江苏省苏州市南环实验中学校2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题（解析版）-A4

这是一份江苏省苏州市南环实验中学校2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题（解析版）-A4，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知⊙O的半径为4，，则点A在（ ）
A. ⊙O内B. ⊙O上C. ⊙O外D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据⊙O的半径r=4，且点A到圆心O的距离d=5知d>r，据此可得答案．
【详解】解：∵⊙O的半径r=4，且点A到圆心O的距离d=5，
∴d>r，
∴点A在⊙O外，
故选：C．
【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d=r；③点P在圆内⇔d＜r．
2. 下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（ ）
A. y＝（x+1）2﹣x2B. y＝ax2+bx+c
C. y＝3x2﹣1D. y＝3x﹣1
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数定义逐项分析即可，二次函数的定义和概念 一般地，把形如（）（是常数）的函数叫做二次函数，其中称为二次项系数，为一次项系数，为常数项．
【详解】A. y＝（x+1）2﹣x2，不是二次函数，故该选项不正确，不符合题意；
B. y＝ax2+bx+c（），故该选项不正确，不符合题意；
C. y＝3x2﹣1，是二次函数，故该选项正确，符合题意；
D. y＝3x﹣1，一次函数，故该选项不正确，不符合题意；
故选C
【点睛】本题考查了二次函数的定义，理解二次函数的定义是解题的关键．
3. 如图，在△ABC中，两条中线BE、CD相交于点O，则S△DOE：S△COB＝（ ）

A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】因为BE、CD是△ABC中的两条中线，可知DE是△ABC的中位线，于是DE∥BC，得出△DOE∽△COB，再根据相似比即可求出面积比．
【详解】解：∵BE、CD是△ABC中的两条中线，
∴DE是△ABC的中位线，
于是DE∥BC，
∴ ，△DOE∽△COB，
∴ ，
故选：D．
【点睛】此题考查相似三角形的性质和判定，三角形的中位线的应用，解题关键在于掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
4. 某商店6月份的利润是4800元，8月份的利润达到6500元．设平均每月利润增长的百分率为x，可列方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设平均每月利润增长的百分率为，根据6月份的利润是4800元，8月份的利润达到6500元，列出方程即可．
【详解】解：设平均每月利润增长的百分率为，根据题意可列方程为：
故选B．
5. A（-2，y1），B （1，y2），C （2，y3）是抛物线上三点，y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A. y1＞y3＞y2B. y3＞y1＞y2C. y1＞y2＞y3D. y3＞y2＞y1
【答案】C
【解析】
【详解】试题解析：∵抛物线y=-2（x+1）2+k（k为常数）的开口向下，对称轴为直线x=-1，
而A（-2，y1）离直线x=-1的距离最近，C（2，y3）点离直线x=-1最远，
∴y1＞y2＞y3．
故选C．
6. 如图，为的直径，点D是弧的中点，过点D作于点E，延长交于点F，若．则的直径长为（ ）
A. 15B. 13C. 10D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】连接，首先证明，设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】解：如图，连接．
，
，，
点是弧的中点，
，
，
，
，设，
在中，则有，
解得，
，
故答案是：A．
【点睛】本题考查勾股定理，垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
7. 如图所示，是的直径，弦交于点E，连接，若，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】如图所示，连接，先由同弧所对的圆周角相等得到，再由直径所对的圆周角是直角得到，则．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，正确求出的度数是解题的关键．
8. 如图，菱形的边，面积为，，与边，都相切，，则的半径长等于（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】作于H，连接，延长交于点E，利用菱形性质求出的长，根据勾股定理求出，的长，再根据等腰三角形三线合一求出，再证明，利用，求出结果即可．
【详解】解：如图，作于H，连接，延长交于点E，

