江苏省盐城市盐都区第一共同体 2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题（解析版）-A4

这是一份江苏省盐城市盐都区第一共同体 2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题（解析版）-A4，共24页。试卷主要包含了 下列方程是一元二次方程的是， 如图，是的外接圆，若，则等内容，欢迎下载使用。
时间：120分钟 分值：150分
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可．
【详解】解：A．是一元二次方程，故选项符合题意；
B．，当时，不是一元二次方程，故选项不符合题意；
C．含有两个未知数，不是一元二次方程，故选项不符合题意；
D．是分式方程，故选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题考查了一元二次方程，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
2. 下表记录了甲、乙、丙三名跳高运动员最近10次选拔赛成绩的平均数与方差：
根据表中数据，要从中选择一名发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 无法选择
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查方差，根据方差的意义求解即可．
【详解】解：由表格知，甲的方差最小，
所以要从中选择一名发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择甲，
故选：A．
3. 已知线段a、b、c、d是成比例线段，如果，，，那么d的值是（ ）
A. 8B. 6C. 4D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】利用成比例线段的定义得到，然后根据比例的性质求d的值．
【详解】解：根据题意得：，
即，
解得．
故选：B．
【点睛】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即），我们就说这四条线段是成比例线段．
4. 已知点P到圆心O的距离为5，若点P在圆内，则的半径可能为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】由点与圆的位置关系可知，的半径，进而可得出结果．
【详解】解：由点与圆的位置关系可知，的半径
故选D．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
5. 一个圆锥的底面半径为3，母线长为4，其侧面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆锥侧面积公式进行计算即可．圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．
【详解】解：圆锥的侧面积，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是熟练掌握圆锥的侧面积计算公式：圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．
6. 如图，是的外接圆，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理．熟练掌握圆周角定理，等边对等角是解题关键．
如图，连接，由圆周角定理可得，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
7. 如图，为的直径，C为上一点，平分，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了圆周角定理，连接，根据圆周角定理得出，，根据直角三角形的性质求出，根据角平分线的定义求解即可．
【详解】解：如图，连接，
∵为的直径，
∴，
，
，
，
∵平分，
，
故选：D．
8. 二次函数的图像如图所示，点在轴的正半轴上，且，下列选项中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据开口方向，即可判断A；根据与y轴的交点，即可判断B；把代入，即可判断C；根据对称轴的位置，即可判断D．
【详解】解：A、∵函数图象开口向下，∴，故A不正确，不符合题意；
B、∵函数图象与y轴交于正半轴，∴，故B不正确，不符合题意；
C、把代入得，∵，∴当时，，∴，故C不正确，不符合题意；
D、∵函数对称轴在y轴左侧，，∴，故D正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键熟练掌握二次函数的图象和性质，会根据函数的开口，对称轴，与坐标轴的交点判断各个系数的符号．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
9. 在比例尺是的地图上，两地之间图上距离为，则两地的实际距离为__．
【答案】9
【解析】
【分析】本题主要考查比例的应用，首先设相距的两地实际距离为，根据题意可得方程，解此方程即可求得答案．
【详解】解：设相距的两地实际距离为，根据题意得：
，
解得：，
，
∴两地的实际距离为9千米．
故答案为：9．
