2024-2025学年重庆市高一上学期开学联考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年重庆市高一上学期开学联考数学检测试题（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题，八年级抽取的学生竞赛成绩统计表等内容，欢迎下载使用。
1． 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
2． 如图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的主视图是（ ）

A. B.
C. D.
3． 如图，直线，被直线所截，若，，则∠2的度数为（ ）

A. B. C. D.
4． 如图，与是位似图形，点为位似中心，位似比为2：5，则与的面积之比为（ ）
A. 25：4B. 2：5C. 4：25D. 5：2
5． 下列函数的图象不经过点的是（ ）
A. B. C. D.
6． 的结果在哪两个连续整数之间（ ）
A. 7与8B. 8与9C. 9与10D. 10与11
7． 下图是用黑白两种颜色的正六边形地板砖铺成的图案，以此规律，第7个图案中的白色地板砖的块数为（ ）

A. 26B. 30C. 34D. 38
8． 如图，为圆的直径，直线与圆相切于点，为圆上一点，连接，.若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
9． 如图，在正方形内有一点，连接，，有，若的角平分线交于点，若为中点，，则的长为（ ）

A. B. C. D.
10． 定义：如果代数式（，，，是常数）与（，，，是常数），满足，，，则称这两个代数式与互为“同心式”，如，代数式：的“同心式”为，下列三个结论：
①若与互为“同心式”，则的值为；
②当时，无论取何值，“同心式”与的值始终互为相反数；
③若、互为“同心式”，且是一个完全平方式，则.
其中，正确的结论有（ ）个.
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、填空题（本大题共8小题）
11． 计算：_________.
12． 一个布袋里装有只有颜色不同的5个球，其中3个红球，2个白球.从中任意摸出2个球，则摸出的2个球都是红球的概率是__________.
13． 若一个正多边形的一个内角是，则这个多边形的边数为__________.
14． 在中，，，于点，，点为边中点，连接，则的长为__________.

15． 某工厂废气年排放量为450万立方米，为改善空气质量，决定分两期治理，使废气的排放量减少到288万立方米.如果每期治理中废气减少的百分率相同，设每期减少的百分率为，则可列方程为__________.
16． 如图，矩形的对角线，交于点，分别以点，为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，.若，，则图中阴影部分的面积为_________.（结果保留）

17． 已知关于的分式方程的解为正整数，且关于的不等式组的解集为，则所有符合条件的整数的值之和为__________.
18． 两位数和两位数，它们各个数位上的数字都不为0，将数和数的个位数字与十位数字交叉相乘再求和所得的结果记为.例如.又如.则____________；若一个两位数，两位数（，，且，都取整数），交换的十位数字和个位数字得到新两位数，当与的个位数字的5倍的和能被11整除时，称这样的两个数和为“快乐数对”，则所有“快乐数对”的最大值为__________.
三、解答题（本大题共2小题）
19． 计算：
（1）
（2）
20． 如图，四边形是平行四边形，是对角线

（1）基本尺规作图：过点作于点，再在线段上截取.（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接、、，猜想四边形的形状，将下面的推理过程补充完整.
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，①__________，
∴
在和中，
∴，
∴，②___________.
∴.
∴③__________
∴四边形是④__________.
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表（本大题共5小题）
21． 如图，正方形是边长为4，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线运动，动点以每秒1个单位长度的速度同时从点出发，沿折线运动，当两者相遇时停止运动.设运动时间为秒，的面积为 .