菱形的边，面积为，
，
，
在中，，
，
在中，，
设于相切于点，连接，
， 平分，
，
，，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，切线性质，等腰三角形性质，勾股定理，根据菱形性质求解，正确作出辅助线建立直角三角形是解题关键．
二、填空题
9. 若圆锥的底面圆半径为2，母线长为5，则该圆锥的侧面积是______．（结果保留）
【答案】
【解析】
【分析】根据圆锥的底面圆半径为2，母线长为5，直接利用圆锥的侧面积公式求出即可．
【详解】根据圆锥的侧面积公式：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆锥侧面面积的计算，熟练记忆圆锥的侧面积公式是解决问题的关键．
10. 如图，，点O在边AB上，与边AC相切于点D，交边AB于点E，F，连接FD，则等于______．
【答案】##27度
【解析】
【分析】连接，由与边相切于点，得，从而可求出，即可得．
【详解】解：连接，如图：
与边相切于点，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查求圆中的角，涉及圆的切线的性质及应用，解题的关键是掌握切线的性质，求出．
11. 已知抛物线y=x2－8x＋c顶点在x轴上，则c=_______.
【答案】16
【解析】
【分析】顶点在x轴上，所以顶点的纵坐标是0．据此作答．
【详解】根据题意，该抛物线与x轴只有一个交点，得Δ=64-4c=0，
解得c=16.
【点睛】待定系数法求二次函数解析式 ,熟练掌握待定系数法是解题的关键.
12. 如图，四边形内接于，是的直径，过C点的切线与的延长线交于P点．若，则的度数为 _________．
【答案】##115度
【解析】
【分析】根据过C点的切线与的延长线交于P点，，连接点C和圆心O，可以求得和的度数，又根据圆内接四边形对角互补，可以求得的度数，本题得以解决．本题考查切线的性质、圆内接四边形对角互补，解题的关键是连接圆心和切点，构造直角三角形，求出四边形的一个角，找出所求问题需要的条件．
【详解】解：连接，如图所示，
由题意可得，，
，
，
，
∵四边形是圆内接四边形，
，
，
故答案为：．
13. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD．则∠CBD的度数是______________
【答案】30°．
【解析】
【分析】求出∠BCD，利用等腰三角形的性质求解即可．
【详解】在正六边形ABCDEF中，∠BCD=120°，
∵CB=CD，
∴∠CBD=∠CDB=（180°-120°）=30°，
故答案为 30°．
【点睛】本题考查正多边形与圆，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是判断出△BCD是等腰三角形，属于中考常考题型．
14. 如图，矩形ABCD中，AB=1，AD=．以A为圆心，AD的长为半径作弧交BC边于点E，则图中的弧长是_______.
【答案】π
【解析】
【分析】根据题意可得AD=AE=，则可以求出sin∠AEB，可以判断出∠AEB=45°，进一步求解∠DAE=∠AEB=45°，代入弧长计算公式可得出弧DE的长度．
【详解】解：∵以AD为半径画弧交BC边于点E，AD=
∴AD=AE=，
又∵AB=1，
∴
∴∠AEB=45°，
∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC
∴∠DAE=∠AEB=45°，
故可得弧DC的长度为==π，
故答案为：π．
【点睛】此题考查了弧长的计算公式，解答本题的关键是求出∠DAE的度数，要求我们熟练掌握弧长的计算公式及解直角三角形的知识．
15. 如图所示的网格由边长为个单位长度的小正方形组成，点、、、在直角坐标系中的坐标分别为，，，则内心的坐标为______．

【答案】（2，3）
【解析】
【分析】根据A、B、C三点的坐标建立如图所示的坐标系，计算出△ABC各边的长度，易得该三角形是直角三角形，设BC的关系式为：y=kx+b，求出BC与x轴的交点G的坐标，证出点A与点G关于BD对称，射线BD是∠ABC的平分线，三角形的内心在BD上，设点M为三角形的内心，内切圆的半径为r，在BD上找一点M，过点M作ME⊥AB，过点M作MF⊥AC，且ME=MF=r，求出r的值，在△BEM中，利用勾股定理求出BM的值，即可得到点M的坐标．
【详解】解：根据A、B、C三点的坐标建立如图所示的坐标系，
根据题意可得：AB=，AC=，BC=，
∵，
∴∠BAC=90°，
设BC的关系式为：y=kx+b，
代入B，C，
可得，
解得：，
∴BC：，
当y=0时，x=3，即G（3,0），
∴点A与点G关于BD对称，射线BD是∠ABC的平分线，
设点M为三角形的内心，内切圆的半径为r，在BD上找一点M，过点M作ME⊥AB，过点M作MF⊥AC，且ME=MF=r，
∵∠BAC=90°，
∴四边形MEAF为正方形，
S△ABC=，
解得：，
即AE=EM=，
∴BE=，
∴BM=，
∵B（-3，3），
∴M（2，3），

故答案为：（2，3）．
【点睛】本题考查三角形内心、平面直角坐标系、一次函数的解析式、勾股定理和正方形的判定与性质等相关知识点，把握内心是三角形内接圆的圆心这个概念，灵活运用各种知识求解即可．
16. 如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CB，CA分别相交于点E，F，则线段EF长度的最小值是_____．

【答案】4.8
【解析】
【详解】设EF的中点为P，⊙P与AB的切点为D，
连接PD，连接CP，CD，
则有PD⊥AB；
由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形PC+PD=EF，
由三角形的三边关系知，PC+PD＞CD；
只有当点P在CD上时，PC+PD=EF有最小值为CD的长，
即当点P在直角三角形ABC的斜边AB的高CD上时，EF=CD有最小值，
由直角三角形的面积公式知，此时CD=BC·AC÷AB=4.8．
故答案为：4.8．

