题考查了三角形中位线的性质，勾股定理的运用，线段最值问题，平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形中位线的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理．
28．（2022春·重庆·八年级重庆南开中学校考开学考试）在中，连接，若，点为边上一点，连接．
(1)如图1，点在上，且，连接，过作于点，连接并延长交于点，若，求证：；
(2)如图2，，，点在边上，，若是的角平分线，线段（点在点的左侧）在线段上运动，，连接、，请直接写出的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】(1)过点D作ND⊥DM，垂足为D，交CE于点N，证明△DHG≌△DNC，得到等腰直角三角形DHN，再证明△DBM≌△CHG即可得证．
(2) 如图，作BO∥PQ，BO=PQ，则四边形PQOB是平行四边形，由于PQ是定值，故BP+PQ+QN的最小值，关键在确定BP+QN=OQ+QN的最小值，运用将军饮马河模型，构造计算即可．
【详解】（1）过点D作ND⊥DM，垂足为D，交CE于点N，设BD、CE的交点为F，
∵∠HDG+∠GDN=90°，∠NDC+∠GDN=90°，
∴∠HDG=∠NDC，
∵∠GHF=∠FDC=90°，∠GFH=∠CFD，
∴∠HGD=∠NCD，
∵DG=DC，
∴△DHG≌△DNC，
∴DH=DN，GH=NC，∠DHN=∠DNH=45°，HN=，
∵DG=DC，
∴∠DGC=∠DCG=45°，
∴∠HCG+∠HCD=45°，∠NDC+∠HCD=45°，
∴∠HCG=∠NDC，
∴∠HCG=∠BDM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵BD⊥CD，
∴BD⊥AB，
∴∠GHC=∠MBD=90°，
∵BM=HG，
∴△DBM≌△CHG
∴BD=HC，
∵HC=HN+NC=+GH=+BM，
∴BD=+BM．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD=，
∵BD⊥CD，
∴BD⊥AB，
∴∠GHC=∠MBD=90°，
∵∠ABC=120°，
∴∠DBC=30°，∠DCB=60°，
∴BC=2CD=，
∵CE平分∠DCB，BC=4CN，
∴∠DCE=∠BCE=30°，CN=，
如图，作BO∥PQ，BO=PQ，则四边形PQOB是平行四边形，
∴BP=OQ，
∴BP+QN=OQ+QN，
过点N作NM⊥CE，交CD于点M，
则△MNC是等边三角形，
∴点M是点N关于直线EC的对称点，
连接OM交CE于点Q，
∴BP+QN=OQ+QN的最小值为OM，
过点M作MF⊥CN，交CN于点F，
则CF=FN=，MF=，
过点O作OH⊥CB，交CB于点H，
∵OB∥CQ，
∴∠OBH=∠BCE=30°，
∵BO=PQ=，
∴OH=，BH=，
过点O作OG⊥MF，交MF的延长线于点G，
则四边形OHFG是矩形，
∴FH=OG=BC-BH-CF=--=，FG=OH=，
∴MG=MF+FG=+=，
在Rt△OMG中，OM==，
∴BP+PQ+QN的最小值为+=．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判断和性质，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，将军饮马河问题，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握直角三角形的性质，准确使用将军饮马河模型是解题的关键．
29．（2022秋·山东济南·八年级统考期末）问题发现
(1)如图①，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外分别作等边△ABD和等边△ACE，连接CD，BE．试猜想CD与BE的数量关系是________；
(2)问题探究：如图②，四边形ABCD中，∠ABC＝45°，∠CAD＝90°，AC＝AD，AB＝2BC＝6．求BD的长．
(3)问题解决：如图③，△ABC中，AC＝2，BC＝3，∠ACB是一个变化的角，以AB为边向△ABC外作等边△ABD，连接CD，求CD的长度最大值．
【答案】(1)CD=BE
(2)9
(3)5
【分析】（1）结论：CD=BE．证明△DAC≌△BAE（SAS），可得结论．
（2）如图②中，以AB为边向外作等腰直角△ABT，证明△TAC≌△BAD（SAS），推出CT=BD，利用勾股定理求出CT即可．
（3）存在．如图③中，以BC为边向外作等边△BCF，连接AF．证明△DBC≌△ABF（SAS），推出DC=AF，可得结论．
(1)
解：CD=BE．
理由：如图①中，∵△ABD，△ACE都是等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE=60°，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴CD=BE．
故答案为：CD=BE．
(2)
如图②中，以AB为边向外作等腰直角△ABT，连接CT．
∵∠BAT=∠CAD=90°，
∴∠BAD=∠TAC，
在△TAC和△BAD中，
∴△TAC≌△BAD（SAS），
∴CT=BD，
∵∠ABT=∠ABC=45°，
∴∠TBC=90°，
∵AB=2BC=6，
∴，
∴，
∴BD=TC=9；
(3)
存在．如图③中，以BC为边向外作等边△BCF，连接AF．
∵△ABD，△BCF都是等边三角形，
∴BA=BA，BC=BF，∠DBA=∠CBF=60°，
∴∠DBC=∠ABF，
在△DBC和△ABF中，
∴△DBC≌△ABF（SAS），
∴DC=AF，
∵AC=2，CF=BC=3，
∴AF≤AC+CF，
∴AF≤5，
∴当A，C，F共线时，AF的值最大，最大值为5，
∴CD的最大值为5．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
30．（2022秋·广东广州·八年级期末）在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P位于点Q的左侧，P、Q均不与顶点重合），PQ＝2
(1)如图①，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：AP＝QE；
(2)如图②，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP的长；
(3)如图③，若M、N分别为AD边和CD边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当BP＝3，且四边形PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积．
【答案】(1)见解析
(2)4
(3)4
【分析】（1）由“SAS”可证△ABP≌△QCE，可得AP=QE；
（2）要使四边形APQE的周长最小，由于AE与PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．为此，先在BC边上确定点P、Q的位置，可在AD上截取线段AF=DE=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，则此时AP+EQ=EG最小，然后过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点，那么先证明∠GEH=45°，再由CQ=EC即可求出BP的长度；
（3）要使四边形PQNM的周长最小，由于PQ是定值，只需PM+MN+QN的值最小即可，作点P关于AD的对称点F，作点Q关于CD的对称点H，连接FH，交AD于M，交CD于N，连接PM，QN，此时四边形PQNM的周长最小，由面积和差关系可求解．
【详解】（1）解：证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=4，BC=AD=8，
∵点E是CD的中点，点Q是BC的中点，
∴BQ=CQ=4，CE=2，
∴AB=CQ，
∵PQ=2，
∴BP=2，
∴BP=CE，
又∵∠B=∠C=90°，
∴△ABP≌△QCE（SAS），
∴AP=QE；
（2）如图②，在AD上截取线段AF=PQ=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点．
∵GH=DF=6，EH=2+4=6，∠H=90°，
∴∠GEH=45°，
∴∠CEQ=45°，
设BP=x，则CQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x，
在△CQE中，∵∠QCE=90°，∠CEQ=45°，
∴CQ=EC，
∴6-x=2，
解得x=4，
∴BP=4；
（3）如图③，作点P关于AD的对称点F，作点Q关于CD的对称点H，连接FH，交AD于M，交CD于N，连接PM，QN，此时四边形PQNM的周长最小，连接FP交AD于T，
∴PT=FT=4，QC=BC-BP-PQ=8-3-2=3=CH，
∴PF=8，PH=8，
∴PF=PH，
又∵∠FPH=90°，
∴∠F=∠H=45°，
∵PF⊥AD，CD⊥QH，
∴∠F=∠TMF=45°，∠H=∠CNH=45°，
∴FT=TM=4，CN=CH=3，
∴四边形PQNM的面积=×PF×PH-×PF×TM-×QH×CN=×8×8-×8×4-×6×3=7．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称求最短距离，直角三角形的性质；通过构造平行四边形和轴对称找到点P和点Q位置是解题的关键．如图， 在中，点、分别是与的中点，根据画出的图形，可以猜想：
，且
对此，我们可以用演绎推理给出证明．