江苏省盐城市东台市第二教育联盟2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题（解析版）-A4

这是一份江苏省盐城市东台市第二教育联盟2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题（解析版）-A4，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（试卷分值150分，考试时间120分钟）
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填写在答题卡相应位置上）
1. 二次函数的最大值是（ ）
A. -2B. C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数的性质可以直接判断．
【详解】∵二次函数，
∴抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，
∴当时，y有最大值是．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质，了解最值定义是解题关键．
2. 15名学生演讲赛的成绩各不相同，若某选手想知道自己能否进入前8名，则他不仅要知道自己的成绩，还应知道这15名学生成绩的（ ）
A. 平均数B. 众数C. 方差D. 中位数
【答案】D
【解析】
【分析】15人成绩的中位数是第8名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前8名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
【详解】解：由于总共有15个人，且他们的分数互不相同，第8名的成绩是中位数，要判断是否进入前8名，故应知道中位数的多少．
故选：D．
【点睛】本题考查统计量的选择，解题的关键是明确题意，选取合适的统计量．
3. 某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是（ ）
A 36（1﹣x）2＝36﹣25B. 36（1﹣2x）＝25
C. 36（1﹣x）2＝25D. 36（1﹣x2）＝25
【答案】C
【解析】
【分析】可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1﹣降低的百分率）＝25，把相应数值代入即可求解．
【详解】解：第一次降价后的价格为36×（1﹣x），
两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x，为36×（1﹣x）×（1﹣x），
则列出的方程是36（1﹣x）2＝25．
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用增长率问题，读懂题意列出方程是解答本题的关键．
4. 两个相似三角形的面积比是9:16，则这两个三角形的相似比是（ ）
A. 9︰16B. 3︰4C. 9︰4D. 3︰16
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：根据相似三角形中，面积比等于相似比的平方，即可得到结果．
因为面积比是9:16，则相似比是3︰4，故选B.
考点：本题主要考查了相似三角形的性质
点评：解答本题的关键是掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方
5. 如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠ACB＝60°，则∠AOB的度数是（ ）
A. 100°B. 110°C. 120°D. 130°
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆周角定理进行求解即可得出答案．
【详解】解：∵∠ACB=60°，
∴∠AOB=2∠ACB=2×60°=120°．
故选C．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，根据圆周角定理进行求解计算是解决本题的关键．
6. 下列说法正确的是（ ）
A. 一个三角形只有一个外接圆B. 三点确定一个圆
C. 长度相等的弧是等弧D. 三角形的外心到三角形三条边的距离相等
【答案】A
【解析】
【分析】根据确定圆的条件、三角形外接圆、圆的有关概念判断即可．
【详解】解：A、一个三角形只有一个外接圆，故本选项正确；
B、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项错误；
C、在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧，长度相等的弧不一定能够重合，故本选项错误；
D、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故本选项错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了命题与定理以及圆有关的知识，关键是熟练掌握有关性质和定理，能对命题的真假进行判断．
7. 已知一元二次方程x2-4x-2=0的两根分别为x1，x2，则的值为（ ）
A. 2B. -1C. D. -2
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系先求出x1+x2，x1·x2的值，再代入所求的式子中计算即可．
【详解】解：根据根与系数的关系得，
x1+x2=4，x1·x2=-2
∴

=-2．
故选D ．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟记公式是解题的关键．
8. 如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】
过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PO，PA．
∴AE=AB=，PA=2，PE==1．
∴PD=．
∵⊙P的圆心是（2，a），
∴DC=2，
∴a=PD+DC=2+．
故选B．
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上）
9. 若，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了比例的基本性质，把a，b换元成，再代入所求式子中求解是解本题的关键．
【详解】解：∵，
∴可设，
∴，
故答案为：．
10. 在中，，，则的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了求角的正弦值，勾股定理，先利用勾股定理求出，再根据正弦的定义可得．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∴，
故答案为：．
11. 已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则函数中k的取值范围是______
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的增减性以及图象性质：根据题干的的开口向下，在时y随x的增大而增大，在时y随x的增大而减小，据此即可作答．
【详解】解：∵的开口向下，当时，y随x的增大而减小，
∴函数中k的取值范围是
故答案为：
12. 如图，圆弧形拱桥的跨径米，拱高米，则拱桥的半径为__________米.
【答案】
【解析】
【分析】设圆心为O，半径长为r米，根据垂径定理可得AD=BD=6，则OD=(r-4)，然后利用勾股定理在Rt△AOD中求解即可.