考点：切线的性质；垂线段最短；勾股定理的逆定理
三、解答题
17. 解方程：x（x-1）=2（x-1）
【答案】x1=1，x2=2
【解析】
【详解】试题分析：先移项得到x（x﹣1）﹣2（x﹣1）=0，再把方程左边分解得到（x﹣1）（x﹣2）=0，则方程转化为x﹣1=0，x﹣2=0，然后解一次方程即可．
试题解析：解：x（x﹣1）=2（x﹣1）．
x（x﹣1）﹣2（x﹣1）=0．
（x﹣1）（x﹣2）=0，∴x﹣1=0，x﹣2=0，∴x1=1，x2=2．
点睛：本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把一元二次方程化为一般式，然后把方程左边分解为两个一次式的积，从而可把一元二次方程化为两个一元一次方程，解两个一元一次方程，得到一元二次方程的解．
18. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】首先根据判别式判断方程实数根的个数，然后用求根公式求解即可．
【详解】由题意得：a=1，b=6，c=4
∴方程有两个不相等的实数根
∴原方程的解为，．
【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练记忆求根公式是本题关键．
19. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设方程两个实数根分别为，，且满足，求k的值．
【答案】（1）且；（2）．
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程根判别式和一元二次方程的定义求解即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系求解即可.
【详解】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴且，即且，
解得且；
（2）由根与系数的关系可得，，
由题意可得，即，
∴
解得或，
经检验可知：，都是原分式方程的解.
由（1）可知且
∴.
【点睛】本题主要考查了解分式方程，解一元二次方程，一元二次方程的定义，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
20. 二次函数
（1）求它的图象的顶点坐标．
（2）把已知函数的图象向右平移一个单位，再向下平移两个单位，求平移后的抛物线解析式及它与轴的交点坐标．
【答案】（1）
（2）平移后解析式为，与轴的交点坐标为，
【解析】
【分析】本题考查了二次函数一般式化为顶点式，二次函数图像的平移，抛物线与坐标轴的交点，关键是熟练掌握配方法的灵活运用，图形的平移与顶点的平移的关系．
（1）将抛物线解析式配方成顶点式，据此可得；
（2）根据“上加下减、左加右减”的平移规律解答可得抛物线解析式，再求出时x的值即可得．
【小问1详解】
解：，
抛物线的顶点坐标为；
【小问2详解】
根据题意平移后的解析式为，
平移后的解析式为，
当时，，
解得：，
平移后的抛物线解析式为它与轴的交点坐标为，．
21. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．
（1）求证:∠BCO＝∠D；
（2）若BE＝8cm，CD＝6cm，求⊙O的半径．
【答案】（1）见解析；
（2）⊙O的半径为 cm
【解析】
【分析】（1）由等腰三角形的性质与圆周角定理，易得∠BCO=∠B=∠D；
（2）由垂径定理可求得CE与DE的长，然后证得△BCE∽△DAE，再由相似三角形的对应边成比例，求得AE的长，继而求得直径与半径．
【小问1详解】
证明：∵OB=OC，
∴∠BCO=∠B，
∵∠B=∠D，
∴∠BCO=∠D；
【小问2详解】
解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE=DE=CD=×6=3，
∵∠B=∠D，∠BEC=∠DEA，
∴△BCE∽△DAE，
∴AE：CE=DE：BE，
∴AE：3=3：8，
解得：AE=，
∴AB=AE+BE==，
∴⊙O的半径为(cm)．
【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．证得△BCE∽△DAE是关键．
22. 如图，线段经过的圆心O，交于A、C两点，，为的弦，连接，，连接并延长交于点E，连接交于点M．
（1）求证：直线是的切线；
（2）求的半径的长；
（3）求线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，求出，求出，根据切线的判定推出即可；
（2）根据直角三角形的性质得到，于是得到结论；
（3）解直角三角形得到，，根据勾股定理得到，根据圆周角定理可证，根据即可得到结论．
【小问1详解】
证明：，，
，
，
，
是的半径，
直线是的切线；
【小问2详解】
由（1）可知，
在中，，
，
，
，
的半径的长1；
【小问3详解】
如图，连接，
，
，，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了相似三角形判定与性质，切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，切割线定理，正确的识别图形是解题的关键．
23. 抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于点C，已知点A的坐标为，P为抛物线第一象限上一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接，，若，求的面积；
（3）如图2，连接，，若，求点P的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）将点A的坐标代入抛物线的解析式，求出m的值即可；
（2）过点作，设点，若，则，可得关于m的方程，解方程可求出点P的坐标，根据三角形的面积公式可求出答案；
（3）先用锐角三角函数得出设出点P坐标，建立方程求出点P的坐标，即可得出点P的坐标．
【小问1详解】
解：抛物线与轴交于，
，解得：，
抛物线的解析式为；
【小问2详解】
抛物线的解析式为，
当时，或，
，，
如图，过点作，

设点，
，
，
，
，
，（舍去），
，
；
【小问3详解】
如图，过点P作轴于点F，作轴于点H，

，
，
，
，
，
设，
，
解得：（舍去），，
．