2024-2025学年上学期初中数学人教版（2024）七年级期末必刷常考题之实际问题与一元一次方程练习

这是一份2024-2025学年上学期初中数学人教版（2024）七年级期末必刷常考题之实际问题与一元一次方程练习，共22页。

A．77B．84C．90D．105
2．（2023秋•城厢区期末）小云在某月的日历中圈出了相邻的三个日期a，b，c，并求出它们的和为30，则这三个日期在日历中的排布不可能是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023秋•旌阳区期末）如图，在两个完全相同的大长方形中各放入五个完全一样的白色小长方形，得到图（1）与图（2）．若AB＝m，则图（1）与图（2）阴影部分周长的差是（ ）
A．mB．54mC．65mD．76m
4．（2023秋•铁岭县期末）车间有28名工人生产螺丝和螺母，每人每天平均生产1200个螺丝或1800个螺母，现有x个工人生产螺丝，恰好每天生产的螺母和螺丝按2：1配套，为求x，可列方程（ ）
A．1200x＝1800（28﹣x）B．2×1200x＝1800（28﹣x）
C．2×1800x＝1200（28﹣x）D．1200x＝2×1800（28﹣x）
5．（2024秋•建湖县期中）某市对市区主干道进行绿化，现有甲、乙两个施工队，甲施工队有13位工人，乙施工队有27位工人，现计划有变，需要从乙施工队借调x名工人到甲施工队，刚好甲施工队人数是乙施工队人数的3倍，则根据题意列出方程正确的是（ ）
A．3（13+x）＝27﹣xB．13+x＝3（27﹣x）
C．3（13﹣x）＝27+xD．13﹣x＝3（27+x）
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋•苏州期中）数轴上有A、B、C三个动点，其中点A，点B在起始位置所表示的数分别为6和﹣5，点C在A、B两点之间．点A以每秒1个单位长度的速度向左运动；点B以每秒2个单位长度的速度向右运动；点C以每秒3个单位长度的速度先向右运动，当其与点A相遇后立即返回向左运动，与点B相遇后又立即返回向右运动，依此方式在A、B两点之间往返运动；若三个点同时开始运动，当三点恰好相遇同一点时，都停止运动，则相遇点所表示的数为 ．
7．（2024秋•乐清市期中）底面积为48cm2，高为10cm的圆柱形容器内有若干水，水位高度为h1，现将一个边长为4cm的立方体铁块水平放入容器底部，立方体完全沉没入水中（如图甲）．再将一个边长为a cm的立方体铁块水平放在第一个立方体上面，若第二个立方体只有一半没入水中（如图乙）．此时水位高度为h2，若ℎ2−ℎ1=1712cm，则a＝ cm．
8．（2024秋•同安区期中）幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．“洛书”即三阶幻方，它的每行、每列、每条对角线上三个数之和均相等．如图的方格中填写了一些数，当x的值为 时，它能构成一个三阶幻方．
9．（2024秋•南岗区校级期中）一本书，第一天读了全书的14，第二天读了全书的25，还有49页没有读，则这本书共有 页．
10．（2024秋•绥棱县校级期中）某车间有90名工人，每人平均每天加工大齿轮20个或小齿轮15个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问一天最多可以生产多少套这样成套的产品？设最多可生产套成x套产品，则可列方程为 ．
三．解答题（共5小题）
11．（2024春•普陀区期中）根据如图的流程图，完成下列各题：
（1）如果输入x的值是35，那么输出的数是多少？请写出计算过程．
（2）如果输出的数是﹣5，那么x的值是多少？请写出计算过程．
12．（2024秋•金水区期中）网约车已成为人们出行的首选便捷工具，某网约车行车计费规则如下表：
乘客车费由时长费、里程费、远途费三部分构成．其中时长费按行车实际时间计算；里程费按行车的实际里程计算；远途费收取标准如下：行车里程10千米以内（含10千米），不收远途费，超过10千米的，超出部分每千米收0.4元．
（1）张老师乘坐该网约车，行车里程为20千米，行车时间为30分钟，需付车费 元；
（2）若小明乘坐该网约车，行车里程为a千米，行车时间为b分钟．请用含a，b的代数式表示车费，并化简：当a≤10时，小明应付车费 元；当a＞10时，小明应付车费 元；
（3）小明和张老师都乘坐该网约车，行车里程分别是7.5千米和12千米，如果两人所付车费相同，那么两人所乘的两辆网约车的行车时间相差 分钟．
13．（2024秋•南海区期中）美团外卖骑手分为专职和兼职两种，专职骑手月工资4000元保底，每送一单外卖可再得3元；兼职骑手没有保底工资，每送一单外卖可得4元，小张是一名专职美团骑手，小李是一名兼职美团骑手．
（1）若10月小张和小李送出的外卖单数相同，且小张比小李多收入了2500元，求小张送出了多少单外卖．
（2）根据国家个人所得税率标准，工资超过5000时，需要交纳个人所得税，税率如表所示：
问题：如果小张在11月交了200元的个人所得税，请问小张在11月送出了多少单外卖？
14．（2024秋•南昌期中）已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，且满足（a﹣1）2+|b+3|＝0，c＝﹣2a+b．