10. 任意抛掷一枚均匀的骰子，朝上面的数字为偶数的概率为 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】利用概率公式进行计算即可．本题考查概率．熟练掌握等可能事件的概率公式是解题的关键．
【详解】解：根据题意可得：掷一次骰子，向上一面的点数有6种情况，其中向上一面的点数为偶数的情况有3种，
故朝上面的数字为偶数的概率为．
故选：．
11. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 _______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系. ，掌握以上公式是解题的关键．
根据一元二次方程根与系数的关系进行计算即可．
【详解】解：，
∵和是一元二次方程的两个实数根，
∴，
故答案为：．
12. 如图，在正六边形中，点P是上任意一点，连接，，则与正六边形的面积之比为_____．

【答案】##
【解析】
【分析】本题考查正多边形与圆，三角形的面积，等边三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
设正多边形的中心为O，如图，连接，，，根据，得到，根据得到，而，求出比值即可．
【详解】解：设正多边形的中心为O，如图，连接，，，

，
，
，
，
，
与正六边形的面积之比为．
故答案为：．
13. 已知点P是线段的黄金分割点，．若，则__________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了黄金分割，公式法解一元二次方程．熟练掌握黄金分割，公式法解一元二次方程是解题的关键．
由题意知，，即，整理得，，利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】解：由题意知，，即，整理得，，
，
∴，
解得或（舍去），
故答案为：．
14. 若抛物线与轴有公共点，则的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据抛物线与轴有公共点，可知，从而可以求得的取值范围．
【详解】解：抛物线与轴有公共点，
，
解得，，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
15. 如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了根据交点确定不等式的解集．熟练掌握数形结合法求不等式的解集是解题的关键．
根据不等式的解集为二次函数图象在一次函数图象上方所对应的的取值范围，结合图象作答即可．
【详解】解：由题意知，不等式的解集为二次函数图象在一次函数图象上方所对应的的取值范围，
由图象可知，不等式的解集为，
故答案为：．
16. 如图，在中，．将边绕点B顺时针旋转得线段，再将边绕点C顺时针旋转得线段，连接，则图中阴影部分的面积是 ___________．
【答案】##
【解析】
【分析】如图，作于，由勾股定理得，，由旋转的性质可得，，，证明，则，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，作于，
由勾股定理得，，
由旋转的性质可得，，，
∴，，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，扇形的面积等知识．正确的表示阴影部分的面积是解题的关键．
三．解答题（共11小题，满分102分）
17. 解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程的能力．
（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用公式法求解即可．
【小问1详解】
解：，
∴，
∴或，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
18. 已知抛物线．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）将该抛物线向右平移个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求m的值．
【答案】（1）
（2）3
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的平移：
（1）将抛物线写成顶点式，根据抛物线平移规律写出新抛物线解析式，即可求解；
（2）求出原抛物线与x轴的交点为，再根据平移的性质可得，即可求解．
【小问1详解】
解：根据题意得：，
所以抛物线的顶点坐标为．
【小问2详解】
解：令得，，
解得．
所以原抛物线与x轴的交点为，
又因为将该抛物线向右平移个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，
所以，
解得．
故m的值为3．
19. 如图，点P是内一定点．
（1）过点P作弦，使点P是的中点（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若的半径为10，，
①求过点P的弦的长度m范围；
②过点P的弦中，长度为整数的弦有 条．
【答案】（1）见解析 （2）①；②8
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理以及作图；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
（1）连接并延长，过点P作即可；
