福建省福州市马尾第一中学等六校2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题

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评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分．
1．C2．C3．D4．B
5．A6．C7．C8．B
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，满分18分．
9．BC10．AD11．ACD
二、填空题：每小题5分，满分15分．
12．13．14．
三、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．解：（1）当时，化为，则，2分
，；3分
化为，则，4分
所以6分
（2）因为“”是“”的充分不必要条件，所以，8分
又，10分
所以且等号不同时成立，12分
解得，即的取值范围为．13分
说明：没有说明“等号不同时成立”不扣分．
16．解：（1）当时，集合，1分
则，3分
又，4分
则．6分
（2）当集合时，，7分
解得；8分
当时，或，12分
解得或，13分
综上所述，的取值范围为．15分
17．解：（1）证明：，，且，1分
，2分
4分
因为，所以，5分
所以，6分
，即，所以在区间上单调递增；7分
（2）（i）在区间上单调递减．9分
（ii）由得，10分
，，在区间上单调递减，11分
，13分
所以，解得，14分
所以的取值范围是．15分
18．解：（1）当时，，2分
当时，；4分
当时，；6分
综上所述7分
（2）由（1）知，当时，，或3（舍去）；8分
当时，，；9分
所以．10分
，13分
都是正实数，，15分
当且仅当，即，时，等号成立，16分
取最小值，的最小值为．17分
19．解：（1）①当时，
，2分
所以，是定义域上的函数；3分
②当时，
，5分
所以不满足，不是定义域上的函数．6分
（2）证明：不妨设，则，8分
令，因为函数为区间上的函数，所以，10分
，
化简得，12分
∵，∴，
∴，14分
∴，
∴，16分
．17分