【详解】解：设圆心为O，半径长为r米，
可知AD=BD=6米，OD=(r-4)米
在Rt△AOD中，根据勾股定理得：，
解得r=6.5米，即半径长为6.5米.
故答案为6.5
【点睛】本题考查了垂径定理的应用,要熟练掌握勾股定理的性质,能够运用到实际生活当中.
13. 在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（4，2），以原点O为位似中心，把△OAB按相似比1∶2缩小，则点B的对应点B′的坐标是__________．
【答案】（2，1）或（－2，－1）
【解析】
【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．
【详解】解：∵以原点O为位似中心，把△OAB按相似比1∶2缩小，点B坐标为（4，2），
∴点B的对应点B′的坐标是或，即（2，1）或（－2，－1），
故答案为：（2，1）或（－2，－1）．
【点睛】本题考查的是位似变换的性质，熟知位似变换的性质（在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于k或－k）是解题关键．
14. 已知扇形的面积为12π，半径等于6，则它的圆心角等于___________度．
【答案】120
【解析】
【详解】扇形面积=圆心角×π×半径平方/360
即 12π=n×π×36÷360 12=n÷10
所以 n=120°．
故答案为120．
15. 已知抛物线y=x2+3x﹣4与x轴的两个交点为（x1，0）、（x2，0），则x12﹣3x2+15=_____．
【答案】28
【解析】
【分析】根据抛物线与x轴的交点问题，可判断x1、x2为方程x2+3x﹣4=0的两根，利用一
元二次方程解的定义得到x12=﹣3x1+4，则x12﹣3x2+15=﹣3（x1+x2）+19，再根据根与系数
的关系得到x1+x2=﹣3，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】∵抛物线y=x2+3x﹣4与x轴的两个交点为（x1，0）、（x2，0），
∴x1、x2为方程x2+3x﹣4=0的两根，
∴x12+3x1﹣4=0，
∴x12=﹣3x1+4，
∴x12﹣3x2+15=﹣3x1+4﹣3x2+15=﹣3（x1+x2）+19，
∵x1+x2=﹣3，
∴x12﹣3x2+15=﹣3×（﹣3）+19=28．
故答案为:28．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了根与系数的关系．
16. 如图，在平行四边形中，，，，点P为平面内一点，满足，其中点Q为线段上一点，且，连接，则的最小值为_________.
【答案】
【解析】
【分析】过点作于点，先根据平行四边形的性质、勾股定理求出，取的中点，连接，过点作，交于点，连接，根据相似三角形的判定与性质可得，，过点作于点，过点作于点，再根据相似三角形的判定与性质求出，，从而可得，利用勾股定理可得，最后根据三角形的三边关系即可求出的最小值．
【详解】解：如图，过点作于点，
在平行四边形中，，，，
，
，
，
取的中点，连接，过点作，交于点，连接，
则，
，
，
过点作于点，过点作于点，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，，
，
又，
，
，
，
又（当且仅当点共线时，等号成立），
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．
三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）
17. 解方程：
（1）
（2）（配方法）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程：
（1）运用因式分解法进行解一元二次方程，即令每个因式为0，即可作答．
（2）先二次项系数化1，再移项，配方，然后直接开平方，即可作答．
【小问1详解】
解：∵
∴
则
【小问2详解】
解：∵
∴
∴
则
即
即
18. 如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD＝40°，求∠ABD的度数．
【答案】50°
【解析】
【分析】根据圆周角定理可求∠ADB＝90°，即可求∠ABD的度数．
【详解】解：∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BCD＝40°，
∴∠BAD＝∠BCD＝40°，
∴∠ABD＝90°-40°=50°．
【点睛】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理可求∠ADB＝90°是本题的关键．
19. 如图，中，，点D在上，．若，，求的长．

【答案】
【解析】
【分析】在中，由三角函数求得，再由勾股定理求得，最后在中由三角函数求得的长即可．
【详解】解：∵在中，，
，
，
，
，
，
∴的长度为．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，解直角三角形，解题关键是解直角三角形求出，进而求出．
