2025驻马店环际大联考“逐梦计划”高二上学期11月期中考试数学含解析

环际大联考“逐梦计划”2024~2025学年度第一学期期中考试高二数学试题（试卷总分：150分 考试时间：120分钟）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知直线l的倾斜角满足，则l的斜率k的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系，为倾斜角，分别求出倾斜角在和时斜率的值，再根据正切函数在给定区间的单调性确定斜率的取值范围.、【详解】当时， . 当时,. 因为在上单调递增，在上也单调递增.当时，；当时，.所以的取值范围是.故选：C.2. 已知双曲线的左焦点为F，点P在双曲线C的右支上，M为线段FP的中点，若M到坐标原点的距离为6，则（ ）A. 6或18 B. 18C. 8或20 D. 22【答案】B【解析】【分析】根据中位线性质可得，利用双曲线的定义可得.【详解】设双曲线的右焦点为，连接.由题意得，∵M为线段FP的中点，为线段的中点，∴，由双曲线定义得，，故.故选：B.3. 设方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】对于椭圆方程（），当时，椭圆的焦点在轴上。在方程中，，，我们需要根据焦点在轴上这一条件列出关于的不等式组求解。【详解】因为方程表示椭圆，所以，解得.同时，解得. 由于焦点在轴上，所以，即.移项可得，即.解得. 综合前面的条件，和.所以的取值范围是. 故选：A.4. 若椭圆的焦点与双曲线的焦点重合，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出椭圆的半焦距，利用双曲线与该椭圆半焦距相等，以及之间的关系，即可求出结果.【详解】由题知，椭圆的半焦距为，所以，解得.故选：D5. 若圆与圆交于A，B两点，则弦长为（ ）A. B. C. 2 D. 4【答案】B【解析】【分析】首先求出圆心坐标和半径.然后通过两圆方程相减得到公共弦所在直线方程，再根据圆心到直线的距离公式求出圆心到公共弦的距离，最后利用勾股定理求出弦长.【详解】圆，圆心，半径. 圆，圆的圆心，半径. 两圆方程相减可得：，化简得，即，此为公共弦所在直线方程. 求圆心到直线的距离. 根据勾股定理，弦长的一半，已知，，则，所以.故选：B.6. 如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且为OA上靠近A点的三等分点，点N为BC中点，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】结合空间向量基本定理，利用空间向量的线性运算求解即可.【详解】因为点M在OA上，且为OA上靠近A点的三等分点，所以，所以，因点N为BC中点，所以，所以.故选：A7. 已知动点满足，则动点P轨迹是（ ）A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线【答案】C【解析】【分析】我们先将已知等式进行变形，使其符合上述公式的形式，然后判断动点的轨迹.【详解】已知，将等式右边的变形为，即.此时原等式变为，两边同时除以得到. 表示点到点的距离，表示点到直线的距离.所以点到点的距离等于点到直线的距离. 点不在直线上，根据圆锥曲线的定义，到一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，故动点的轨迹是抛物线.故选：C.8. 已知椭圆具有知下性质：若圆的方程为，则椭圆上一点处的切线方程为.试运用该性质解决以下问题：若椭圆，点为椭圆在第一象限内的任意一点，过点作椭圆的切线，分别与轴和轴的正半轴交于，两点，则面积的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设，根据题意可得直线的方程，进而可得面积的最小值.【详解】设，由题意可知切线，即，可知，则面积，当且仅当，即时，等号成立，所以面积的最小值为.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知双曲线两条渐近线的夹角为，则此双曲线的离心率为（ ）A. 2 B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出双曲线的渐近线方程，可得，再根据即可求解.【详解】∵双曲线的渐近线方程为，∴由双曲线两条渐近线的夹角为，可得.∴双曲线的离心率为.故选：C.10. 设a为实数，直线，，则（ ）A. 恒过点 B. 若，则或C. 若，则或0 D. 当时，不经过第二象限【答案】BD【解析】【分析】对于直线方程，如果要找过定点的情况，可以对含参数的式子进行整理.两直线平行则，两直线垂直则.通过这些定理来判断每个选项的正确性.【详解】将，代入的方程左边得.当时才等于，并不是对任意实数都成立，所以不恒过点. 故A错误.对于直线和.因为，根据两直线平行的判定条件， 则，整理得，解得或.当时，，，两直线平行；当时，，，化简为，两直线平行，所以或. 故B正确.因为，根据两直线垂直的判定条件，则，整理得.利用求根公式，所以C错误. 直线，当时，，即. ，直线不经过第二象限.当时，，，直线方程变形为，则，，所以直线不经过第二象限，故D正确 故选：BD11. 过抛物线焦点的直线与C相交于，两点，直线PQ的倾斜角为，若的最小值为4，则（ ）A. 的坐标为 B. 若，则C. 若，则的最小值为3 D. 面积的最小值为2【答案】ACD【解析】【分析】设直线，联立直线方程和抛物线方程后消元结合最小弦长可求的值，再逐项判断后可得正确的选项.