（1）请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出的面积为6时的值.
22． 甲和乙两位同学是骑行爱好者，甲从地出发前往地，乙从地出发前往地，已知、两地相距20千米，乙的速度是甲的速度的1.5倍.
（1）若甲先骑行2千米，乙才开始从地出发，两人54分钟后相遇，求乙每小时骑行多少千米?
（2）若甲先骑行40分钟，乙才开始从地出发，甲、乙两人同时到达终点，求乙每小时骑行多少千米?
23． 如图，在东西方向的海岸线上有港口和港口，在港口处测得海岛在北偏东60°方向，从港口处测得海岛在北偏东45°方向，已知港口与海岛的距离为30千米，

（1）求港口到海岛的距离；（结果精确到个位）
（2）一游客要从港口前往海岛取物品，他有两条路线可以选择.路线一：从港口乘坐快艇以每小时30千米的速度直达海岛；路线二：从港口乘坐交通车以每小时60千米的速度沿海岸线前往港口，再沿方向乘坐快艇以每小时30千米的速度前往海岛.为尽快到达海岛，该游客应选择哪条路线.（参考数据：，）
24． 如图，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点，点是直线下方的抛物线上一动点.

（1）求抛物线的解析式；
（2）过点作直线于点，过点作轴于点，交直线于点，求的最大值及此时点的坐标；
（3）在（2）的条件下，将该抛物线向左平移3个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上任意一点.写出所有使得以为腰的是等腰三角形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来.
25． 在中，，，点为平面内一点，

（1）如图1，当点在边上，且时，求的长度
（2）如图2，若，求证：
（3）如图3，当时，连接，将沿直线翻折至平面内得到，点、分别为、中点，为线段上一动点，连接，将线段绕点顺时针方向旋转90°，得到，请直接写出的最小值.
答案
1．【正确答案】B
【详解】因为数的相反数为，所以的相反数是.
故选：B.
2．【正确答案】B
【详解】从正面看，底层是三个小正方形，上层的中间是一个小正方形.
故选：B.
3．【正确答案】C
【详解】因为，所以，
又因为与为对顶角，则，
故选：C.

4．【正确答案】C
【详解】与是位似图形，位似比为2：5，则与的面积之比为4：25.
故选：C.
5．【正确答案】D
【详解】把点代入函数解析式，ABC选项中的函数都满足，D选项中的函数不成立.
故选：D
6．【正确答案】C
【详解】，
，
，
.
故选：C.
7．【正确答案】B
【详解】观察题图可知，第1个图案中有6块白色地板砖，
从第2个图案开始，每个图案中白色地板砖的数量都比前一个多4块，
故第个图案中的白色地板砖有(块).
当时，.
故选：B.
8．【正确答案】C
【详解】因为直线与圆相切，且为直径，所以，又因为，
所以，由为直径，得，所以.
故选：C.
9．【正确答案】A
【详解】由题意，
设的长为, 连接, 过点 作 于点 , 过点 作 于点 . 如图所示,

四边形是正方形.
.
为的中点.
.
平分 ,
,
.
,
.
∴.
∵
∴.

∵.
∴
在Rt 中,

∵，
∴，
在 Rt 中, ,
∵.
∴
解得.
∴
故选：A.
10．【正确答案】D
【详解】①若与互为“同心式”，
则，，
，故①正确；
②当时，，，
，
，
无论取何值，“同心式”与值始终互为相反数，故②正确；
③若、互为“同心式”，
，
，
令，，即，故③正确.
故选：C,
11．【正确答案】
【详解】，
故答案为.
12．【正确答案】##0.3
【详解】由题意，
颜色不同的5个球，其中3个红球，2个白球，任意摸出2个球，
则有下列几种情况：
∴共有20中可能的情况，其中摸出的2个球都是红球的有6种，
∴摸出的2个球都是红球的概率为.
故答案为.
13．【正确答案】12
【详解】一个正多边形的每个内角是，
正多边形的每个外角为，
多边形的外角和等于，
，
这个正多边形的边数是12.
故12.
14．【正确答案】
【详解】，，于点，则为的中点，
中，，则，
点为边中点，则.
故
15．【正确答案】
【详解】依题意得.
故答案为.
16．【正确答案】##
【详解】在矩形中，，
由，得，
所以阴影部分的面积为.
故
17．【正确答案】
【详解】分式方程化为：，解得，
显然，即，解得，又为正整数，因此是大于且不等于的奇数，
不等式组化为：，依题意，，
因此且，是奇数，
所以所有符合条件的整数的值之和为.
故
18．【正确答案】 ①. 48 ②. 58
【详解】①由题得：；
②因为一个两位数，两位数，
且，，都取整数，
根据题意有，的个位数字为，
所以，
因为能被11整除，
所以，
所以为整数，
因为，，所以，
当，
当，
所以当，
此时，
当，
此时，
故的最大值为58.
故48；58.
19．【正确答案】（1）
（2）
【详解】（1）
（2）
20．【正确答案】（1）作图见解析
（2）①；②；③平行四边形.
【详解】（1）
由题意，
尺规作图如下图所示，

