2024-2025学年上学期初中数学人教版八年级期末必刷常考题之等腰三角形练习

这是一份2024-2025学年上学期初中数学人教版八年级期末必刷常考题之等腰三角形练习，共21页。试卷主要包含了，使△ABC成为等腰三角形等内容，欢迎下载使用。
1．（2024秋•南开区期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G，F，若FG＝4，ED＝9，则BE+DC的值为（ ）
A．13B．14C．15D．16
2．（2024秋•南开区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝5，则BF的长为（ ）
A．7.5B．10C．12D．12.5
3．（2023秋•龙山区期末）如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC＝35°，则∠ADB的度数为（ ）
A．25°B．60°C．85°D．95°
4．（2024春•泾阳县期中）等腰三角形的顶角是50°，则这个三角形的底角的大小是（ ）
A．50°B．65°或50°C．65°D．80°
5．（2024秋•香坊区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，过点A作AB的垂线交BC于D，BD＝4，则CD的长为（ ）
A．1B．2C．2.5D．3
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋•兴宁区校级期中）如图是某种落地灯的简易示意图，DE为悬杆，BC为支杆．已知悬杆的CD部分的长度与支杆BC的长度相等，点E在DC的延长线上，且∠BCE＝120°，若CD的长度为30cm，则此时B，D两点之间的距离为 cm．
7．（2024秋•江阴市期中）如图，AD∥BC，BD平分∠ABC，AD＝2，则AB的长为 ．
8．（2024秋•新吴区期中）如图所示，在4×4的方格中每个小正方形的边长是单位1，小正方形的顶点称为格点．现有格点A、B，在方格中任意找一点C（必须是格点），使△ABC成为等腰三角形．这样的格点有 个．
9．（2024秋•香坊区校级期中）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为等腰三角形，则∠ADC的度数为 ．
10．（2024秋•惠城区期中）如图，在△ABC中，BD＝CD，F是AC上一点，连接BF，交AD于点E，且BE＝AC，若∠ACB＝60°，∠DAC＝40°，则求∠FBC的度数为 ．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋•南开区期中）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，直线DE与CA的延长线相于点F．
（Ⅰ）证明：△ADF是等腰三角形；
（Ⅱ）若∠B＝60°，BD＝4，AD＝3，求EC的长．
12．（2024秋•浏阳市期中）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E．（1）求证：△BED是等腰三角形．
（2）若BD平分△ABC的周长，△ADE的周长为15，求△ABC的周长．
13．（2024秋•惠城区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D为AB上一个动点．
（1）当∠A＝2∠BCD，AD＝CD时，求∠BCD的度数．
（2）已知∠A＝2∠BCD，求证：AD+AC＝2AB
14．（2024秋•江阴市期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E．
（1）若∠A＝44°，求∠DCB的度数．
（2）若AE＝5，△DCB的周长为18，求△ABC的周长．
15．（2024秋•苏州期中）已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，AD⊥AB，交BC于点D，AD＝1．
（1）求CD的长；
（2）求△ABC的面积．
2024-2025学年上学期初中数学人教版八年级期末必刷常考题之等腰三角形
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋•南开区期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G，F，若FG＝4，ED＝9，则BE+DC的值为（ ）
A．13B．14C．15D．16
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】A
【分析】只要证明EG＝EB，DF＝DC即可解决问题．
【解答】解：∵ED∥BC，
∴∠EGB＝∠GBC，∠DFC＝∠FCB，
∵∠GBC＝∠GBE，∠FCB＝∠FCD，
∴∠EGB＝∠EBG，∠DCF＝∠DFC，
∴BE＝EG，CD＝DF，
∵FG＝4，ED＝9，
∴EB+CD＝EG+DF＝EF+FG+FG+DG＝ED+FG＝13，
故选：A．
【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是等腰三角形的证明，属于基础题．
2．（2024秋•南开区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝5，则BF的长为（ ）
A．7.5B．10C．12D．12.5
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】过点D作DH⊥AC于点H，由题意易得AD平分∠CAB，则有DE＝DH，然后根据等积法可进行求解．
【解答】解：如图所示，过点D作DH⊥AC于点H，