【详解】由题设有，直线的斜率不为零，故设直线，则由可得，，所以，所以而，当且仅当时等号成立，故，故，故F1,0，故A正确；若，则，故，故的斜率为，其倾斜角为或，故B错误；若，则过作准线的垂线，垂足为，连接，则，当且仅当三点共线时等号成立，故的最小值为3，故C正确；，当且仅当时等号成立，故面积的最小值为2，故D成立. 故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知向量，，则在上的投影向量为________________.【答案】【解析】【分析】根据投影向量的计算公式求解即可.【详解】设向量、的夹角为，因为在上的投影向量为：，又因为，，所以，，所以，所以在上的投影向量为：.故答案为：13. 点A，B是椭圆的左、右顶点，M是椭圆上不同于A，B的任意一点，若直线AM，BM的斜率之积为，则椭圆C的离心率为________________.【答案】【解析】【分析】由题意得，设，表示直线AM，BM的斜率，利用斜率之积为和点在椭圆上可得结果.【详解】由题意得，. 设，则，，∴，由得，，∴，即，∴离心率.故答案为：.14. 已知圆，M是圆C上的任意一点，P为直线上任意一点，点，则的最小值为________________.【答案】【解析】【分析】将圆的方程化为标准方程，找到圆心坐标和半径，然后通过利用圆的性质，将的最小值转化为的最小值，然后利用对称转化为到点关于直线的对称点的距离，再根据距离不等式求出结果.【详解】圆方程可化为，所以圆心，半径.圆心在直线上方，且圆心到直线的距离，所以圆在直线上方，所以根据圆的性质，，所以，当共线且依次顺序排列时取等号.因为都满足不等式，所以都在直线的上方.设关于直线的对称点为，根据对称点的性质，，且，解方程组，由得，代入得：，则，所以，则，当共线并依次顺序排列时取等号，，所以的最小值为，故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知空间中三点，，.设，.（1）求和；（2）若与互相垂直，求实数k的值.【答案】（1），2 （2）.【解析】【分析】（1）利用空间向量的坐标运算和模的运算，即可求出结果；（2）利用向量的垂直关系等价于数量积为0，再结合空间向量的坐标运算，即可求出结果.【小问1详解】∵，，，，，∴，，于是，， ，.【小问2详解】∵，，且与互相垂直，∴，即，∴，解得：.16. 已知圆E经过点，，且与y轴相切，直线l恒过.（1）求圆E的方程；（2）直线l与圆E相交于M，N两点，且时，求l的方程.【答案】（1） （2）或【解析】【分析】（1）设圆E的方程为，由求解；（2）当直线l的斜率不存在时，直线方程为，此时满足，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，利用弦长公式求解.小问1详解】设圆E的方程为，由题意知，解得，，，故圆E的方程为 ；【小问2详解】当直线l的斜率不存在时，直线方程为，此时满足，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即，设圆心到直线l的距离为d，则，则，解得，则直线l的方程为；综上：直线l的方程为或.17. 已知双曲线的离心率为，焦点F到渐近线的距离为1.（1）求双曲线E的标准方程；（2）直线与双曲线E的左支交于不同两点，求实数k的取值范围.【答案】（1） （2）.【解析】【分析】（1）双曲线离心率（为双曲线的半焦距），焦点到渐近线（即）的距离，且.再根据已知条件求出，的值，从而得到双曲线的标准方程. （2）将直线方程代入双曲线方程，得到一个一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，结合直线与双曲线左支交于不同两点的条件来确定的取值范围.【小问1详解】因为双曲线的离心率，可得，即. 又因为焦点到渐近线的距离为，根据点到直线距离公式，而，所以，则. 由且，，可得，解得. 所以双曲线的标准方程为.【小问2详解】将直线代入双曲线方程，得到，展开可得，整理得. 因为直线与双曲线左支交于不同两点，所以. 由，解得. 对于，即，解得. 由，（结合），所以，解得. 由，解得，即或. 综合以上条件，取交集得.则实数k的取值范围为.18. 已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且.（1）求抛物线C的方程；（2）过点的直线与抛物线C交于A，B两点（均与点P不重合），设直线PA，PB的斜率分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1） （2）是，.【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义即可求出，即可得出方程；（2）设出直线的方程，与抛物线联立，利用韦达定理即可求出定值.【小问1详解】由抛物线定义可知，所以，则，所以抛物线C的方程为；【小问2详解】由在抛物线上，得，即，显然，过点的直线斜率不为0，故设直线方程为，，，由，得，，解得或，则，，故，，又，，所以，故为定值. 19. 动点M与定点的距离和它到定直线的距离比是常数，（1）求动点M的轨迹C的方程；（2）若直线l过点，且与C交于A，B两点，当最大时，求直线l的方程.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）设，根据题意列式整理即可得轨迹方程；（2）分类讨论直线的斜率是否存在，联立方程利用韦达定理整理可得.解法一：换元令，结合二次函数求最值；解法二：利用基本不等式求最值.【小问1详解】设，得，整理得M的轨迹C的方程为.【小问2详解】当直线l的斜率不存在时，方程为，此时；当直线l的斜率存在时，设方程为，，，联立方程，消y得，恒成立，故，则，，所以，法一：令，，则，可得，当，即，时，取得最大值3；综上所述，当最大时，所求直线l的方程为；法二：，当且仅当，即时，等号成立，综上所述，当最大时，所求直线l的方程为.