湖北省荆州市沙市区2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题（解析版）-A4

这是一份湖北省荆州市沙市区2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题（解析版）-A4，共21页。
1．本卷满分为120分，考试时间为120分钟．
2．本卷是试题卷，不能答题，答题必须写在答题卡上．
3．在答题卡上答题，选择题必须用2B铅笔填涂，非选择题必须用0．5毫米黑色签字笔或黑色墨水钢笔作答．
第一部分（基础性题，满分90分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30分）
1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A. 1，，B. 1，，3C. 1，2，3D. 1，2，
【答案】A
【解析】
【分析】先将原方程化为一般形式，再求解即可．
本题考查了一元二次方程的一般形式：，其中叫做二次项，a为二次项系数；叫做一次项，b为一次项系数；c为常数项，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：将化为一般式为，
∴一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，，，
故选：A．
2. 下列函数中属于二次函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查二次函数的定义，解题关键在于掌握二次函数的定义．
判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成，（a，b，c为常数，）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是．
【详解】A． ，是二次函数，故该选项符合题意；
B． ，的右边是分式，不是二次函数，故该选项符合题意；
C． ，不是二次函数，故该选项不符合题意；
D． ，当，时，是一次函数，故该选项不符合题意；
故选：A．
3. 下列校徽主体图案中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心，即可判断，掌握中心对称图形的定义是解题的关键．
【详解】解：、不是中心对称图形，不符合题意；
、是中心对称图形，符合题意；
、不是中心对称图形，不符合题意；
、不是中心对称图形，不符合题意；
故选：．
4. 关于的一元二次方程的两个实数根分别为2和，则分解因式（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，根据题意可得，则，据此可得答案．
【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为2和，
∴分解因式为，
故选：B．
5. 已知点和点关于原点对称，则 （ ）
A. 1B. C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了关于原点对称的点的特征，代数式求值．关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数．
根据点和点关于原点对称求出和，再代入中进行求解．
【详解】解：点和点关于原点对称，
，，
．
故选：B．
6. 若二次函数的图象经过点，，则与的大小关系为（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了比较函数值的大小，根据二次函数的对称轴为轴，以及开口向上可知，离对称轴越远，函数值越大，判断即可．
【详解】解：∵二次函数解析式为：，
∴对称轴为轴，
∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，
∵，
∴，故C正确．
故选：C．
7. 将抛物线的图象向下平移3个单位长度，则平移后抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
按照“左加右减，上加下减”的规律求解即可．
【详解】解：将抛物线的图象向下平移3个单位长度，则平移后抛物线的解析式为．
故选：A．
8. 已知二次函数，关于该函数在的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A. 有最大值5，有最小值B. 有最大值0，有最小值
C. 有最大值4，有最小值D. 有最大值4，有最小值0
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，先把解析式化为顶点式求出对称轴，开口方向和顶点坐标，进而确定离对称轴越远函数值越大，且最大值为5，再求出当时的函数值即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数解析式为，，
∴二次函数开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，
∴离对称轴越远函数值越大，且最大值为5，
当时，
∵，
∴当时，，
∴四个选项中只有A选项说法正确符合题意，
故选：A．
9. 一元二次方程的一根是，则方程的另一根是（ ）
A. B. 1C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此设方程的另一个根为，则，解方程即可得到答案．
【详解】解：设方程的另一个根为，
∵3和是一元二次方程的两个根，
