云南省昭通市威信县2024-2025学年上学期九年级期中考试数学 试卷（解析版）-A4

这是一份云南省昭通市威信县2024-2025学年上学期九年级期中考试数学 试卷（解析版）-A4，共21页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（全卷共三个大题，27个小题，共6页；满分100分，考试用时120分钟）
一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确答案，每小题2分，满分30分）
1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形，正确记忆“如果一个图形绕着某一点旋转后，能够与原图形完全重合，那么这个图形就是中心对称图形”是解题关键．根据中心对称图形的概念和各个图形的特点即可求解．
【详解】解：A、选项中的图案符合中心对称图形的概念；
B、选项中的图案不符合中心对称图形的概念；
C、选项中的图案不符合中心对称图形的概念；
D、选项中的图案不符合中心对称图形的概念；
故选：A．
2. 下列函数关系式中是二次函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义．根据二次函数的定义，可得答案．
【详解】解：A. 分母含有自变量，不是二次函数，故此选项不符合题意．
B. 当时，不是二次函数，故此选项不符合题意；
C. 最高次数是3，不是二次函数，故此选项不符合题意；
D. 二次函数，故此选项符合题意．
故选：D．
3. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点N的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，根据“平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．
【详解】在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点N的坐标是．
故选：B．
4. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出结论．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴Δ=[（2k-1）]2-4（k2-2）=-4k+9≥0，
解得：．
故选：A．
【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，熟练掌握“当一元二次方程有实数根时，根的判别式△≥0”是解题的关键．
5. 函数y＝ax＋1与y＝ax2＋bx＋1（a≠0）的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】假设其中一个图象正确，然后根据图象得到系数的取值范围，然后根据系数的取值范围确定另一个图象的位置，看是否和图象相符即可求解．
【详解】解：A、根据一次函数图象知道a＜0，与y轴的交点不是（0，1），故选项错误；
B、根据二次函数的图象知道a＜0，同时与y轴的交点是（0，1），但是根据一次函数的图象知道a＞0，故选项错误；
C、根据图象知道两个函数图象与y轴的交点坐标为（0，1），同时也知道a＞0，故选项正确；
D、根据一次函数图象知道a＜0，根据二次函数的图象知道a＞0，故选项错误．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次函数的图象、一次函数的图象与系数的关系，首先根据一次函数的图象得到系数的取值范围，然后利用系数的取值范围确定函数图象的大致位置即可求解．
6. 关于抛物线，下列说法不正确的是（ ）
A. 开口向上B. 当时，y取最大值
C. 抛物线与y轴交于点D. 抛物线与x轴有1个交点
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象和性质，根据二次函数的性质逐项判断即可．
【详解】解：对于抛物线，
∵，
∴抛物线的开口向上，选项A正确，不符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线，且开口向上，
∴当时，y取最小值，选项B错误，符合题意；
∵当时，，
∴抛物线与y轴交于点，选项C正确，不符合题意；
当时，得到方程，
∵，
∴抛物线与x轴有一个交点，故选项D正确，符合题意，
故选：B．
7. 二次函数的最小值为（ ）
A. 2B. 3C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数的最值．把二次函数的解析式化为顶点式的形式，进而可得出结论．
【详解】二次函数可化：，且开口向上，
二次函数的最小值为．
故选：C．
8. 某镇2021年投入教育经费3600万元，为了发展教育事业，该镇每年教育经费的年增长率均为，现决定2023年投入6000万元．则下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的运用，掌握“一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）成为解题的关键．
根据“一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）”再结合题中数据列出方程即可．
【详解】解：设教育经费的年平均增长率为x,
则2022的教育经费为：万元，
2023的教育经费为：万元，
那么可得方程：．
故选：C．
9. 将二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得图象的函数解析式为，则b、c的值为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】主要考查了二次函数图象的平移，抛物线平移不改变二次项的系数的值；讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可．
先求出新抛物线的顶点，根据平移转换可得原抛物线顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得原抛物线的解析式，展开即可得到b，c的值．
【详解】解：∵，
∴新抛物线的顶点为，
∵二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得图象的函数解析式为，
∴原抛物线的顶点为，
设原抛物线的解析式为，
代入得：，
∴，．
故选：C．
10. 已知抛物线与x轴交于，两点，则线段的长度为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了抛物线与x轴的交点，解题的关键是根据抛物线的对称轴求出点A的坐标；
先求出抛物线的对称轴，再根据，两点，关于直线对称，求出A点的坐标，即可得出答案．
【详解】解：的对称轴为，
，关于直线对称
∴A点的坐标是，
线段的长度；
故选：D．
11. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若且于点，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由旋转的性质可得∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°，由直角三角形的性质可得∠DAC=20°，即可求解．
【详解】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转55°得△ADE，
∴∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°，
∵AD⊥BC，
∴∠DAC=20°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=75°．
故选C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
12. 直线和抛物线都经过点，，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数与二次函数交点解不等式，掌握一次函数、二次函数图象和性质是解题的关键．
根据题意作图，图形结合分析即可求解．
【详解】解：如图，
∴根据图象可知，不等式的解集为或；
故选：D．
13. 如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么A（﹣2，5）的对应点A′的坐标是（ ）

A. （2，5）B. （5，2）C. （2，﹣5）D. （5，﹣2）
【答案】B
【解析】
【分析】由线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′可以得出△ABO≌△A′B′O′，∠AOA′=90°，作AC⊥y轴于C，A′C′⊥x轴于C′，就可以得出△ACO≌△A′C′O，就可以得出AC=A′C′，CO=C′O，由A的坐标就可以求出结论．
【详解】∵线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，
∴△ABO≌△A′B′O′,∠AOA′=90°，
∴AO=A′O
作AC⊥y轴于C,A′C′⊥x轴于C′，

∴∠ACO=∠A′C′O=90°.