∵∠ABC＝∠ACB，AD⊥BC于点D，
∴AD平分∠CAB，
∵DE⊥AB于点E，DE＝5，
∴DE＝DH＝5，
∵S△ABC=S△ADC+S△ADB=12AC⋅DH+12AB⋅DE=12AC⋅BF，
∴2DH＝BF，
∴BF＝10；
故选：B．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
3．（2023秋•龙山区期末）如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC＝35°，则∠ADB的度数为（ ）
A．25°B．60°C．85°D．95°
【考点】等边三角形的性质；三角形的外角性质．
【答案】D
【分析】等边三角形的三个角都为60°，三角形的外角等于不相邻的两个内角的和．
【解答】解：∠ADB＝∠DBC+∠C＝35°+60°＝95°．
故选：D．
【点评】本题考查等边三角形的性质，等边三角形的三个角都为60°，和三角形的外角的性质．
4．（2024春•泾阳县期中）等腰三角形的顶角是50°，则这个三角形的底角的大小是（ ）
A．50°B．65°或50°C．65°D．80°
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：这个等腰三角形的一个底角为：（180﹣50）÷2＝65°，
故选：C．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
5．（2024秋•香坊区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，过点A作AB的垂线交BC于D，BD＝4，则CD的长为（ ）
A．1B．2C．2.5D．3
【考点】含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】由等腰三角形的性质求出∠B＝∠C＝30°，求出∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝30°，得到∠DAC＝∠C，因此AD＝DC，由含30°角的直角三角形的性质得到BD＝2AD，推出AD＝CD＝2即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C=12×（180°﹣∠BAC）＝30°，
∵DA⊥AB，
∴∠BAD＝90°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝30°，
∴∠DAC＝∠C，
∴AD＝DC，
∵∠B＝30°，∠BAD＝90°，
∴BD＝2AD＝4，
∴AD＝CD＝2，
∴CD＝2．
故选：B．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形，关键是由以上知识点推出AD＝DC，BD＝2AD．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋•兴宁区校级期中）如图是某种落地灯的简易示意图，DE为悬杆，BC为支杆．已知悬杆的CD部分的长度与支杆BC的长度相等，点E在DC的延长线上，且∠BCE＝120°，若CD的长度为30cm，则此时B，D两点之间的距离为 30 cm．
【考点】等边三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】30
【分析】连接BD，证明△BCD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得到结论．
【解答】解：如图，连接BD，
∵∠BCE＝120°，∠BCD+BCE＝180°，
∴∠BCD＝60°，
∵BC＝CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD＝CD＝30cm，
此时B，D两点之间的距离为30cm，
故答案为：30．
【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，解答本题的关键是求出∠BCD＝60°．
7．（2024秋•江阴市期中）如图，AD∥BC，BD平分∠ABC，AD＝2，则AB的长为 2 ．
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】2．
【分析】根据角平分线的定义可得∠ABD＝∠CBD，根据两直线平行，内错角相等可得∠CBD＝∠ADB，然后求出∠ABD＝∠ADB，可得结论．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，AD＝2，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的定义，两直线平行，内错角相等的性质，熟记概念与性质是解题的关键．
8．（2024秋•新吴区期中）如图所示，在4×4的方格中每个小正方形的边长是单位1，小正方形的顶点称为格点．现有格点A、B，在方格中任意找一点C（必须是格点），使△ABC成为等腰三角形．这样的格点有 8 个．
【考点】等腰三角形的判定．
【专题】网格型．
【答案】见试题解答内容
【分析】分别以A、B为圆心，AB的长为半径画圆，看其与方格是的交点是格点的个数即可．
【解答】解：
如图，分别以A、B为圆心，AB长为半径画圆，
则其与方格的交点为格点的有8个，
故答案为：8．
【点评】本题主要考查等腰三角形的判定，掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键，注意利用画圆可以确定出满足条件的点．
9．（2024秋•香坊区校级期中）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为等腰三角形，则∠ADC的度数为 80°或110° ．