∴，
∴，
∴方程的另一根是，
故选：A．
10. 为方便市民出行，某公司第一个月在市内投放了1500辆电动自行车，计划第三个月投放电动自行车辆，设该公司第二、三两个月投放电动自行车数量的月平均增长率为，那么与的函数关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系，理解在第一个月投放1500辆电动自行车的基础上增长2次得到y是解题的关键．
在第一个月投放1500辆电动自行车的基础上，增长2次即可得到y，据此列出一元二次方程即可．
【详解】解：第二个月投放单车数量，
第三个月投放单车数量．
故选A．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 方程的根是________．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程—因式分解法是解题的关键．注意：不要忽视x的取值范围，将方程两边同时除以x，导致漏掉这个实数根．利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
则，
∴或，
，，
故答案为：，．
12. 把二次函数的图象绕原点旋转后得到的图象的解析式为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象与几何变换，根据顶点式解析式求出原二次函数的顶点坐标，然后根据关于中心对称的点的横坐标与纵坐标互为相反数求出旋转后的二次函数的顶点坐标，最后根据旋转变换只改变图形的位置，不改变图形的形状写出解析式即可．利用点的变换解决函数图象的变换，求出变换后的顶点坐标是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数顶点坐标为，
又∵图象绕原点旋转后得到的二次函数图象的顶点坐标为，开口方向向下，
∴旋转后的新函数图象的解析式为．
故答案为：．
13. 方程没有实数根，则a的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式，解题的关键是根据根的判别式写出关于的不等式，再求出的取值范围．
利用一元二次方程根的判别式，求出的取值范围即可．
【详解】解：由题意得：，
即，解得：，
故答案为：．
14. 已知二次函数，自变量与函数值的部分对应值如下表：则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据表格可得二次函数的对称轴为直线x=1，即可得x=-1与时，函数值相等，据此即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵x=0和x=2时，，
∴二次函数的对称轴为直线x=1，
∵和关于对称轴x=1对称，
∴x=-1与时，函数值相等，
∴，
故答案为：．
15. 飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）与滑行的时间t（单位：秒）之间的函数关系式是．那么飞机着陆后滑行__________米停下（即飞机滑行的最大距离）．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了二次函数的应用，正确求出二次函数顶点纵坐标是解题关键．直接利用二次函数的性质求出二次函数顶点纵坐标，即可得出答案．
【详解】解：∵，
当（秒）时，s将取到最大值，
即飞机着陆后40秒停下．
此时，
故答案为：
三、解答题（本大题共6小题，共45分）
16. 解一元二次方程：
（1）用直接开平方法：；
（2）用配方法：．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程解法是解题的关键．
（1）先移项，然后利用直接开平方法求解即可；
（2）利用配方法求解即可．
【小问1详解】
解：，
，
，
解得：，；
【小问2详解】
解：，
，
，
，
．
解得：，．
17. 解一元二次方程：
（1）用公式法：；
（2）用因式分解法：．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】此题考查解一元二次方程的公式法和因式分解法，熟练掌握各种解法是解题的关键．
（1）首先求出根的判别式，再用求根公式求出解即可．
（2）首先对方程进行整理，再提取公因式进行因式分解，最后求出解即可．
【小问1详解】
其中，，，
即，
∴，
∴，．
【小问2详解】
方程整理得：，
提取公因式得：，
化简后为：，
则或，
解得：，．
18. 已知函数，和．
（1）如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是一个单位长度，请在同一平面直角坐标系中画出这三个函数的图象；
（2）分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标；
（3）试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数的图象得到函数和函数的图象．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，解题的关键是能够正确的作出二次函数的图象，掌握函数的性质．
（1）根据二次函数图象的画法作出函数图象即可；
（2）根据函数图象分别写出开口方向，对称轴和顶点坐标；
（3）根据平移规律即可解答．
【小问1详解】
解：作图象如图：
【小问2详解】
解：开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为，