20. 已知抛物线．
（1）求证：对任意实数m，抛物线与x轴总有交点．
（2）若该抛物线与x轴交于，求m的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）令，得到关于的一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式判断即可；
（2）令，，解一元二次方程即可求得的值
【小问1详解】
令，则有
即，对于任意实数方程总有两个实数根，
对任意实数m，抛物线与x轴总有交点．
【小问2详解】
解：∵抛物线与x轴交于，
∴
解得
【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，掌握一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程是解题的关键．
21. 小明有红色、白色、黄色三件衬衫，又有蓝色、黄色两条长裤．黑暗中他随机地拿出一件衬衫和一条长裤构成一套衣裤．请用列表或画树状图方法求小明拿出一套衣裤正好是白色衬衫和蓝色长裤的概率．
【答案】
【解析】
【分析】利用树状图或列表把所有情况罗列出来，再找出题目要求的情况，用要求的情况次数除以总次数即得所求概率．
【详解】
如图，一共有6中可能，其中白色衬衫和蓝色长裤的情况只占到一种，故拿出一套衣裤正好是白色衬衫和蓝色长裤的概率为
【点睛】本题考查树状图和列表法求概率，掌握方法是本题关键．
22. 为了从小华和小亮两人中选拔一人参加射击比赛，现对他们的射击水平进行测试，两人在相同条件下各射击6次，命中的环数如下（单位：环）：
小华：7，8，7，8，9，9；小亮：5，8，7，8，10，10．
（1）下面表格中，________；________；________；
（2）根据以上信息，你认为教练会选择谁参加比赛，理由是什么？
（3）若小亮再射击2次，都命中8环，则小亮这8次射击成绩的方差________．（填“变大”、“变小”、“不变”）
【答案】（1）8，8，．
（2）选择小华参赛，理由见解析．
（3）变小．
【解析】
【分析】（1）根据平均数、中位数、方差的计算方法分别计算即可；
（2）通过平均数、方差的大小，得出结论；
（3）计算出小亮再射击2次后8次的平均数、方差，通过方差的比较得出答案．
【小问1详解】
解：小华的平均成绩（环），
小华方差（环），
把小亮的成绩从小到大排列为5，7，8，8，10，10，
则中位数（环），
故答案为：8，8，．
【小问2详解】
解：∵小亮的方差是3，小华的方差是，即，
又∵小亮的平均数和小华的平均数相等，
∴选择小华参赛．
【小问3详解】
解：小亮再射击后的平均成绩是（环），
射击后的方差是：，
∴小亮这8次射击成绩的方差变小，
故答案为：变小．
【点睛】此题考查平均数、中位数、方差的意义和计算方法，明确各个统计量的意义及反应数据的特征是正确解答的关键．
23. 如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F．
（1）求证：△ABE∽△DFA；
（2）若，，求EF长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据同角的余角相等，矩形的性质可得，，进而即可证明△ABE∽△DFA；
（2）根据（1）的结论以及勾股定理可求得，进而求得的长．
【小问1详解】
四边形是矩形，
，
DF⊥AE，
，
△ABE∽△DFA；
【小问2详解】
△ABE∽△DFA；
E是BC的中点，，，
在中，
四边形是矩形，
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质，勾股定理，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
24. 已知，如图，在Rt△ABC中，．
（1）按要求尺规作图：
①作的角平分线交BC与点D；
②求作圆O，使得圆O经过AD两点且圆心在线段AB上．
（2）求证：BC是的切线；
（3）若，．求的半径．
【答案】（1）①作图见解析；②作图见解析
（2）证明见解析 （3）的半径为
【解析】
【分析】（1）①按照作已知角的角平分线的尺规作图步骤画图即可；②先作线段的垂直平分线与相交于 再以为圆心，为半径画圆即可；
（2）如图，连接 证明 而 可得 而在上，从而可得答案；
（3）如图，记的交点为 先求解 再求解 最后利用勾股定理求解圆的半径即可.
【小问1详解】
解：①如图，以为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边于
分别以为圆心，大于的一半为半径画弧，两弧交于
作射线，交于
则线段即为所求作的的角平分线，
②如图，分别以为圆心，大于为半径画弧，两弧交于
作直线 交于
以为圆心，为半径作圆，
则即为所求作的圆，
【小问2详解】
证明：如图，连接
平分




而
而在上，
是的切线.
【小问3详解】
解：如图，记的交点为
，

，




所以的半径为
【点睛】本题考查的作已知角的角平分线，作线段的垂直平分线，作圆，垂径定理的应用，切线的判定，锐角三角函数的应用，熟练以上两个基本作图，圆的基本性质与锐角的正切的含义是解本题的关键.