（2）①过点P的所有弦中，直径最长为20，与垂直的弦最短，由垂径定理和勾股定理求出，即可得出答案；②过P点最长的弦为直径20，最短的弦16，长度为17、18、19的弦有2条，即可得出结论．
【小问1详解】
解：如图1，连接并延长，过点P作，则弦即为所求；
【小问2详解】
解：①过点P的所有弦中，直径最长为20，与垂直的弦最短，
连接，如图2所示：
，
，
，
∴过点P的弦的长度m范围为；
②∵过P点最长的弦为直径20，最短的弦16，
∴长度为17、18、19的弦各有两条，
∴过点P的弦中，长度为整数的弦共有8条，
故答案为：8．
20. 如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点、、，请在网格图中进行如下操作：
（1）若该圆弧所在圆的圆心为D点，则D点坐标为 ；
（2）连接、，，则的半径长为 ；的度数为 °；的弧长为 ．
【答案】（1）
（2）2；90；
【解析】
【分析】（1）根据垂径定理推论，作两条弦的垂直平分线得出点位置，结合图形得到点的坐标；
（2）利用点的坐标结合勾股定理得出的半径长，根据勾股定理的逆定理的度数；
【小问1详解】
解：分别作、的垂直平分线，两直线交于点，
则点即为该圆弧所在圆的圆心，
由图形可知，点的坐标为，
【小问2详解】
解：连接，如图，
∵，，
∴，
即的半径长为，
，
，
，
则，
，
∴的弧长．
【点睛】本题考查的是垂径定理的推论、勾股定理及其逆定理，弧长公式，点的坐标，根据垂径定理的推论确定出点D的位置是解题的关键．
21. 车辆经过润扬大桥收费站时，3个收费通道A、B、C中，可随机选择一个通过．
（1）一辆车经过此收费站时，选择A通道通过的概率是 ；
（2）用画树状图或列表法求两辆车经过此收费站时，选择不同通道通过的概率．
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】（1）根据概率公式直接求解即可；
（2）画出树状图即可得到结论．
【详解】（1）选择A通道通过的概率，
（2）设两辆车分别为甲，乙，树状图如下：
两辆车经过此收费站时，会有9种等可能的结果，其中选择不同通道通过的有6种结果，
∴选择不同通道通过的概率．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法，概率公式，正确的画出树状图是解题的关键．
22. 某中学举行“创文”知识竞赛，要求每个班参加竞赛的人数都相同．成绩分别为 A、B、C、D四个等级，四个等级对应的分数依次为100分、90分、80分、70分，现将八年级一班和二班的成绩进行整理并绘制出如下的统计图．请根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）设二班成绩为B等级的学生人数占本班比赛人数的，则 ；
（2）求一班参加竞赛学生成绩的平均分；
（3）求二班参加竞赛学生成绩众数和中位数．
【答案】（1）10 （2）分
（3）众数是100分，中位数是80分
【解析】
【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，中位数、众数、平均数：熟记基本概念是解本题的关键．
（1）根据频率之和为1，即可求出B等级的所占的百分比，进而确定m的值；
（2）根据平均数的计算方法进行计算即可；
（3）根据中位数、众数的意义求出结果即可．
【小问1详解】
解：，即，
故答案为：10；
【小问2详解】
一班平均数为：，
答：一班学生竞赛成绩的平均数为分；
【小问3详解】
由题意可知，二班参加竞赛同学的成绩，
得100分有：（人），
得90分的有：（人），
得80分的有：（人），
得70分的有：（人），
因此出现次数最多的是100分，共有7人，
将这20名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数都是80分，因此中位数是80分，
所以这20名学生计算成绩的众数是100，中位数是80．
23. 如图，在中，，是的平分线，O是上一点，以为半径的经过点D，交于点E．

（1）求证：是的切线；
（2）若，求长．
【答案】（1）见解析 （2）8
【解析】
【分析】（1）由等边对等角，角平分线可证，则，进而结论得证；
（2）设的半径为，则，，，由勾股定理得，，即，计算求解，然后作答即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：设的半径为，则，，，
由勾股定理得，，即，
解得，，
∴，
∴的长为8．
【点睛】本题考查了等边对等角，角平分线，平行线的判定与性质，切线的判定，勾股定理等知识．熟练掌握等边对等角，角平分线，平行线的判定与性质，切线的判定，勾股定理是解题的关键．
24. 定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，，因为，，所以一元二次方程为“限根方程”．
请阅读以上材料，回答下列问题：
（1）判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由；
（2）若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且方程的两根、满足，求k的值．
【答案】（1）此方程为“限根方程”，理由见解析
（2）5
【解析】
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，一元二次方程的根与系数的关系．理解题意，熟练掌握因式分解法解一元二次方程，一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．