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】80°或110°．
【分析】根据等腰三角形的性质可以求得∠B和∠C的度数，分两种情况：当AD＝BD时，当AB＝BD时，分别求解即可．
【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴∠B＝∠C＝40°，
∵点D在BC边上，△ABD为等腰三角形，
如图，当AD＝BD时，
∴∠BAD＝∠B＝40°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝80°．
如图，当AB＝BD时，
∴∠BAD＝∠BDA=12×（180°﹣40°）＝70°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝110°．
故答案为：80°或110°．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用等腰三角形的性质以及分类讨论的思想解答．
10．（2024秋•惠城区期中）如图，在△ABC中，BD＝CD，F是AC上一点，连接BF，交AD于点E，且BE＝AC，若∠ACB＝60°，∠DAC＝40°，则求∠FBC的度数为 40° ．
【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质．
【专题】三角形；运算能力；推理能力．
【答案】40°．
【分析】延长AD到G使DG＝AD，连接BG，通过△ACD≌△GBD，根据全等三角形的性质得到∠CAD＝∠G，AC＝BG，等量代换得到BE＝BG，由等腰三角形的性质得到∠G＝∠BEG，即可得到∠AEF＝∠EAF，进而利用三角形内角和解答即可．
【解答】解：如图，延长AD到G使DG＝AD，连接BG，
在△ACD与△GBD中，
CD=BD∠ADC=∠BDGAD=DG，
∴△ACD≌△GBD（SAS），
∴∠CAD＝∠G，AC＝BG＝BE，
∴∠G＝∠BEG，
∵∠BEG＝∠AEF，
∴∠AEF＝∠EAF，
∴∠ADC＝180°﹣60°﹣40°＝80°，∠BED＝∠AEF＝∠DAC＝40°，
∴∠FBC＝∠ADC﹣∠BED＝80°﹣40°＝40°，
故答案为：40°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋•南开区期中）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，直线DE与CA的延长线相于点F．
（Ⅰ）证明：△ADF是等腰三角形；
（Ⅱ）若∠B＝60°，BD＝4，AD＝3，求EC的长．
【考点】等腰三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）5．
【分析】（1）由AB＝AC得∠B＝∠C，再根据余角性质可得∠F＝∠BDE，最后根据对顶角的性质可得∠F＝∠FDA，据此即可求证；
（2）由∠B＝60°可得∠BDE＝30°，进而由直角三角形的性质可得BE=12BD=3，又可得△ABC是等边三角形，得到BC＝AB＝AD+BD＝9，据此即可求解．
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵FE⊥BC，
∴∠CEF＝∠BED＝90°，
∴∠F+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90°，
∴∠F＝∠BDE，
∵∠BDE＝∠FDA，
∴∠F＝∠FDA，
∴AF＝AD，
∴△ADF是等腰三角形；
（2）解：∵∠DEB＝90°，∠B＝60°，
∴∠BDE＝30°，
∵BD＝4，
∴BE=12BD＝2，
∵AB＝AC，∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB＝AD+BD＝7，
∴EC＝BC﹣BE＝5．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，掌握等腰三角形的性质和判定是解题的关键．
12．（2024秋•浏阳市期中）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E．（1）求证：△BED是等腰三角形．
（2）若BD平分△ABC的周长，△ADE的周长为15，求△ABC的周长．
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）30．
【分析】（1）由角平分线和平行线的性质可得到∠EBD＝∠EDB，可证得结论；
（2）根据三角形的周长公式解答即可．
【解答】证明：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC＝∠ABD，
∴BE＝ED，
∴△DBE为等腰三角形；
解：（2）∵BE＝ED，△ADE的周长为15，
∴AE+ED+AD＝AE+BE+AD＝AB+AD＝15，
∵BD平分△ABC的周长，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝2（AB+AD）＝30．
【点评】此题考查等腰三角形的判定与性质，关键是由角平分线和平行线的性质可得到∠EBD＝∠EDB解答．
13．（2024秋•惠城区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D为AB上一个动点．
（1）当∠A＝2∠BCD，AD＝CD时，求∠BCD的度数．
（2）已知∠A＝2∠BCD，求证：AD+AC＝2AB
【考点】含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）18°；（2）见详解．