开口向上，对称轴为，顶点坐标为，
开口向上，对称轴为，顶点坐标为；
【小问3详解】
解：由抛物线向左平移1个单位，由抛物线向右平移1个单位．
19. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点、、均在格点上．

（1）将向左平移5个单位得到，并写出点的坐标；
（2）画出绕点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析；
【解析】
【分析】（1）作出点A、B、C平移后的对应点、、，再顺次连接即可；
（2）作出点、绕点顺时针旋转后的对应点、，再顺次连接即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求，点的坐标为；
【小问2详解】
解：如图，即为所求，点的坐标为．
【点睛】本题主要考查了旋转作图和平移作图，解题的关键是作出平移或旋转后的对应点．
20. 阅读下面内容，并答题：我们知道，计算n边形的对角线条数公式为n（n－3）．如果一个n边形共有20条对角线，那么可以得到方程n（n－3）＝20．解得n＝8或n＝－5（舍去），∴这个n边形是八边形．根据以上内容，问：
（1）若一个多边形共有9条对角线，求这个多边形的边数；
（2）小明说：“我求得一个n边形共有10条对角线”，你认为小明同学的说法正确吗？为什么？
【答案】（1）6 （2）错误，理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用题中给出的对角线条数公式即可求解；
（2）利用题中给出的对角线条数公式列出一元二次方程，求解方程的根，根据方程是否有正整数解来判断即可．
【小问1详解】
设这个多边形的边数是n，则n（n－3）＝9，
解得n＝6或n＝－3（舍去）．
∴这个多边形的边数是6；
【小问2详解】
小明同学的说法是不正确的，
理由如下：由题可得n（n－3）＝10，
解得n＝，
∴符合方程的正整数n不存在，
∴n边形不可能有10条对角线，
故小明的说法不正确．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，通过方程是否有正整数解来判断是否存在有10条对角线的多边形是解答本题的关键．
21. 某宾馆共有80个房间可供顾客居住．宾馆负责人根据前几年的经验作出预测：今年12月份，该宾馆每天的房间空闲数y（间）与每天的定价x（元/间）之间满足某个一次函数关系，且部分数据如表所示．
（1）该宾馆将每天的定价x（元/间）确定为多少时，所有的房间恰好被全部订完？
（2）如果宾馆每天的日常运营成本为5000元，另外，对有顾客居住的房间，宾馆每天每间还需支出28元的各种费用，那么单纯从利润角度考虑，宾馆应将房间定价确定为多少时，才能获得最大利润？
【答案】（1）168元/间
（2）256或260元
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一次函数的实际应用：
（1）设出解析式，利用待定系数法求出对应的解析式，再求出当y的值为0时，x的值即可得到答案；
（2）设出利润，然后列出利润关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：设，
由题意得：，
解得：，
∴，
当时，，
解得：，
答：宾馆将每天的定价为168元/间时，所有的房间恰好被全部订完．
【小问2详解】
解：设每天的利润为W元，
根据题意，得：
，
∵，
∴时，W有最大值，
∵当时，，不是整数，当或时，y是整数，
∴当或时，W取得最大值．
答：宾馆应将房间定价确定为256或260元时，才能获得最大利润．
第二部分（发展性题，满分30分）
一、选择题（本大题共3小题，每小题3分，共9分）
22. 在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感，这个比值叫黄金分割数．按此比例，若雕像的高为2米，那么它的下部应设计为多高？设雕像下部高米，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设雕像的下部高为x m，则上部长为（2﹣x）m，然后根据题意列出方程即可．
【详解】解：设雕像的下部高为x m，则上部长为（2﹣x）m，
由题意得：，
即，
整理得：
故选：A．
【点睛】本题考查了黄金分割，解题的关键在于读懂题目信息并列出方程．
23. 已知是方程的两个根，则的值为（ ）
A. 2020B. 2022C. 2D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的根与系数，因为是方程的两个根，运用，代入数值计算，即可作答．
【详解】解：是方程的两个根，
，
．
故选D．
24. 如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…，第行有个点…，前行的点数和不能是以下哪个结果 （ ）
A. 741B. 600C. 465D. 300
【答案】B
【解析】
【分析】由于第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点…，则前五行共有（1＋2＋3＋4＋5）个点，前10行共有（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）个点，前n行共有1＋2＋3＋4＋5＋…＋n＝n（n＋1）个点，然后根据选项分别求出n的数值，即可作出判断．
【详解】解：通过观察图形可知：
