2024-2025学年宁夏回族自治区石嘴山市高三上学期12月月考数学检测试题（含答案）

这是一份2024-2025学年宁夏回族自治区石嘴山市高三上学期12月月考数学检测试题（含答案），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．复数的实部为
A．−1+iB．C．1D．-1
2．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知=(2,3)，=(3，t)，|BC|=1，则AB⋅BC=
A．-3B．-2
C．2D．3
4．已知等比数列的前n项和为，其中，的值为（ ）
A．128B．64C．63D．127
5．已知，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．若函数（其中，且）的最小值是3，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．若数列为等差数列，为数列的前n项和，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，且关于的方程有3个不等实数根，则下列说法不正确的是（ ）
A．函数的最大值是B．在上单调递减
C．的取值范围是D．的取值范围是
二、多选题
9．若函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则（ ）
A．的最小正周期为
B．是奇函数
C．的图象关于直线对称
D．在上单调递增
10．下列命题中，正确的有（ ）
A．函数最小值为
B．函数在上单调递减
C．无论取何值，函数恒过定点
D．若函数定义域为，则定义域为
11．设点M是所在平面内一点，下列说法正确的是（ ）
A．若，则的形状为等边三角形
B．若，则点M是边BC的中点
C．过M任作一条直线，再分别过顶点A，B，C作l的垂线，垂足分别为D，E，F，若恒成立，则点M是的垂心
D．若，则点M在边BC的延长线上
三、填空题
12．已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，将函数图象上所有点的横坐标变为原来的6倍后，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的解析式可以是 .
13．已知向量，，则 ；向量在上的投影向量的坐标为 ．
14．已知函数，若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 ．
四、解答题
15．已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
16．已知函数,.
(1)求函数的单调减区间;
(2)求函数在上的最大值与最小值.
17．记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，求面积的最大值．
18．已知函数的定义域为，其解析式为，其中.
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)若函数有且仅有一个极值点，求的取值范围；
(3)若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围.
19．行列式最早起源于对线性方程组的研究，起初是一种速记的表达式，发展到现在已经成为一种非常有用的数学工具．已知表示二阶行列式，规定；表示三分行列式，规定．设．
(1)求；
(2)以为切点，作直线交的图象于异于的另一点，其中．若，当时，设点的横坐标构成数列．
①求的通项公式；
②证明：．
答案：
1．D
【详解】∵复数
∴复数的实数为
故选D.
2．B
【分析】利用并集的定义，可得解
【详解】由题意，集合，，
则
故选：B
3．C
【分析】根据向量三角形法则求出t，再求出向量的数量积.
【详解】由BC=AC−AB=(1,t−3)，BC=12+(t−3)2=1，得，则BC=(1,0)，AB·BC=(2,3)·(1,0)=2×1+3×0=2．故选C．
本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．
4．A
【分析】根据题意，由等比数列的求和公式，列出方程，即可求得，从而求得结果.
【详解】由题意，显然首项不为0且公比不为1，可得，解得，所以
故选:A
5．A
【分析】由，利用同角三角函数的关系求出，倍角公式得，由，利用两角差的正切公式求出，再由两角和正切公式求出.
【详解】，，则，
有，，
，得，
.
故选：A.
6．D
【分析】根据题意，利用分段函数的性质，结合对数的运算法则，列出不等式，即可求解.
【详解】由函数（其中，且）的最小值是3，
当时，函数为单调递减函数，所以，
则当时，函数为单调递增函数，则
且满足，即，解得，
综上可得，实数的取值范围为.
故选：D.
7．B
【分析】根据等差数列性质由可得，即可求出数列前6项均为负值，可得结论.
【详解】由等差数列性质可得，即可得；
又，所以；
因此可得数列的公差，且前6项均为负值，
所以的最小值为前6项和，即为.
故选：B
8．C
【分析】对求导，利用导数判断单调性，进而可判断选项A，B；令，将问题转化为和共有三个不同的实数根，结合的图象判断选项C，D.
【详解】对于选项A，B，由，当时，，当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，则的最大值为，故A，B均正确；
对于C，D，当时，趋于0，当时，趋于，
故可作的草图如图，
令，则，设方程的两根为，
若是方程的根，则，方程为仅有1根，不合题意；