（1）分别求a，b，c的值；
（2）若点D在数轴上对应的数为x，当A、D间距离是B、C间距离的5倍时，请求出x的值；
（3）若点A和点B分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒，
①当t为何值时，点A到点B、点C的距离之和是40？
②是否存在一个常数k，使得3AC﹣kAB的值在一定时间范围内不随运动时间t的改变而改变？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
15．（2024秋•平山县期中）在东西向的马路上有一个巡岗亭A，巡岗员甲从岗亭A出发以20km/h的速度匀速来回巡逻．如果规定向东为正，向西为负．巡逻情况记录如下：（单位：km）
已知巡岗员甲第五次巡逻结束时刚好回到岗亭．
（1）求第四次结束时，巡岗员甲的位置在岗亭A的东边还是西边，相距多远；
（2）直接写出表中第五次巡逻应记为多少千米；
（3）巡岗员甲从出发到第五次巡逻结束用时多长；
（4）巡逻过程中配置无线对讲机，并一直与留守在岗亭A的乙通话，若无线对讲机只能在2千米范围内正常使用，直接写出甲巡逻过程中，甲与乙可以正常通话的时间有多少小时．
2024-2025学年上学期初中数学人教版（2024）七年级期末必刷常考题之实际问题与一元一次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋•南昌期中）如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“U”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和不可能的是（ ）
A．77B．84C．90D．105
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】设这7个数中最小的数为x，则这7个数的和为7x+63，分别代入各选项中的数，解之可得出x的值，结合x为整数，即可得出结论．
【解答】解：设这7个数中最小的数为x，则另外6个数分别为x+2，x+7，x+9，x+14，x+15，x+16，
∴这7个数的和为x+x+2+x+7+x+9+x+14+x+15+x+16＝7x+63．
A．根据题意得：7x+63＝77，
解得：x＝2，
∵2在第四列，符合题意，
∴这7个数的和可以是77，选项A不符合题意；
B．根据题意得：7x+63＝84，
解得：x＝3，
∵3在第五列，符合题意，
∴这7个数的和可以是84，选项B不符合题意；
C．根据题意得：7x+63＝90，
解得：x=277，
∵277不是整数，不符合题意，
∴这7个数的和不可能是90，选项C符合题意；
D．根据题意得：7x+63＝105，
解得：x＝6，
∵6在第一列，符合题意，
∴这7个数的和可以是105，选项D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
2．（2023秋•城厢区期末）小云在某月的日历中圈出了相邻的三个日期a，b，c，并求出它们的和为30，则这三个日期在日历中的排布不可能是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】数字问题；一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】日历中的每个数都是整数且上下相邻是7，左右相邻相差是1．根据题意可列方程求解．
【解答】解：A、设最小的数是x，则x+x+1+x+2＝30，x＝9．故本选项不符合题意；
B、设最小的数是x，则x+x+7+x+8＝30，x＝5，故本选项不符合题意；
C、设最小的数是x，则x+x+6+x+7＝30，x=173，故本选项符合题意；
D、设最小的数是x，则x+x+7+x+14＝30，x＝3，本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】此题考查的是一元一次方程的应用，关键是根据题意对每个选项列出方程求解论证．锻炼了学生理解题意能力，关键知道日历中的每个数都是整数且上下相邻是7，左右相邻相差是1．
3．（2023秋•旌阳区期末）如图，在两个完全相同的大长方形中各放入五个完全一样的白色小长方形，得到图（1）与图（2）．若AB＝m，则图（1）与图（2）阴影部分周长的差是（ ）
A．mB．54mC．65mD．76m
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】设小长方形的宽为x，长为y，大长方形的宽为n，表示出x、y、m、n之间的关系，然后求出阴影部分周长之差即可．
【解答】解：设小长方形的宽为x，长为y，大长方形的宽为n，
由图（1）得4x＝n，
由图（2）得2x+y＝m，y＝3x，
∴5x＝m，
∴x=m5，
图（1）中阴影部分的周长为：2n+2y+(m−y)+(m−y−x)+x=2n+2m=8x+2m=185m，
图（2）中阴影部分的周长为：2(n−3x)+2m=2(4x−3x)+2m=2x+2m=125m，
∴阴影部分的周长之差为：185m−125m=65m．
故选：C．