第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点，
则前5行共有（1＋2＋3＋4＋5）个点，
前10行共有（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）个点，
前n行共有1＋2＋3＋4＋5＋…＋n＝n（n＋1）个点，
其中n为正整数，
∴当n（n＋1）=741时，解得：（舍），，
当n（n＋1）=600时，解得： （舍），
当n（n＋1）=465时，解得：（舍），，
当n（n＋1）=300时，解得：（舍），，
故选：B．
【点睛】本题考查了图形的变化规律，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．
二、填空题（本大题3小题，每小题3分，共9分）
25. 若关于x的一元二次方程的两根互为相反数，则两根之积是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查根与系数的关系，一元二次方程的两根互为相反数，那么其两根之和为0，构建方程求出即可．
【详解】解：设是一元二次方程的两根，
∴
∵关于x的一元二次方程的两根互为相反数，
∴，
解得：或，
∵两根互为相反数，
∴，
∴两根之积是，
故答案为：
26. 已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④；⑤其中所有正确结论的序号是_________ ．(填序号)
【答案】①②④⑤
【解析】
【分析】此题考查了二次函数图象与性质．
利用抛物线开口方向得到，利用抛物线的对称轴，可对②进行判断；
利用抛物线与y轴的交点坐标得到，则可对①进行判断；
根据抛物线与x轴有2个交点可对③进行判断；
根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在与之间，则时，，于是可对④进行判断；
利用可对⑤进行判断．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，即，所以②正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴，
∴，所以①正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴，所以③错误；
∵抛物线与x轴的另一个交点在与之间，
∴时，，即，所以④正确；
∵，
∴，所以⑤正确．
故答案为：①②④⑤．
27. 如图，把正方形铁片置于平面直角坐标系中，顶点坐标为（3，0），点在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，…，则正方形铁片连续旋转2019次后，则点的坐标为_________.
【答案】（6058，1）
【解析】
【分析】首先求出P1～P5坐标，探究规律后，利用规律解决问题．
【详解】解：第一次P1（5，2），
第二次P2（8，1），
第三次P3（10，1），
第四次P4（13，2），
第五次P5（17，2），
…
发现点P的位置4次一个循环，
∵2019÷4=504…3，
P2019的纵坐标与P3相同为1，横坐标为12×504+10=6058，
∴P2019（6058，1），
故答案为（6058，1）．
【点睛】本题考查坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题1小题，共12分）
28. 如图，抛物线与x轴交于点A和B，与y轴交于点C．
（1）求A、B、C三点坐标；
（2）如图1，动点P从点A出发，在线段上以每秒1个单位长度向点B做匀速运动，同时，动点Q从点B出发，在线段上以每秒个单位长度向点C做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒，问P、Q两点运动多久后的面积S最大，最大面积是多少？
（3）如图2，点D为抛物线上一动点，直线交y轴于点E，直线交y轴于点F，求值．
【答案】（1）、，
（2）运动秒时，有最大值，最大值为
（3）
【解析】
【分析】（1）令，解一元二次方程即可求出点A、B的坐标，令，即可求出C点坐标；
（2）过Q点作于N点，结合图形，可知，则问题得解；
（3）设点的坐标为：，运用待定系数法求出直线的解析式为：，则可得点坐标为：，进而可得，同理可求出直线的解析式为：，即有点坐标为：，进一步可求出，则问题得解．
【小问1详解】
令，即有：，
利用因式分解法，求得：，，
结合图形，可知、，
令，，
则有C点坐标为：，
即结果为：、，；
【小问2详解】
∵、，，
∴、，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
过Q点作于N点，如图，
根据运动的特点，可得：，，
∴，
∵，，
∴的取值范围为：，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
运动秒时，有最大值，最大值为；
【小问3详解】
根据题意，设点的坐标为：，
设直线的解析式为：，
∵，
∴，
解得，
即直线的解析式为：，
∴令，，
∴点坐标为：，
∵，
∴，
同理可求出直线的解析式为：，
∴令，，
∴点坐标为：，
∵，
∴，
根据题意可知：若，则可知、、、四点重合，
此时不符合题意，故,
∴，
即值为．
【点睛】本题主要考查了求解抛物线与坐标轴的交点坐标，二次函数的图象与性质，利用待定系数法求解一次函数解析式等知识，题目计算量较大，细心计算，灵活运用二次函数的性质是解答本题的关键．
每天的定价x（元/间）
208
228
268
…
每天的房间空闲数y（间）
10
15
25
…