∵∠COC′=90°，
∴∠AOA′−∠COA′=∠COC′−∠COA′，
∴∠AOC=∠A′OC′.
在△ACO和△A′C′O中，
，
∴△ACO≌△A′C′O(AAS)，
∴AC=A′C′,CO=C′O.
∵A(−2,5)，
∴AC=2，CO=5，
∴A′C′=2,OC′=5，
∴A′(5,2)
故选B
【点睛】本题考查了旋转的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等式的性质的运用，点的坐标的运用，解答时证明三角形全等是关键．
14. 将函数的图象向右平移1个单位，平移后的图象过点，，，则、、的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数的平移，二次函数的图像和性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
确定抛物线平移后的函数解析式，根据二次函数的性质：抛物线开口向上时，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，进行判断即可．
【详解】解：将函数的图象向右平移1个单位得到，
∴对称轴为直线，
∵，
∴抛物线开口向上，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵，，
∵离对称轴最远，离对称轴最近，
∴，
故选：B．
15. 二次函数的图象如图，对称轴是直线．有以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ）个．
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查的是二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质与各项系数的关系是解决此题的关键．
根据抛物线的开口方向、与y轴的交点和对称轴即可求出a、b、c的符号，从而判断①；然后根据抛物线与x轴的交点个数即可判断②；根据抛物线对称轴公式即可判断③；根据当时，，代入即可判断④；利用抛物线的对称性可得当时，，然后代入即可判断⑤；
【详解】解：由图象可知：；对称轴是直线，
根据对称轴在y轴左侧，a、b同号，可得，
∴，
故①正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，即方程有两个不相等的实数根，
∴
∴；
故②正确；
对称轴是直线，
∴，
∴，
∴；
故③正确；
当时，，即，
故④错误；
由图象可得：当时，，即，
故⑤错误．
综上，正确的有①②③．
故答案为：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，满分8分〉
16. 若方程是关于x的一元二次方程，则______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程的定义：未知数的最高次数是二次的整式方程，且二次项系数不得为0，根据一元二次方程的定义得到且，求得m的值即可．
【详解】解：根据一元二次方程的定义，得且，
解得，
故答案为：
17. 一元二次方程有一根为4，则的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】将代入原方程求解．
【详解】解：把代入得，解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题关键是掌握使等式左右两边相等的未知数的值是方程的解．
18. 抛物线y=x2+2x+1的顶点坐标是_____．
【答案】（-1，0）．
【解析】
【详解】解：在 ∵y=x2+2x+1=（x+1）2
故顶点坐标是（-1，0）．
故答案为：（-1，0）．
【点睛】本题考查二次函数的性质．
19. 已知方程的两个根为和5，则抛物线的对称轴为直线________．
【答案】
【解析】
【分析】本题要求熟悉二次函数与一元二次方程的关系．根据函数的图象与x轴的交点的横坐标就是方程的根，从而可得答案．
【详解】解：函数的图象与x轴的交点的横坐标就是方程的根，
∵方程的两个根为和5，
∴的图象与x轴的交点的横坐标为和5，
则对称轴为直线，
故答案：．
三、解答题（本大题共8小题，满分62分）
20. 解方程：
（1）
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】此题考查了解一元二次方程．
（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【小问1详解】
解：
∴
则或，
解得，
【小问2详解】
∴，
则
∴或，
解得，
21. 如图，D是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，图形的旋转，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据等边三角形的性质，可得，再由旋转的性质，可得，从而得到，即可证明，即可得到结论．
【详解】证明：∵是等边三角形，
，
∵将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，
∴，
，
，
在和中，
，
．
∴．
22. 如图，三个顶点的坐标分别为，，，
（1）请画出绕A点逆时针旋转90度得到的图形；
（2）请写出关于原点O成中心对称的图形三个点的坐标；
（3）在x轴上求一点P，使的值最小．
【答案】（1）见解析 （2），，
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查作图−旋转变换、轴对称−最短路线问题、中心对称，熟练掌握旋转、轴对称和中心对称的性质是解答本题的关键．
（1）根据旋转的性质作图即可．
（2）根据中心对称的性质可得出答案．
（3）作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接AP，此时的值最小．
【小问1详解】
如图，即为所求．
【小问2详解】
∵与关于原点O成中心对称，，，，
∴，，；
【小问3详解】
如图，点P即为所求．