【点评】本题考查了整式的加减，列代数式，正确得出各图中阴影部分周长的代数式是解题的关键．
4．（2023秋•铁岭县期末）车间有28名工人生产螺丝和螺母，每人每天平均生产1200个螺丝或1800个螺母，现有x个工人生产螺丝，恰好每天生产的螺母和螺丝按2：1配套，为求x，可列方程（ ）
A．1200x＝1800（28﹣x）B．2×1200x＝1800（28﹣x）
C．2×1800x＝1200（28﹣x）D．1200x＝2×1800（28﹣x）
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
【答案】B
【分析】要列方程首先要根据题意找出题中存在的等量关系：每天生产的螺母＝每天生产的螺栓的2倍，从而列出方程．
【解答】解：设x名工人生产螺栓，则生产螺母的工人为28﹣x名．
每天生产螺栓1200x个，生产螺母1800×（28﹣x）；
根据“恰好每天生产的螺栓和螺母按1：2配套”，得出方程：2×1200x＝1800（28﹣x）
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程的知识，列方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系，有的题目所含的等量关系比较隐藏，要注意仔细审题，耐心寻找．
5．（2024秋•建湖县期中）某市对市区主干道进行绿化，现有甲、乙两个施工队，甲施工队有13位工人，乙施工队有27位工人，现计划有变，需要从乙施工队借调x名工人到甲施工队，刚好甲施工队人数是乙施工队人数的3倍，则根据题意列出方程正确的是（ ）
A．3（13+x）＝27﹣xB．13+x＝3（27﹣x）
C．3（13﹣x）＝27+xD．13﹣x＝3（27+x）
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】根据两队原有人数及借调人数，可得出借调后甲施工队有（13+x）位工人，乙施工队有（27﹣x）位工人，结合借调后甲施工队人数是乙施工队人数的3倍，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：∵要从乙施工队借调x名工人到甲施工队，
∴借调后甲施工队有（13+x）位工人，乙施工队有（27﹣x）位工人．
根据题意得：13+x＝3（27﹣x）．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋•苏州期中）数轴上有A、B、C三个动点，其中点A，点B在起始位置所表示的数分别为6和﹣5，点C在A、B两点之间．点A以每秒1个单位长度的速度向左运动；点B以每秒2个单位长度的速度向右运动；点C以每秒3个单位长度的速度先向右运动，当其与点A相遇后立即返回向左运动，与点B相遇后又立即返回向右运动，依此方式在A、B两点之间往返运动；若三个点同时开始运动，当三点恰好相遇同一点时，都停止运动，则相遇点所表示的数为 73 ．
【考点】一元一次方程的应用；数轴．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】73．
【分析】由题意可知，三点的相遇点恰好为点A，B的相遇点，当运动时间为t秒时，点A表示的数为6﹣t，点B表示的数为﹣5+2t，由两点相遇时表示的数相同，可列出关于t的一元一次方程，解之可得出t的值，再将其代入（6﹣t）中，即可求出结论．
【解答】解：当运动时间为t秒时，点A表示的数为6﹣t，点B表示的数为﹣5+2t，
根据题意得：6﹣t＝﹣5+2t，
解得：t=113，
∴6﹣t＝6−113=73，
∴相遇点所表示的数为73．
故答案为：73．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
7．（2024秋•乐清市期中）底面积为48cm2，高为10cm的圆柱形容器内有若干水，水位高度为h1，现将一个边长为4cm的立方体铁块水平放入容器底部，立方体完全沉没入水中（如图甲）．再将一个边长为a cm的立方体铁块水平放在第一个立方体上面，若第二个立方体只有一半没入水中（如图乙）．此时水位高度为h2，若ℎ2−ℎ1=1712cm，则a＝ 2 cm．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】2．
【分析】利用边长为4cm的立方体铁块的体积+12×边长为a cm的立方体铁块的体积＝圆柱形容器的底面积×水面上升的高度，可列出关于a的一元三次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：根据题意得：43+12a3＝48（h2﹣h1），
即43+12a3＝48×1712，
解得：a＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了高次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元三次方程是解题的关键．