（1）因式分解法解一元二次方程得，根据定义，求解作答即可；
（2）由，可得，，代入，整理得，，解得，或，分当时，当时，两种情况求解，然后判断作答即可．
【小问1详解】
解：此方程“限根方程”，理由如下：∵，
∴，
解得，，
∵，
∴方程为“限根方程”；
【小问2详解】
解：∵，
∴，，
∵，
∴，即，整理得，，
∴，
解得，或，
①当时，，
解得，，
∵，
∴符合题意；
②当时，，
解得，，
∵，
∴不符合题意，舍去；
∴k的值为5．
25. 某商场销售一种销售成本为40元/件的童装，若按50元/件销售，一个月可售500件，销售单价每涨价1元，月销售量就减少10件．
（1）商场想使月销售利润达到8000元，求销售单价应定为多少元？
（2）求当销售单价定为多少元时会获得最大利润？最大利润是多少元？
（3）该商场决定某月每销售1件童装便向贫困地区捐款a元，该商场捐款当月销售单价不高于70元每件，月销售最大利润为8100元，求a的值
【答案】（1）60元或80元
（2）当销售单价定为70元时会获得最大利润，最大利润是9000元
（3）3
【解析】
【分析】（1）设销售单价x元/件，根据销售利润每件的利润数量列方程解题即可；
（2）根据月销售利润每件的利润数量就可以表示出月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/千克）之间的函数解析式，然后配成顶点式求出最大值；
（3）先列出函数关系式确定对称轴，则时，，根据题意列出方程解题即可．
【小问1详解】
设销售单价x元/件，
由题意，得，
解得：，．
答：销售单价应定为60元或80元．
【小问2详解】
设月销售利润y元与销售单价x元/件
．
，
∵，
∴当时，y有最大值，最大值为9000，
∴当销售单价定为70元时会获得最大利润，最大利润是9000元；
【小问3详解】
．
∵，，
∴时，，
,
解得．
26. 综合与实践
【问题情境】如图，矩形中，，M、N分别是边上的点，将沿着翻折，点A的对应点是．
【初步尝试】若N与D重合，M是的中点，则 ；
【问题解决】若，的外接圆与线段有公共点，求的取值范围；
【深入探究】若落在内部，以为圆心，r为半径的同时与相切，则r的取值范围是______．
【答案】（1）3；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）由折叠的性质即可得出结果；
（2）当的外接圆与线段相交，且点N与D重合时，此时最大，当的外接圆与线段相切时，此时最小，利用勾股定理构建方程求解即可；
（3）根据题意得：当N与D重合时r最大，由重叠得：，则 ，r的最大值为；当M 与B重合时，n最小，则，利用勾股定理构建方程求解即可．
【详解】解：（1）如图，

由折叠的性质得：，
，
，
故答案为：3；
（2）解：如图，
当的外接圆与线段相交，且点N与D重合时，
此时最大，即，
当的外接圆与线段相切时，
设半径为r，则，则，
∴，
解得：，
，
，
则的范围为 ；
（3）解：由题意得点在的角平分线上，
当N与D重合时r最大，
由重叠得：，则 ，
∴r的最大值为；
当M 与B重合时n最小，如图所示，
，
中，，
=（舍）， ，
故答案为：．
【点睛】本题考查坐标与图形，折叠的性质，矩形的性质和三角形的外接圆，勾股定理，是一道综合题．熟练掌握相关知识点，根据题意，正确的画出图形，是解题的关键．
27. 如图1，抛物线（）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线上的动点，当A、C两点到直线的距离相等时，求直线的解析式；
（3）已知点D、F在抛物线上，点D横坐标为m ，点F的横坐标为．过点D作x轴的垂线交直线于点M，过点F作x轴的垂线交直线于点N．
①如图2，连接，求四边形面积的最大值及此时点D的坐标；
②如图3连接和，试探究与的面积之和是否为定值吗？若是，请求出来；若不是，请说明理由．
【答案】（1）
（2）或
（3）①最大为2，点D坐标为；②是，2
【解析】
【分析】（1）由题意知，，将，代入，计算求解的值，进而可得解析式；
（2）由题意知，当时，当过中点时，A、C两点到直线的距离相等，①当时，，待定系数法求直线的解析式为，则直线的解析式为，待定系数法求解即可；②当过中点时，由题意知，中点坐标为，设直线的解析式为，待定系数法求解即可；
（3）①由题意知，，，，，则，，则，根据二次函数的性质求最值，然后求点坐标即可；②由题意知 ，，然后作答即可．
【小问1详解】
解：由题意知，，
∴，
将，代入得，，
解得，，
∴；
【小问2详解】
解：由题意知，当时，当过中点时，A、C两点到直线的距离相等，
①当时，
当时，，
解得，或，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，
将代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为；
②当过中点时，
由题意知，中点坐标为，
设直线的解析式为，
将，代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
综上所述，直线的解析式为或；
【小问3详解】
①解：由题意知，，，，，
∴，，
∴，
∵，
∴当时，四边形的面积最大，最大值为2，
∴；
②解：由题意知 ，
，
∴与的面积之和是定值，且定值为2．
甲
乙
丙
平均数（）
186
186
186
方差