（2）
由题意证明如下，
∵四边形是平行四边形,
∴，，
∴，
在和中,
∴
，，
.
.
四边形是平行四边形.
21. 某校为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，特开展了“建团百年锵辉煌、凝心聚力再出发”共青团知识竞赛.现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分成四组：A. ；B. ；C. ；D. ）.下面给出了部分信息；
七年级10名学生的竞赛成绩是：99，84，99，99，100，100，95，94，89，81，
八年级10名学生的竞赛成绩在组中的数据是：92，93，94，94，
21．【正确答案】（1）
（2）图象见解析，当时，函数有最大值（答案不唯一）
（3），或
【详解】（1）
当时，；
当时，，
所以关于的函数表达式为；
（2）
列表如下：
描点，连线如下图所示：

根据图象可知当时，函数有最大值；
【小问3详解】
由图象可知：当，或时，的面积为6.
22．【正确答案】（1）乙每小时骑行
（2）乙每小时骑行
【详解】（1）
设甲的速度为，则乙的速度为，
则由题意有
解得，则.
则乙每小时骑行.
（2）
设甲的速度为，则乙的速度为，
，
解得，经检验是原方程的根，
则，
则乙每小时骑行.
23．【正确答案】（1）21千米
（2）应选择路线二，见解析
【详解】（1）
如图，作交于，

由题可知,
在中, ,
在中,
即的距离为21千米.
（2）
由题意得，当用路线一时,；
当用路线二时，在 中,,
中,,
,
,
用路线二时，，
；
因此游客应选择路线二.
24．【正确答案】（1）
（2）的最大值为4，此时点的坐标为.
（3）所有点的坐标为
.
【详解】（1）
将和代入，
可得解得，所以.
（2）
与轴交于点，
设直线的解析式为，
直线经过点，所以，解得:，
所以直线的解析式为，
设点，则,
所以，
所以当时，最大，最大值是4，
因为，,
,
因为轴，，
,
所以是等腰直角三角形，'所以
，
所以的最大值为4，此时点的坐标为;
（3）
向左平移3个单位可得，
点,此时抛物线的对称轴为，所以设，
若,即，
解得；
若,即，
整理得，解得；
若,即，
整理得，解得；
综上，所有点的坐标为
.
25．【正确答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【详解】（1）BC的中点E，连接AE，则，，，；
（2）

将绕A点逆时针旋转得，连接EC，EC与BD的交点为H，
则，是等腰直角三角形，，
，，
，设，则，，
是等腰三角形，；
（3）

依题意做上图，其中，连接EF，则EF是的中位线，，，
三点共线，
又，延长FA至Q点，使得，则点在AQ线段上；
，始终在以A为圆心，为半径的圆的圆周上，本问题等价于到圆A的圆周上最近的距离，显然；
综上，（1），（3）的最小值为.白
白
红
红
红
白
（白，白）
（白，红）
（白，红）
（白，红）
白
（白，白）
（白，红）
（白，红）
（白，红）
红
（红，白）
（红，白）
（红，红）
（红，红）
红
（红，白）
（红，白）
（红，红）
（红，红）
红
（红，白）
（红，白）
（红，红）
（红，红）
0
1
4
6
0
2
8
0