8．（2024秋•同安区期中）幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．“洛书”即三阶幻方，它的每行、每列、每条对角线上三个数之和均相等．如图的方格中填写了一些数，当x的值为 ﹣5 时，它能构成一个三阶幻方．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】﹣5．
【分析】根据第三行及第三列三个数之和相等，可求出第三行第一个方格中的数字，结合第二行及对角线上三个数之和相等，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：第三行第一个方格中的数字为3+4﹣11＝﹣4．
根据题意得：x+4＝3+（﹣4），
解得：x＝﹣5，
∴当x的值为﹣5时，它能构成一个三阶幻方．
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
9．（2024秋•南岗区校级期中）一本书，第一天读了全书的14，第二天读了全书的25，还有49页没有读，则这本书共有 140 页．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】140．
【分析】设这本书共有x页，根据读了两天后还有49页没有读，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设这本书共有x页，
根据题意得：x−14x−25x＝49，
解得：x＝140，
∴这本书共有140页．
故答案为：140．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
10．（2024秋•绥棱县校级期中）某车间有90名工人，每人平均每天加工大齿轮20个或小齿轮15个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问一天最多可以生产多少套这样成套的产品？设最多可生产套成x套产品，则可列方程为 2x20+3x15=90 ．
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据某车间有90名工人可以列出相应的方程，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意得，2x20+3x15=90，
故答案为：2x20+3x15=90．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
三．解答题（共5小题）
11．（2024春•普陀区期中）根据如图的流程图，完成下列各题：
（1）如果输入x的值是35，那么输出的数是多少？请写出计算过程．
（2）如果输出的数是﹣5，那么x的值是多少？请写出计算过程．
【考点】一元一次方程的应用；有理数的混合运算．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】（1）−15；
（2）32或﹣1．
【分析】（1）求出35×（﹣6）+4的值，由该值是非负数，再乘以−12，即可求出输出的数；
（2）分运算结果是非负数及是负数两种情况考虑，当运算结果是负数时，根据输出的数是﹣5，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值；当运算结果是非负数时，根据输出的数是﹣5，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值．
【解答】解：（1）35×（﹣6）+4=25，
∵25是非负数，
∴输出的数是25×（−12）=−15；
（2）根据题意得：﹣6x+4＝﹣5或−12（﹣6x+4）＝﹣5，
解得：x=32或x＝﹣1，
∴x的值为32或﹣1．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
12．（2024秋•金水区期中）网约车已成为人们出行的首选便捷工具，某网约车行车计费规则如下表：
乘客车费由时长费、里程费、远途费三部分构成．其中时长费按行车实际时间计算；里程费按行车的实际里程计算；远途费收取标准如下：行车里程10千米以内（含10千米），不收远途费，超过10千米的，超出部分每千米收0.4元．
（1）张老师乘坐该网约车，行车里程为20千米，行车时间为30分钟，需付车费 51 元；
（2）若小明乘坐该网约车，行车里程为a千米，行车时间为b分钟．请用含a，b的代数式表示车费，并化简：当a≤10时，小明应付车费 （0.5b+1.6a） 元；当a＞10时，小明应付车费 （0.5b+2a﹣4） 元；
（3）小明和张老师都乘坐该网约车，行车里程分别是7.5千米和12千米，如果两人所付车费相同，那么两人所乘的两辆网约车的行车时间相差 16 分钟．
【考点】一元一次方程的应用；列代数式．
【专题】整式；一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】（1）51；
（2）（0.5b+1.6a），（0.5b+2a﹣4）；
（3）16．
【分析】（1）利用乘客车费＝时长费+里程费+远途费，即可求出结论；
（2）当a≤10时，利用小明应付车费＝时长费+里程费，可用含a，b的代数式表示出小明应付车费；当a＞10时，利用小明应付车费＝时长费+里程费+远途费，可用含a，b的代数式表示出小明应付车费；