25. 某药店销售一种消毒液，每瓶的进价是元，日均销售量（瓶）与每瓶售价（元）成一次函数关系，且．当每瓶售价为元时，日均销售量是瓶，当每瓶售价为元时，日均销售量是瓶．
（1）求关于的函数表达式；
（2）要使日均利润达到元，每瓶售价应定为多少元？
【答案】（1）
（2）每瓶售价应定为元
【解析】
【分析】（1）设，根据题意找出点代入即可得到答案；
（2）根据利润（售价进价）数量列方程求解即可得到答案．
【小问1详解】
解：设，由题意得一次函数过，，代入可得，
，
解得，
∴；
【小问2详解】
解：由题意可得，
，
解得：，
，
，
答：每瓶售价应定为元．
【点睛】本题考查求一次函数解析式及一元二次方程求解销售利润问题应用题，解题的关键是从题意中找出相应点及等量关系式．
26. （1）[问题提出]如图1，为的直径，点C为上一点，连接，若，则面积的最大值为 ．
（2）[问题探究]如图2，在四边形中，，，点分别在边上．且，若，求的长；
（3）[问题解决]为进一步落实国家“双减”政策，丰富学生的校园生活，某校计划为同学们开设实践探究课.按规划要求，需设计一个正方形的研学基地，如图3．点分别在正方形的边上，将区域修建为种植采摘区，基地内其余部分为研学探究区，的长为40m，．为了让更多的学生能够同时进行种植，要求种植采摘区（）的面积尽可能大，则种植采摘区的面积的最大值为_______m2，此时正方形的边长为_______m．
【答案】（1）；（2）；（3）；
【解析】
【分析】（1）连接，过点作，由题意可得：，即可求解；
（2）将绕点顺时针旋转得到，通过旋转的性质得到，即可求解；
（3）将绕点顺时针旋转得到，可得，由（1）可得，当垂直平分时，面积最大，即可求解．
【详解】（1）如图1中，连接，过点作于点．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的最大值为3，此时垂直平分，
∴的面积的最大值为．
（2）将绕点顺时针旋转得到．
则，
∵，
∴，
∴共线，
∵，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）将绕点顺时针旋转得到，如下图：
则，，，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
由（1）可得，当垂直平分时，最大，此时面积也最大，
则，
设，则，
由勾股定理可得：，
即，解得，（负值舍去），
，
故答案为：；
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，圆的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质，作辅助线构造出全等三角形．
27. 如图，抛物线经过三点，对称轴与抛物线相交于点P，与直线相交于点M，连接．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设对称轴与x轴交于点N，在对称轴上是否存在点G，使以O、N、G为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）抛物线上是否存在一点Q，使与的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）点E是y轴上的动点，连接，求的最小值．
【答案】（1）
（2）或或或；
（3）或或；
（4）
【解析】
分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点N的坐标为，得到，再求出，然后分时，当时，两种情况利用相似三角形的性质求解即可；
（3）先求出，再求出直线的解析式为，过P点作交y轴于点H，交抛物线于，则直线的解析式为，求出，由得到，则当Q与重合时满足题意；求出，则H点关于C点对称的点为，求出过点与直线BC平行的直线解析式为，联立，解得或，则 或；
（4）如图所示，在上截取F使得，过点E作于T，过点M作轴并延长交于点K，证明，得到，进而推出当三点共线且时，最小，即最小，最小值为，
设，则，利用勾股定理求出，，则，设中边上的高为h，利用面积法求出；求出，得到，即可利用面积法求出．
【小问1详解】
解：将点代入中，得到，
解得，
∴抛物线解析式为；
【小问2详解】
解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
∴点N的坐标为，
∴，
由已知可得，
∵轴，轴，
∴
①时，
∴，即，
∴
∴点G的坐标为或；
②当时，
∴，即，
∴
∴点G的坐标为或；
综上所述：以O、N、G为顶点的三角形与相似时，满足条件的G点坐标为或或或；
【小问3详解】
解：∵抛物线解析式为
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
过P点作交y轴于点H，交抛物线于，
∴直线的解析式为，
联立，
解得或，
∴，
∵，
∴，
∴当Q与重合时满足题意；
当时，，
∴，
∵H点关于C点对称的点为，
∴过点与直线BC平行的直线解析式为，
联立，
解得或，
∴ 或；
综上所述：与的面积相等时，Q点坐标为或或；
【小问4详解】
解：如图所示，在上截取F使得，过点E作于T，过点M作轴并延长交于点K，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当三点共线且时，最小，即最小，最小值为，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得，
∴，，
∴，
设中边上的高为h，
∵，，
∴；
当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，勾股定理，一次函数与几何综合等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
平均数（环）
中位数（环）
方差（环2）
小华
a
8
c
小亮
8
b
3