23. 已知关于x的方程．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有实数根；
（2）设该方程的两个根分别是、，若，求m的值．
【答案】（1）见解析 （2）2
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的根与系数的关系．
（1）根据判别式，即可得到结果；
（2）由根与系数的关系及，可得关于m的方程，解方程可求m的值．
【小问1详解】
证明：∵
，
∴方程总有实数根；
【小问2详解】
解：依题意有，
∵，
∴，
解得．
故m的值为2．
24. 春节贴春联是中国的传统习俗，在春节来临前，某超市购进一种春联，每副春联的进价是20元，并且规定每副春联的售价不少于25元，不超过33元．根据以往的销售经验发现，当每副春联的售价定为25元时，日销售量为250副，每副春联的售价每提高1元，日销售量减少10副．
（1）当每副春联的售价定为多少元时，日销售利润为2000元？
（2）当每副春联的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）当每副春联的售价定为30元时，日销售利润为2000元，
（2）当每副春联的售价定为33元时，日销售利润最大，最大利润是2210元
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用：
（1）设当每副春联的售价定为x元时，日销售利润为2000元，则销售量为副，再根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可；
（2）设售价为m元，每日销售利润为w，则销售量为副，再根据利润（售价进价）销售量列出w关于m的二次函数关系式，根据二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：设当每副春联的售价定为x元时，日销售利润为2000元，
由题意得：，
整理得：，
解得或（舍去），
答：当每副春联的售价定为30元时，日销售利润为2000元；
【小问2详解】
解：设售价为m元，每日销售利润为w，
由题意得，
，
∵，
∴当时，w最大，最大值为，
答：当每副春联的售价定为33元时，日销售利润最大，最大利润是2210元．
25. 如图，已知抛物线（a，b，c为常数，）与x轴交于点、点两点，与y轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）M是抛物线上的点且在第二象限，连接，，，求的面积取得最大值时，点M的坐标．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图像和性质，掌握待定系数法是解题的关键．
（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先利用待定系数法求出直线的解析式为，过点作轴交于点，如图，设 ，则，所以，再根据三角形面积公式得到，然后利用二次函数的性质解决问题．
【小问1详解】
解：把、、代入得：，
解得，
∴抛物线的表达式为；
【小问2详解】
解：设直线的解析式为
把分别代入得
，
解得：，
∴直线的解析式为，
过点作轴交于点，如图，设，则，
，
∴，
∴当时，有最大值，最大值为．
，
∴．
26. 如图，在中，，，．点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，的面积能否等于？
（3）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？
【答案】（1）秒
（2）的面积不能等于；
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语，得出等量关系是解决问题的关键．
（1）设经过x秒，的面积等于，根据点P从A点开始沿AB边向点B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，表示出和，可列方程求解；
（2）设经过x秒钟，的面积等于，根据点P从A点开始沿AB边向点B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，表示出和，可列方程，根据方程有无实数根进行判断即可；
（3）设经过x秒，的长度等于，根据勾股定理列方程求解即可．
【小问1详解】
解：设后，，.
根据三角形的面积公式列方程，
得：.
解得：，.
当时，，不合题意，舍去.
所以秒后，的面积等于；
【小问2详解】
的面积不能等于，
理由：根据三角形的面积公式列方程，
得：，
整理，得：.
∵，
∴没有实数根，
所以的面积不能等于.
【小问3详解】
根据勾股定理得到，，
得：.
解得：，（不符合题意，舍去）.
所以后，的长度等于．
27. 如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数的图象与一次函数的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点，且点D坐标为．
（1）求二次函数的解析式及顶点坐标；
（2）求四边形的面积S；
（3）在x轴上是否存在点P，使得是直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1），；
（2）
（3）P的坐标为或或或
【解析】
【分析】题目主要考查二次函数与一次函数综合问题，勾股定理解三角形，面积问题等，理解题意，进行分类讨论是解题关键．
（1）根据题意得出，然后利用待定系数法确定函数解析式，化为顶点式求出顶点坐标即可；
（2）根据两个函数得出，结合图象得出求解即可；
（3）设点，根据题意得出，然后分三种情况：当P为直角顶点时，当B为直角顶点时，当C为直角顶点时，分别求解即可．
【小问1详解】
解：根据题意得，当x=0时，，
∴，
将， 代入得
，解得，
∴二次函数的解析式，
∵，
∴顶点坐标为；
【小问2详解】
根据题意得：联立两个函数，
解得：或，
∴，
∴，，
∴四边形的面积为：；
【小问3详解】
设点，
∵，
∴，
当P为直角顶点时，，
∴，
解得：或，
∴或；
当B为直角顶点时，，
∴，
解得：，
∴；
当C为直角顶点时，，
∴，
解得：，
∴；