（3）设两人所乘的两辆网约车的行车时间相差x分钟，利用0.5×两人所乘的两辆网约车的行车时间之差＝1.6×两人所乘的两辆网约车的里程之差+0.4×张老师乘坐网约车的远途费，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）根据题意得：0.5×30+1.6×20+0.4×（20﹣10）
＝0.5×30+1.6×20+0.4×10
＝15+32+4
＝51（元），
∴张老师需付车费51元．
故答案为：51；
（2）根据题意得：当a≤10时，小明应付车费（0.5b+1.6a）元；
当a＞10时，小明应付车费0.5b+1.6a+0.4（a﹣10）＝（0.5b+2a﹣4）元．
故答案为：（0.5b+1.6a），（0.5b+2a﹣4）；
（3）设两人所乘的两辆网约车的行车时间相差x分钟，
根据题意得：0.5x＝1.6×（12﹣7.5）+0.4×（12﹣10），
解得：x＝16，
∴两人所乘的两辆网约车的行车时间相差16分钟．
故答案为：16．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）根据各数量之间的关系，用含a，b的代数式表示出小明应付车费；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
13．（2024秋•南海区期中）美团外卖骑手分为专职和兼职两种，专职骑手月工资4000元保底，每送一单外卖可再得3元；兼职骑手没有保底工资，每送一单外卖可得4元，小张是一名专职美团骑手，小李是一名兼职美团骑手．
（1）若10月小张和小李送出的外卖单数相同，且小张比小李多收入了2500元，求小张送出了多少单外卖．
（2）根据国家个人所得税率标准，工资超过5000时，需要交纳个人所得税，税率如表所示：
问题：如果小张在11月交了200元的个人所得税，请问小张在11月送出了多少单外卖？
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】（1）1500单；
（2）1700单．
【分析】（1）设小张送出了送出了a单，根据小张比小李多收入了2500元，建立方程求解即可；
（2）先表示小张送的钱数，再表格中的数据可以表示小张的个人所得税，建立方程求解即可．
【解答】解：（1）设小张送出了送出了a单，则小李也送出了a单，
根据题意可得，4000+3a﹣4a＝2500，
解得a＝1500，
∴小张送出了1500单外卖；
（2）∵（8000﹣5000）×3%＝90，90＜200，
∴小张的收入高于8000元，
设小张送出了送出了b单，
则小张的收入为4000+3b，
∴3000×3%+（4000+3b﹣8000）×10%＝200，
解得：b＝1700，
∴小张11月份送了1700单外卖．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
14．（2024秋•南昌期中）已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，且满足（a﹣1）2+|b+3|＝0，c＝﹣2a+b．
（1）分别求a，b，c的值；
（2）若点D在数轴上对应的数为x，当A、D间距离是B、C间距离的5倍时，请求出x的值；
（3）若点A和点B分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒，
①当t为何值时，点A到点B、点C的距离之和是40？
②是否存在一个常数k，使得3AC﹣kAB的值在一定时间范围内不随运动时间t的改变而改变？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
【考点】一元一次方程的应用；数轴；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】（1）a＝1，b＝﹣3，c＝﹣5；（2）x＝9或﹣7，过程见解析；（3）①t＝10；②存在符合条件的k，k＝6，过程见解析．
【分析】（1）绝对值和平方具有非负性，由非负数的和等于0，每个非负数都为零，求出a，b；
（2）由数轴上两点间的距离公式表示出AD和BC，建立方程求解x；
（3）①由数轴上求两点之间的距离求解即可；②假设存在符合条件的k，表示3AC﹣kAB，再利用整式的性质求解．
【解答】解：（1）依题意，由（a﹣1）2≥0，|b+3|≥0，（a﹣1）2+|b+3|＝0，
可得：a﹣1＝0，b+3＝0，
∴a＝l，b＝﹣3，
又∵c＝﹣2a+b，
∴c＝﹣2x1+（﹣3）＝﹣5，
∴a＝1，b＝﹣3，c＝﹣5；
（2）由题意得：|x﹣1|＝4x（﹣3+5），
∴x﹣1＝±8，当x﹣1＝8时，x＝9，
当x﹣1＝﹣8时，x＝﹣7，
综上：x＝9或﹣7；
（3）①依题意，经过t秒，点A表示的数为（1+2t），点B表示的数为（﹣3+t），点C表示的数为﹣5，
且A，B都在点C右侧，
可得：1+2t﹣（﹣5）+1+2t﹣（﹣3+t）＝40，
解得：t＝10；
②假设存在符合条件的k，经过t秒，点A表示的数为（1+2t），点B表示的数为（﹣3+t），
且A，B都在点C右侧，
∴AC＝1+2t﹣（﹣5）＝6+2t，
AB＝1+2t﹣（﹣3+t）＝4+t，