【分析】（1）设∠BCD＝x，由AD＝CD可知∠A＝∠ACD，因此∠A、∠ACD都可以用含x的式子表示，根据三角形内角和定理即可求出答案；
（2）延长AB到点E，使BE＝BA，连接CE，根据垂直平分线的性质及等腰三角形的性质，得到CE＝CA，∠BCE＝∠BCA，再由等量代换得到∠ECD＝∠EDC，因此DE＝CE，进而即可证明结论．
【解答】解：（1）设∠BCD＝x，则∠A＝2∠BCD＝2x，
∴∠A＝∠ACD，
∴∠ACD＝2x，
∴2x+90°+x+2x＝180°，
解得x＝18°，
即∠BCD＝18°；
（2）如图，延长AB到点E，使BE＝BA，连接CE，
由作图可知：BC是AE的垂直平分线，
∴CE＝CA，
∴∠BCE＝∠BCA，
∵∠ECD＝∠BCE+∠BCD＝∠BCA+∠BCD＝∠DCA+2∠BCD＝∠DCA+∠A＝∠EDC，
∴DE＝CE，
∴AD+AC＝AD+CE＝AD+DE＝AE＝2AB，
即AD+AC＝2AB．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质及等量代换，熟练掌握以上知识点是关键．
14．（2024秋•江阴市期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E．
（1）若∠A＝44°，求∠DCB的度数．
（2）若AE＝5，△DCB的周长为18，求△ABC的周长．
【考点】等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】（1）24°；
（2）28．
【分析】（1）先利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得：∠ACB＝∠B＝68°，再利用线段垂直平分线的性质可得DA＝DC，然后利用等腰三角形的性质可得∠DAC＝∠ACD＝44°，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答；
（2）根据三角形的周长公式可得：DC+DB+BC＝18，然后利用等量代换可得AD+DB+BC＝18，从而可得AB+BC＝18，再根据线段垂直平分线的性质可得AC＝10，从而进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠A＝44°，
∴∠ACB＝∠B=180°−∠A2=68°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠ACD＝44°，
∴∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝68°﹣44°＝24°；
（2）∵△DCB的周长为18，
∴DC+DB+BC＝18，
∵AD＝CD，
∴AD+DB+BC＝18，
∴AB+BC＝18，
∵DE是AC的垂直平分线，AE＝5，
∴AC＝2AE＝10，
∴△ABC的周长＝AC+AB+BC＝10+18＝28．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
15．（2024秋•苏州期中）已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，AD⊥AB，交BC于点D，AD＝1．
（1）求CD的长；
（2）求△ABC的面积．
【考点】含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）CD＝1．（2）334．
【分析】（1）根据AB＝AC，可得∠C＝∠B＝30°，根据AD⊥AC以及三角形的内角和定理可得∠BAD＝30°，即可得到AD＝CD＝1；
（2）根据含30°角的直角三角形的性质可得BD和AH，即可求出△ABC的面积．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠B＝30°，
∴∠BAC＝120°，
∵AD⊥AB，
∴∠CAD＝30°，
∵∠C＝30°，
∴∠CAD＝∠C，
∴CD＝AD＝1．
（2）如图，作AH⊥BC，垂足为H，
∵AD＝1，∠B＝30°，
∴BD＝2，AB=3，AH=32，
∴BC＝3，
S△ABC=12×BC×AH=12×3×32=334．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
考点卡片
1．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
2．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
3．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
4．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
5．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
6．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
7．等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
8．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
9．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
10．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
11．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．