辽宁省鞍山市立山区+2024-2025学年上学期九年级数学期中质量监测试卷（原卷版）-A4

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这是一份辽宁省鞍山市立山区+2024-2025学年上学期九年级数学期中质量监测试卷（原卷版）-A4，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（）
A. B.
C. D.
2. 关于二次函数，下列说法正确的是（）
A. 函数图象开口向下B. 函数图象的顶点坐标是
C. 该函数有最大值，最大值是5D. 当时，y随x的增大而增大
3. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）
A. B. C. D.
4. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（）
A. 1B. C. 1或D.
5. 如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的是（）
A. B. C. D.
6. 如图，某小区规划在一个长，宽的矩形场地（，）上，修建同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．若草坪总面积为，设小路宽为，那么满足的方程是（）
A. B.
C. D.
7. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点B的对应点的坐标是（）
A. B. C. 或D. 或
8. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（）
A. B. C. D.
9. 如图，正方形绕着点逆时针旋转得到正方形，连接，则的度数是（）
A. B. C. D.
10. 如图，是等边三角形，点E，F在上，点H，G在上，，，的面积为，则四边形的面积为（）
A. B. C. D.
第二部分非选择题（共90分）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 如图，在△ABC中，AB=4，BC=7，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为__________．
12. 若是一元二次方程的两个实数根，则________
13. 如图，中，点在上，，，，则_____．
14. 如图，某学习小组在研究函数的图象与性质时，列表、描点画出了图象．结合图象，可以“看出”方程的近似负整数解为_____．
15. 在中，，，是边上的一点，是边上的一点，若与相似且相似比为1：2，则的长为_____．
三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16. 解方程：
（1）；
（2）．
17. 建设美丽城市，改造老旧小区．某市2020年投入资金1000万元，2022年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率．
18. 如图，在中，在斜边上，过点作，交的延长线于点，交于点．求证：．

19. 如图，二次函数的图象与轴交于点A0,3，且经过点．
（1）求此二次函数的表达式，并求出顶点坐标；
（2）若将该二次函数图象先向右平移个单位、再向下平移个单位，平移后的抛物线仍然经过点，求的值．
20. 如图，P是矩形下方一点，将绕P点顺时针旋转后恰好D点与A点重合，得到，连接，求证：是等边三角形．
21. 如图，小艺同学为了测量学校旗杆的高度，在离点10米的处水平放置一个平面镜，小艺沿射线方向后退到点时，正好从镜子中看到旗杆顶端点，若米，小艺的眼睛离地面的高度米，请你帮助小艺计算一下旗杆的高度．
22. 在中，，，将绕点顺时针旋转至，过点作于点，过点作，交的延长线于点．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，的平分线交的延长线于点，连接，猜想和的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点作于点，将沿折叠，在变化的过程中，当点恰好与点重合时，连接．
①求证：点是的中点；
②若，求面积．
23. 已知是自变量函数，当时，称函数为函数的“平衡函数”．在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点“关于的平衡点”，点在函数的“平衡函数”的图象上．例如：函数，当时，则函数是函数的“平衡函数”．在平面直角坐标系中，函数的图象上任意一点，点为点“关于的平衡点”，点在函数的“平衡函数”的图象上．
（1）求函数的“平衡函数”的函数表达式；
（2）如图，点在函数的图象上，点“关于的平衡点”在点的下方，当时，求点的坐标；
（3）点在函数的图象上，点“关于的平衡点”为点，设点的横坐标为．
①若点与点重合，求的值；
②若点在轴的右侧，且点与点不重合时，设三角形的面积为，求关于的函数表达式；
③在②的条件下，当直线与函数的图象的交点有个时，从左到右依次记为，当为的中点时，请直接写出的值．