∴3AC﹣kAB＝3（6+2t）﹣k（4+t）＝18+6t﹣4k﹣kt＝18﹣4k+（6﹣k）t，
∵3AC﹣kAB的值在一定时间范围内不随运动时间t的改变而改变，
∴6﹣k＝0，
∴k＝6，
∴存在符合条件的k，k＝6．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、绝对值以及偶次方的非负性，解题的关键是分析清楚题目意思．
15．（2024秋•平山县期中）在东西向的马路上有一个巡岗亭A，巡岗员甲从岗亭A出发以20km/h的速度匀速来回巡逻．如果规定向东为正，向西为负．巡逻情况记录如下：（单位：km）
已知巡岗员甲第五次巡逻结束时刚好回到岗亭．
（1）求第四次结束时，巡岗员甲的位置在岗亭A的东边还是西边，相距多远；
（2）直接写出表中第五次巡逻应记为多少千米；
（3）巡岗员甲从出发到第五次巡逻结束用时多长；
（4）巡逻过程中配置无线对讲机，并一直与留守在岗亭A的乙通话，若无线对讲机只能在2千米范围内正常使用，直接写出甲巡逻过程中，甲与乙可以正常通话的时间有多少小时．
【考点】一元一次方程的应用；正数和负数；数轴．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】（1）巡岗员甲得位置在岗亭的西边2km处；
（2）2；
（3）0.9（小时）；
（4）0.7小时．
【分析】（1）把前面4次记录相加，根据和的情况判断第4次结束时小张的位置即可；
（2）根据（1）的结论即可得到结果；
（3）①求出所有记录的绝对值的和，再除以20计算即可得解
（4）求出距离的和，再除以20计算即可得解．
【解答】解：（1）依题意，4﹣5+3﹣4＝﹣2km
∴巡岗员甲得位置在岗亭的西边2km处，
（2）解：依题意，﹣2+2＝0
∴第五次巡逻应记为2km；
（3）|4|+|﹣5|+|3|+|﹣4|+|2|＝18（km），
18÷20＝0.9（小时）；
（4）解：依题意，在2千米范围内的路程为2+3+3+4+2＝14，
14÷20＝0.7（小时），
答：他与小李可以正常通话的时间有0.7小时．
【点评】本题考查了正数和负数，有理数的加法与除法的实际应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
考点卡片
1．正数和负数
1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号．
2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
2．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
3．非负数的性质：绝对值
在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
4．非负数的性质：偶次方
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
5．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
6．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
7．由实际问题抽象出一元一次方程
审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程．
（1）“总量＝各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分的量和总量，然后利用它们之间的等量关系列方程．
（2）“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基本方法．通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示，进而列出方程．
8．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率=利润进价×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．3
x
4
11
项目
时长费
里程费
远途费
单价
0.5元/分钟
1.6元/千米
0.4元/千米
级数
工资范围
个人税率
1
不超过5000元
0
2
超过5000元至不超过8000元的部分
3%
3
超过8000元至不超过17000元的部分
10%
…
…
…
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
4
﹣5
3
﹣4
3
x
4
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项目
时长费
里程费
远途费
单价
0.5元/分钟
1.6元/千米
0.4元/千米
级数
工资范围
个人税率
1
不超过5000元
0
2
超过5000元至不超过8000元的部分
3%
3
超过8000元至不超过17000元的部分
10%
…
…
…
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
4
﹣5
3
﹣4