因为方程有3个不等的根，
所以或，
当时，，解得，所以，不合题意，
当时，有，解得，
所以的取值范围为.故C错误，D正确.
故选：C.
9．ACD
【分析】根据题意，利用三角函数的图象变换，求得，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，可得，
则的最小正周期为，且不是奇函数，所以A正确，B不正确；
当时，可得，
所以的图象关于直线对称，所以C正确；
由，得，所以在上单调递增，所以D正确．
故选：ACD.
10．BC
【分析】由基本不等式成立条件可判断A错误再由复合函数单调性可得B正确，
由指数函数图象性质可计算C正确，由抽象函数定义域可判断D错误.
【详解】选项A．，当且仅当时等号成立，而，所以A错；
选项B．设，则由可得，
函数在上单调递增，，
函数在上单调递减，
根据复合函数同增异减可知函数在上单调递减，选项B正确；
选项C．由可知恒过定点；即C正确；
选项D．函数定义域为，则由可得定义域为，即D错误.
故选：BC
11．AB
【分析】根据题意，结合平面向量的线性运算，以及数量积运算，一一判断即可.
【详解】对于选线A，如图作的中点，连接，
由，得，
即，结合三角形性质易知，，
同理，，故的形状为等边三角形，故A正确；
对于选项B，由，得，即，
因此点M是边BC的中点，故B正确；
对于选项C，如图当过点时，，
由，得，则直线经过的中点，
同理直线经过的中点，直线经过的中点，因此点M是的重心，故C错误；
对于选项D，由，得，即，因此点M在边的延长线上，故D错.
故选：AB.
12．（答案不唯一）
【分析】根据函数图象得到，从而求出，结合特殊点的函数值得到，得到的解析式，再根据平移变换和伸缩变换得到的解析式.
【详解】由函数fx=Asinωx+φ的图象可得：，
可得，解得，
则
∵函数的图象过点，则，即，
由，可得，故，解得，
故，
将函数图象上所有点的横坐标变为原来的6倍，得到，
再向左平移个单位长度，得到.
故（答案不唯一）
13．
【分析】运用平面向量加法、向量数量积、向量的模、投影向量公式计算即可.
【详解】解：，，
则；
，，
故向量在上的投影向量的坐标为.
故；.
14．
【详解】试题分析：由题意得对任意总成立，即对任意总成立，而
，当且仅当时取“=”，则实数的取值范围是
考点：基本不等式求最值
15．(1)；
(2).
【分析】（1）根据数列递推公式特征，凑项组成等比数列，即可求得数列通项；
（2）求出数列的通项，利用错位相减法即可计算出的前项和.
【详解】（1），
又，
数列是首项､公比均为3的等比数列，
，即
（2）由（1）得，
则，
则，
两式相减得
，
.
16．(1)
(2)，
【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数，再根据正弦函数的单调性结合整体思想即可得解；
（2）由的范围求得的范围，再根据正弦函数的性质即可得解.
【详解】（1）解：
，
令，解得，
所以函数的单调减区间为；
（2）解：因为，所以，
所以，
于是 ，所以，
当且仅当时，取最小值，
当且仅当，即时，取最大值.
17．(1)2π3
(2)
【分析】（1）根据向量的数量积的定义，结合三角恒等变换公式，即可求解；
（2）根据余弦定理列方程，再利用基本不等式可求最值.
【详解】（1）由，可得，
即，
所以，
，因为，
所以，又，所以．
（2）由余弦定理可得，
因为，所以，即，
当且仅当时，等号成立．
故△面积的最大值为．
18．(1)在，上单调递增，在，上单调递减．
(2)
(3)
【分析】（1）将的值代入后对函数进行求导，当导函数大于0时求原函数的单调增区间，当导函数小于0时求原函数的单调递减区间．
（2）首先求出函数的导函数，由，且不是方程的根，依题意恒成立，则，解得即可；
（3）根据函数的单调性求出最大值，然后令最大值小于等于1恒成立求出的范围．
【详解】（1）解：因为，所以．
当时，．
令，解得，，．
当变化时，，的变化情况如下表：
所以在，上单调递增，在，上单调递减．
（2）解：因为，则，显然不是方程的根．
要使有且仅有一个极值点，则恒成立，
即，所以，
这时是函数的唯一极值点．
因此满足条件的的取值范围是．
（3）解：由条件，，可知，从而恒成立．
当时，；当时，．
因此函数在，上的最大值是与两者中的较大者．
为使对任意的，，不等式在上恒成立，
当且仅当，即，在，上恒成立．
所以，因此满足条件的的取值范围是．
19．(1)
(2)①；②证明见详解
【分析】（1）根据行列式的定义运算求解即可；
（2）①根据所给的规则求出切点为的切线方程，再进一步求得，结合等比数列的定义得出结果；②当时，先证明成立，得出，再结合等比数列求和得出结果.
【详解】（1）由题意可得.
（2）①由（1）可知：，，
则切点，切线斜率：，
故切线方程为：，
联立得：，
化简得：，
因式分解得：，故，
上式亦满足由作切线而得到的的横坐标，故，
，则是以为首项，以为公比的等比数列,
故，故，即；
②构造，则，
故在上单调递减，故，
可得当时，，
则，
即，，……，
将上式累加可得
，
故.
方法点睛：利用导数证明数列不等式问题:常根据已知的函数不等式或者构造函数不等式进行证明，用关于正整数n的不等式替代函数不等式中的自变量，通过求和达到证明的目的.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
C
A
A
D
B
C
ACD
BC
题号
11









答案
AB









0
，
2
0
0
0
单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增